Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh lớp 9 – Vòng 1 năm học 2015 - 2016. môn: Toán

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT HOÀNG MAI
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 – VÒNG 1
NĂM HỌC 2015-2016. Môn: TOÁN
 (Đề thi gồm 01 trang) 	 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
	 	 ----------------------
C©u 1 (2.0 điểm)
Giải phương trình: .
Chứng minh rằng: Nếu a, b, c thỏa mãn và thì một trong ba số a, b, c phải có một só bằng 2015. 
C©u 2 (2.0 điểm) 
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì chia hết cho 9.
Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
C©u 3 (4.0 điểm) 
Cho x, y, z thỏa mãn . 
Chứng minh rằng . 
Tìm các số nguyên dương n để tổng là số chính phương.
C©u 4 (1.0 điểm) 
	Cho hình thoi ABCD với góc BAD bằng . Tia Ax tạo với tia AB một góc cắt BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N.
Chứng minh: 
C©u 5 (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB=AC=a. Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi bằng 2a và .
a) Tính góc MCF
b) Từ M vẽ đường thẳng . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
-------Hết-------
Họ và tên thí sinh:.SBD:
ĐÁP ÁN
Câu
Nội dung
1
a) 
b) Từ và 
 mà a+b+c=2015 nên một trong ba số a, b, c phải có một só bằng 2015
2
a) 
b) Xét n=0 thì 
 Xét n=1 thì 
 Giả sử bài toán đúng với n=k tức là 
 Ta sẽ chứng minh bài toán đúng với n=k+1
 Thật vậy 
 Vậy chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n.
c) Từ kết hợp với 
suy ra 
Dấu “=” xả ra 
Vậy min ( khi 
3
a) 
vì nên 
 ( vì 
b) Xét ta có không là số chính phương.
 Xét ta có không là số chính phương.
 Xét ta có là số chính phương
 Xét , Đặt 
 ta có 
 không có giá trị nào của y thỏa mãn
 ( vì giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào)
 Vậy n=3 thì là số chính phương
4
Kẻ AE AN, AE cắt CD tại E 
DABM =DADE (g.c.g) AM=AE
Kẻ AH CD, xét DAME có đường cao AH ta có
hay(1)
Xét DADH vuông ở H có nên 
hay 
Từ (1) và (2) suy ra hay 
5
a) Chu vi hình chữ nhật AEMF bằng 2(AF+MF)=2aAF+MF=a, mà AF+FC=a
nên MF=FC, suy ra vuông cân tại F nên góc MCF bằng 450.
b) Gọi D là đỉnh thứ tư của hình vuông ABDC nên D cố định.
Ta c/m được DDMF =DEFC Þ 
Từ đó chứng minh được DM ^ EF
Mà MN ^ EF nên ba điểm D, M, N thẳng hàng hay đường thẳng MN luôn đi qua điểm D cố định
-----HÕt----