Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp dạy kèm lớp 9 THCS năm học 2015 - 2016 môn: Toán

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯƠNG QUANG AN 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP DẠY KÈM 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: Toán
(Đề có 01 trang)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: a) Tính giá trị biểu thức: , biết
	b) Giải phương trình:
Bài 2: a) Giải hệ phương trình:
	b) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên 
Bài 3: Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:
	Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy M bất 
 kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu
 vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của 
 N xuống đường thẳng PD.
Chứng minh AH vuông góc với BH
Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I.
Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng.
Bài 5: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1.
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
------------------Hết---------------------
	Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
	Họ và tên thí sinh:..............................................................................................Số báo danh.......................
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN 9 NĂM HỌC 2015-2016
Bài 1: 
a) Ta có 
	 (1). Tương tự: (2) 
	Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta được 
	Vậy M = 
 b) Ta có 
	Dể thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, do đó phương trình đã cho tương đương với 
	 (với ) 
* Nếu t = 2 
* Nếu vô nghiệm.
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1.
Bài 2: 
a) Từ phương trình (1) ta suy ra: thế vào phương trình (2) thu gọn ta được:
* Nếu thế vào phương trình (1) ta được phương trình này vô nghiệm.
* Nếu , trừ vế theo vế của phương này với phương trình (1) ta được: 
 + Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta suy y2 = 0 suy ra y = 0, cặp (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2).
 + Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = 0 suy ra x = 2, cặp (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2).
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (3;0), (2; 1).
b) Ta có , vì a, b, c là các số tự nhiên do đó để P là số nguyên khi và chỉ khi là số nguyên.
Do vai trò như nhau nên ta giả sử a<b<c suy ra . Do đó (Vì M là số nguyên)
Nếu , vì 
	 trái với . Suy ra 
 + Nếu thoả mãn bài ra
 + Nếu thoả mãn bài ra
	Vậy các số tự nhiên a, b, c phân biệt thoả mãn bài toán là (a, b, c) = (2, 3, 5) và các hoán vị.
Bài 3: 
Từ giả thiết ta suy ra a > 0 ; b > 0 ; c > 0 và 
(với ) 
. Vậy tam giác ABC đều.
Bài 4: Từ bài ra ta có hình vẽ sau:
a) Theo giả thiết ta có tam giác ABC vuông cân tại A mà D là trung điểm của BC nên 
 và AD là tia phân giác của . Do nên suy ra tứ giác ANM P là hình vuông. Mặt khác tứ giác ANHP có nên nội tiếp đường tròn đường kính NP suy ra (cùng chắn cung AP). 
Xét tứ giác BDHA có (hai góc kề bù) suy ra tứ giác BDHA nội tiếp suy 
b) Theo câu ta có 5 điểm A, P, H, M, N cùng nằm trên đường tròn đường kính AM và NP suy ra suy ra 3 điểm B, H, M thẳng hàng nên (1)
Vì BI// AD nên BI vuông góc với BC suy ra . Gọi E là trung điểm của AB ta có ta giác EBI vuông cân tại E nên EB = EI = EA suy ra tam giác IAB vuông cân tại I.
Xét tứ giác AIBH có nên nội tiếp suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm H, N, I thẳng hàng.
Bài 5: Ta có (dấu “=” xảy ra khi a = b)
Ta có: ;
Tương tự: 	
Do đó 	
Do đó F đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi x = y = z =