Kiến thức cơ bản Hình học không gian

Tr
ng THPT Thanh Bình 1 2015 – 2016 
VQT – 1 – PMDT 
KIN THC C BN HHKG 

t vuông góc mp 
Góc gia t và mp Góc gia hai mp 
nh lí 3 ng vuông góc 
H thc l
	ng trong tam giác vuông: 
 2 2 2BC AB AC= + ; AH.BC = AB.AC 
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= + ; 
sin = i chia huyn ; cos = k chia huyn 
 tan = i chia k ; cot = k chia huyn 
H thc l
	ng trong tam giác th
ng: 
 2 2 2 2 .cosa b c bc A= + − ; 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = = 
1 1
. sin . ( )( )( )
2 2 4
a
abc
S a h ab C r p p p a p b p c
R
= = = = = − − − 
2 2 2
2
2 4
a
b c a
m
+
= + ; 
2
a b c
p
+ +
= 
Din tích các hình th
ng g
p: 
S = a
2
 S = a.b 
1
.
2
S a b= S = AH.CD 
1
( ).
2
S AB CD AH= + 2S rpi= 
Th tích: 
1
3
V = B.h V = B.h 
pi
pi
=
=








 
 
 
pi
pi
=
= +
=

  	




 
  	



pi
pi pi
=
= +
= =




  	

 



 


 
  	  
c
P
α)
d
α β
α γ γ
β γ

 ∩ =

⊥  ⊥
 ⊥
   
     
   




α β
α β
β
α

 ⊥
 ∩ =
 ⊥
⊂
⊥
   
     
 



 
α
b
a
d
Q
P
c
b
a
d
P
H
C
B
A
c b
a
C
B
A
a 2a
A B
D C
b
a
D C
BA
b
a
D
C
B
A
HD
C
B
A
HD C
BA
r
Tr
ng THPT Thanh Bình 1 2015 – 2016 
VQT – 2 – PMDT 
H trc t
a  Oxyz 
T	a 
 vect : 1 2 3 1 2 3( ; ; )a a a a a a i a j a k= ⇔ = + +

 
 
 
 

T	a 
 im: ( ; ; )M x y z OM xi y j zk⇔ = + +

 
 
 

Cho 1 2 3( ; ; )a a a a=


 và 1 2 3( ; ; )b b b b=


• 1 1 2 2 3 3( ; ; )a b a b a b a b± = ± ± ±

 

• 
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=


= ⇔ =
 =

 

• 1 2 3. ( ; ; )k a ka ka ka=


• 2 2 21 2 3a a a a= + +


• 1 1 2 2 3 3.a b a b a b a b= + +

 

• . 0a b a b⊥ ⇔ =

 
 
 

• 
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 1 2
, ; ;
 ( ; ; )
a a a a a a
a b
b b b b b b
a b b a a b b a a b b a
 
 	 = 
 
= − − −

 

(gi
a cui u gi
a) 
• ,a b

 

 cùng phng , 0a b 	⇔ = 


 
 

• 
.
cos( , )
.
a b
a b
a b
=

 


 


 
 
• , ,a b c

 
 

 
ng phng , 0a b c 	⇔ = 


 
 

Cho ( ; ; )
A A A
A x y z ; ( ; ; )
B B B
B x y z ; ( ; ; )
C C C
C x y z 
• ( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −


• 2 2 2( ) ( ) ( )B A B A B AAB x x y y z z= − + − + − 
• M là trung im AB: 
2
2
2
A B
M
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
z z
z
+

=

+
=

+
=

• G là tr	ng tâm tam giác ABC: 
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
+ +

=

+ +
=

+ +
=

• A, B, C lp thành tam giác ⇔ A, B, C không thng hàng 
,AB AC⇔

 

không cùng phng , 0AB AC 	⇔ ≠ 


 
 

• A, B, C, D là t din , 0AB AC AD 	⇔ ≠ 


 
 

1
,
2
ABC
S AB AC 	=  


 

 .
1
,
6
A BCDV AB AC AD 	=  


 
 

 hay 
1
.
3
BCDV S h= 
Chú ý: M∈Ox ⇔ M(x; 0; 0) M∈Oy ⇔ M(0; y; 0) M∈Oz ⇔ M(0; 0; z) 
 M∈(Oxy) ⇔ M(x; y; 0) M∈(Oyz) ⇔ M(0; y; z) M∈(Ozx) ⇔ M(x; 0; z) 
Thit lp h t
a  cho hình chóp th
ng g
p: 
1.1. Hình chóp u: 
 Hình chóp u S.ABC Hình chóp u S.ABCD 
1.2. Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc vi áy và: 
ABCD là hình ch nht ABCD là hình thang vuông ti A, D 
1.3. Hình chóp S.ABC có SA vuông góc vi áy và: 
(*) 
 ∆ABC vuông ti A ∆ABC vuông ti B ∆ABC cân ti A 
D
O
S
A
B
C
x
y
z
x
D
A
y
B
O
C
S
z
S
A
D
C
B
y
z
x
z
y
x
A B
CD
S
z
y
x
A
S
B
C
S
z
A B
y
x
C
z
S
AB
y
x
C
A
x
S
B
y
C
z
I
z
S
A
y C
x
B
z
y
x
C B
A
S
O
Tr
ng THPT Thanh Bình 1 2015 – 2016 
VQT – 3 – PMDT 
Dng (*) có th m r
ng cho trng hp ∆ABC u, ∆ABC cân ti C. 
Vi các dng khác ta cn linh hot ( nu có th)  có c phép chuyn i thích hp da trên ng 
cao ca hình chóp và tính cht áy. 
Thit lp h t
a  cho lng tr: 
1. Lng tr ng ABC.A’B’C’: 
 ∆ABC vuông ti A ∆ABC cân ti A ∆ABC u 
 (có th
 chn nh ∆ vuông hoc cân) 
2. Lng tr ng ABCD.A1B1C1D1: 
ABCD là hình ch nht ABCD là hình thoi 
(N	u ABCD là hình vuông thì có th
 la chn m
t trong ba trng hp trên) 
 ABCD là hình thang vuông ti A và D ABCD là hình thang cân có áy AB 
3. Lng tr nghiêng: ta da trên ng cao và tính cht ca áy  thit lp h trc t	a 
 thích hp. 
PHNG TRÌNH MT CU 
PHNG TRÌNH TNG QUÁT CA MT PHNG 
1. Nu (P) i qua 
0 0 0
( ; ; )M x y z , có VTPT ( ; ; )n A B C=


 thì (P) có phng trình tng quát: 
 0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − = hay 0Ax By Cz D+ + + = 
(VTPT ca (P) là vect khác 0


 và có giá vuông góc vi (P)) 
2. Cách xác nh VTPT ca (P) th
ng g
p: 
 (P) ⊥ AB (P) ⊥ d mp trung trc ca on MN (P) tx (S) ti H 
 mp(ABC) 
A'
C'
B'
A
C
B
z
y
x
I
B
A
C
C'
A'
B'z
x
y
z
A'
C'B'
B
C
Ay
x
B
A
C
A'
C' B'
z
y
x
A1
B1
C1
D1
D
A B
C
y
x
z
O
D1
A1
B1
C1
D
A
B
C
x
y
z
A
D
B
C
B1
C1
D1
A1
z
x
y
z
A1
D1
D
A
y C
x
B
B1
C1
B1
A1 z
D1
A
C1
B
CD
y
x
n IH=

 

',d dn u u 	=  


 
 

,
Q d
n n u 	=  


 
 

,n n nα β 	=  


 
 

Tr
ng THPT Thanh Bình 1 2015 – 2016 
VQT – 4 – PMDT 
3. Các tr
ng h	p riêng: 
• (P) qua ba im A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) 
( ) : 1
x y z
P
a b c
+ + = (Phng trình on chn) 
• (P) qua O : Ax + By + Cz = 0 
• (P) song song hoc cha Ox : By + Cz + D = 0 
• (P) song song hoc trùng (Oxy) : Cz + D = 0 
PHNG TRÌNH NG THNG 
1. Nu ng thng d qua 
0 0 0
( ; ; )M x y z và có VTCP ( ; ; )u a b c=


• Phng trình tham s ca d: 
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +
 = +
 , (t ∈ R) 
• Phng trình chính tc ca d: 0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= = (a.b.c  0) 
(VTCP ca d là vect khác 0


 và có giá song song vi d) 
2. Cách xác nh VTCP ca 
ng thng th
ng g
p: 
 d ⊥ a và d ⊥ b d ⊥ ∆ và d // (P) d = (P) ∩ (Q) 
3. V trí t
ng  i ca hai 
ng thng: 
• 
0
, ' 0
/ / '
'
u u
d d
M d

 	 = 
⇔ 
∉

 
 

 • d ct d’ 
0 0
, ' 0
, ' . ' 0
u u
u u M M

 	 ≠ 

⇔ 
 	 = 


 
 


 
 

• 
0
, ' 0
'
'
u u
d d
M d

 	 = 
≡ ⇔ 
∈

 
 

 • d và d’ chéo nhau 
0 0
, ' 0
, ' . ' 0
u u
u u M M

 	 ≠ 

⇔ 
 	 ≠ 


 
 


 
 

KHONG CÁCH 
• Kho ng cách t! 0 0 0( ; ; )M x y z n mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 là :
0 0 0
( ,( )
2 2 2
M P
Ax By Cz D
d
A B C
+ + +
=
+ +
• Kho ng cách t! 0 0 0( ; ; )M x y z n ng thng d là : 
0
( , )
,
M d
MM u
d
u
 	
=

 


 
• Kho ng cách gia hai ng thng chéo nhau : 
1 2
1 2 1 2
( , )
1 2
,
,
d d
u u M M
d
u u
 	
=
 	

 
 


 
 
Chúc các em thành công. 
u AB=

 

u u∆=

 

Pu n=

 

,u a b 	=  


 
 

, Pu u n∆ 	=  


 
 

,P Qu n n 	=