Kiểm tra học kì II – Năm học 2015 – 2016 môn: Toán 9

KIỂM TRA HKII – Năm học 2015 – 2016 
MÔN: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể giao đề)
Bài 1. (2 điểm) 
 Giải phương trình và hệ phương trình sau :
	a) x2 + 5x – 6 = 0 	b) 2x4 + 3x2 – 2 = 0	c) 
Bài 2. (2 điểm) Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A đến B. Xe du lịch có vận tốc lớn hơn xe khách là 20 km/h do đó đến B trước xe khách 50 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Biết khoảng cách từ A đến B là 100 km.
Bài 3. (3 điểm) Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB cố định. Qua A và B vẽ các tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O. Từ một điểm M tùy ý trên nửa đường tròn (M A, M B) vẽ tiếp tuyến thứ 3 với nửa đường tròn cắt các tiếp tuyến tại A và B theo thứ tự là H và K.
	a) Chứng minh tứ giác AHMO là tứ giác nội tiếp.
	b) Chứng minh AH + BK = HK.
	c) Chứng minh ∆HAO ∆AMB và HO . MB = 2R2
Bài 4. (1 điểm) Khi quay tam giác ABC vuông ở A một vòng quanh cạnh góc vuông AC cố định, ta được một hình nón. Biết rằng BC = 4 cm, góc ACB bằng 300. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.
 Câu
Nội dung
Điểm
LÝ THUYẾT
LT
Đề 1
Viết đúng công thức nghiệm của PT bậc hai (sgk)
2
LT
Đề 2
Nêu tính chất góc nội tiếp (sgk)
Số đo cung BC = 600
1
1
BÀI TẬP
Bài 1
a) x2 + 5x – 6 = 0 có a + b + c = 1 + 5 + (-6) = 0	
Nên phương trình có 2 nghiệm là: x1 = 1 ; x2 = -6
0,25
0,25
b) 2x4 + 3x2 – 2 = 0 (2)
Đặt x2 = t ≥ 0 phương trình (2) trở thành
2t2 + 3t – 2 = 0
∆ = 25
t1 = (nhận)
t2 = -2 (loại)
Với t = t1 = , ta có x2 = . Suy ra x1 = , x2 = -
0,25
0,25
0,25
c) 
0,25
0,25
0,25
Bài 2
Gọi vận tốc của xe khách là x (km/h); ĐK: x > 0
Vận tốc xe du lịch là: x + 20 (km/h)	
Thời gian xe khách đi hết quãng đường là: (h)
Thời gian xe du lịch đi hết quãng đường là: (h)
Đổi 50 phút = h
Theo bài ta có phương trình : - = 	 600 (x + 20) – 5x (x + 20) = 600x
600x + 12 000 – 5x2 – 100x – 600x = 0
5x2 + 100x – 12 000 = 0
 x2 + 20x – 2 400 = 0	102 + 2 400 = 2 500
 = 50 => x1 = = 40
	 => x2 = = -60 	 (loại)
Vậy vận tốc xe khách là: 40 km/h 
 và vận tốc xe du lịch là: 60 km/h	
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
Bài 3
Vẽ hình ghi GT, KL
0,5
a) Chứng minh tứ giác AHMO là tứ giác nội tiếp
	Xét tứ giác AHMO có:
	 = = 900 (tính chất tiếp tuyến)	+ = 1800
nên tứ giác AHMO nội tiếp đường tròn.	
b) Chứng minh AH + BK = HK
	Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau 
	Ta có: AH = MH và MK = KB	Mà HM + MK = HK (vì M nằm giữa H và K)
AH + BK = HK	
c) (g g)
 HO . MB = AB . AO = 2R2 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
AB = 2 cm
AC = cm
Sxq = 8 cm2
V = cm3
0,25
0,25
0,25
0,25
Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
 BÌNH PHƯỚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
 (Đề gồm 01 trang)
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
Năm học 2015 - 2016
 Môn: TOÁN – LỚP 9
Thời gian làm bài: 90 phút 
Câu 3. (2,0 điểm) 
Cho phương trình: (ẩn x)
	a) Giải phương trình với 
	b) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu và thỏa mãn 
Câu 4. (3,0 điểm)
 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Vẽ đường tròn (O) đường kính BC, đường tròn này cắt AB và AC lần lượt tại D và E; BE và CD cắt nhau tại H.
a) Giải thích vì sao và là góc vuông; Từ đó chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
b) Kéo dài AH cắt BC tại F. Chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp.
c) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DFE.
 .HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2015 – 2016
NỘI DUNG
ĐIỂM
 Câu 3: 
2 điểm
a) Với , ta có: 
Phương trình có hai nghiệm là: 
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi 
 Ta có: 
Vậy m=1 thỏa yêu cầu bài toán.
0,25
0,25
0,5 
0,25+0,25 
0,25
0,25 
Câu 4: 
3 điểm
Vẽ hình đúng (đến câu a)
0,25
a) Giải thích vì sao và là góc vuông; Từ đó chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
Ta có và là góc vuông, vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
Tứ giác ADHE nội tiếp.
0,5
0,5
b) Kéo dài AH cắt BC tại F. Chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp.
Do BE và CD là hai đường cao của tam giác ABC
cắt nhau tại H, nên AHBC hay AFBC
Tứ giác BDHF nội tiếp
0,25
0,5
c) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DFE.
Ta có ( cùng chắn cung EC)
 (cùng chắn cung HF)
DH là phân giác của góc EDF
Chứng minh tương tự, ta có EH là phân giác của góc DEF.
H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. 
0,5
0,25
0,25
Bài 3 : (1,5 điểm) Cho hàm số (P): y = ax2 và đường thẳng 
a) Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( -1:-1) .
b) Với a vừa tìm được ở câu a), tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phương pháp đại số.
Bài 4 : (1,5 điểm) Cho phương trình: (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1.
b) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm .
c) Khi m = 0, không giải phương trình. Tính A = 
Bài 6: (2,5 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M bất kì trên đường tròn. Qua điểm H thuộc đoạn OB vẽ đường thẳng d vuông góc với AB, đường thẳng d cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại D, C. Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt đường thẳng d tại I, tia AC cắt đường tròn tại E, đường thẳng ME cắt OI tại K. 
Chứng minh: 
a, ACBD, từ đó suy ra 3 điểm D, E, B thẳng hàng.
b, Tứ giác MOHE nội tiếp.
c, IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
d, Đường thẳng ME đi qua điểm cố định.
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài 3 : (1,5 điểm)
Do (P) đi qua A(-1;-1) nên ta có:
	(0,75)
Tọa độ giao điểm (-2 ; - 4)	(0,75)
Bài 4 : (1,5 điểm)
a. Giải được x = 2	 (0,5)
b. = (m-3)2 0 với mọi m nên phương trình có nghiệm với mọi m.	(0,5)
c. Với m = 0 ta có pt :
a = 1, c = -8 nên a.c = -8 pt có hai nghiệm.
Theo Viet ta có 
A= == 20 	(0,5)
Bài 6: (2,5 điểm)
Vẽ hình đúng (0,5)	
Câu a) 
BMAD, DH AB, mà DH cắt BM tại C
Vậy C là trực tâm của ABD
Suy ra AC BD (1)
AEB = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra AE EB hay AC EB (2)
Từ (1) và (2) suy ra 3 điểm D, E, B thẳng hàng.	(0,5)	
Câu b)
Chứng minh tứ giác CEBH nội tiếp
Suy ra CEH = CBH mà
 CBA = CEK(hai góc nội tiếp cùng chắn một cung AM)
Suy ra CEH = CEK
=>MEH = 2 MEA 
Mà MOA = 2 MEA(Góc ở tâm và góc nôi tiếp cùng chắn 1 cung)
Nên MEH =MOA 
Vậy tứ giác MEHO nội tiếp	(0,5)
Câu c)
Chứng minh tứ giác MIHO nội tiếp đường tròn đường kính OI
Theo c/m câu b tứ giác MEHO nội tiếp
Nên 5 điểm I, M,O, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính IO
Suy ra IEO = 900(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
 Vậy IE là tiếp tuyến của đường tròn (O)	(0,5)
Câu d)
Gọi P là giao điểm của AB và ME
Chứng minh OK.OI = OM2= R2(*)
Chứng minh được: OK.OI = OH. OP(**)
Từ(*) và (**) suy ra OH. OP = R2
=>OP = Không đổi( do OH không đổi)
Vậy ME luôn đi qua điểm P cố định.	(0,5)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 2. (3,0 điểm)
1. Cho hàm số (1) với . Xác định hệ số , biết đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm 
2. Cho phương trình (2), với là tham số. 
 a. Giải phương trình (2) khi 
 b. Tìm giá trị của để phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn 
Câu 3. (1,5 điểm) 
Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 sản phẩm. Nhưng khi thực hiện xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10% và xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%. Do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 404 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.
Câu 5. (0,5 điểm) 
Cho hai số thực thỏa mãn Hãy tính giá trị của biểu thức:
--------------------------------Hết-------------------------------
Hướng dẫn giải
Điểm
Câu 2
(3 điểm)
1
(1 điểm)
Vì đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm nên, ta có:
0,5
 (thoả mãn điều kiện )
0,25
KL:.
0,25
2.a
(1 điểm)
Khi ta có phương trình 
0,25
Ta có : 
0,25
=> Phương trình có nghiệm , 
0,25
KL:.
0,25
2.b
(1 điểm)
Ta có: 
Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi
0,25
Vì với thì phương trình (2) có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét, ta có:
0,25
Theo đề bài, ta có: 
Thay (1) vào (2), ta được: 
 ( Thỏa mãn ĐK)
0,25
KL:.
0,25
Câu 3
(1,5 điểm)
(1,5 điểm)
 Gọi số sản phẩm xí nghiệp I phải làm theo kế hoạch là x, xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch là y 
0,25
Hai xí nghiệp phải làm theo kế hoạch là 360 sản phẩm nên ta có phương trình: x + y = 360 (1)
0,25
Thực tế xí nghiệp I vượt mức 10%, xí nghiệp II vượt mức 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 404 sản phẩm nên ta có phương trình: 
 10%x + 15%y = 44 hay 2x + 3y = 880 (2)
0,25
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
 (thoả mãn điều kiện)
0,5
KL:.
0,25
Câu 5
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
0,25
Với ta có: 
Vậy P = 2017 hoặc P = 2019.
0,25
Baøi 1: (2,5 ñ) Cho hai haøm soá (P) vaø (d)
	a/ Veõ ñoà thò haøm soá (P)
	b/ Baèng pheùp tính tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø (P)
Baøi 2: (2,5 ñ) Cho phöông trình (aån soá x) (1)
	a/ Giaûi phöông trình khi m = 2
	b/ Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình (1) coù nghieäm.
Baøi 3: (2 ñ) Cho phöông trình . Chöùng toû raèng phöông trình coù 2 nghieäm phaân bieät . Khoâng giaûi phöông trình, haõy tính ; 
Ñaùp aùn – Bieåu ñieåm: Ñaïi soá 9 tieát 66. 
II. Töï luaän: (7 ñieåm)	
Baøi 1: (2,5 ñ) 	 (P) vaø (d)
	a/ Veõ ñoà thò haøm soá (P)
x
-2
-1
0
1
0,5ñ
2
2
0
2
Veõ ñuùng ñoà thò ñöôïc 1ñ
b/ Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø (P)
	Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d) 
	0,25ñ
	 ; 
	;	0,25ñ
	Vôùi 
	 	0,25ñ
	Vaäy toaï ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø (P): (4 ; 8) vaø (-2 ; 2)	0,25ñ
Baøi 2: (2,5 ñ) (1)
	a/ Vôùi m = 2 ta coù phöông trình: 	0,5ñ
	 ; 	0,5ñ
	 ;	0,5ñ
	b/ vôùi moïi m.	0,5ñ
Vaäy phöông trình (1) luoân coù nghieäm vôùi moïi giaù trò cuûa m.	0,5ñ
Baøi 3: (2 ñ) Phöông trình coù a vaø c traùi daáu neân phöông trình luoân coù 2 nghieäm phaân bieät.	0,5ñ
Theo ñònh lí Vi-eùt, ta coù: 	0,5ñ	
 	0,5ñ
	0,5ñ
Bài 2( 2,0 điểm ) 
	a/Xác định hàm số y = ax2 biết đồ thị đi qua M(2; 2)
	b/ Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được ở câu a
Bài 3 (2,0 điểm) 
Cho phương trình : x2 – 2( a - 2)x + 2a + 3 = 0 
Giải phương trình với a = -1
Tìm a để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Tìm a để phương trình có nghiệm kép.
ĐÁP ÁN
Bài
 Nội dung
Điểm
Bài 2 1đ 
a/Xác định hàm số y = ax2 biết đồ thị đi qua M(2; 2)
Đồ thị hàm số y = ax2 biết đồ thị đi qua M(2; 2) nên: 2 = a.4
Suy ra: a = 
Hàm số: y = x2
0.5
0.5
1đ
b/ Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được ở câu a
Lập bảng 
Vẽ đồ thị
0.5
0.5
 Bài 3
(2,0đ)
a) Với a = -1 phương trình có dạng: x2 + 6x +1 = 0
 = 9 – 1 = 8 > 0 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
 x1= - 3 + ; x2= -3 - 
b)Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi : 
 c/a < 0
c) Phương trình có nghiệm kép: 
Vậy với a1 = thì phương trình có nghiệm kép
0.25
0.25
0.5
0.5đ
0.5đ
Bài 3(2đ) Cho pt : x2 -2(m+1)x + m2 + 2 = 0 (1).
Tìm m để pt(1) có 2 nghiệm pb.
Với giá trị m tìm được pt(1) có 2 nghiệm x1, x2. Tìm m để 3x1 – x2 = 0.
HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA HK2-NĂM HỌC 2015-2016
MÔN : TOÁN 9
3a
x2 -2(m+1)x + m2 + 2 = 0 (1).
Tìm m để pt(1) có 2 nghiệm pb.
1,0
0,25
0,25
Pt(1) có 2 nghiệm pb 
0,25
Nếu thì được 0,25
0,25
3b
Tìm m để 3x1 – x2 = 0.
1,0
thì pt(1) có 2 nghiệm pb
0,25
Theo đl Vi-ét ta có 
0,25
3x1-x2 = 0
0,25
Thay x1, x2 vào (2) ta được :
m2 -6m + 5 = 0
từ a +b + c = 1 -6 + 5 = 0
 : nhận
: nhận
0,25
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho phương trình: x2 + ( 2m – 1 ) x – m = 0 
a) Giải phương trình với 
b) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
c) Tìm giá trị của m để biểu thức B = x12 + x22 – 6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015-2016
Câu
Đáp án
Điểm
Bài 2
(2 điểm)
a) Với ta có phương trình 
Phương trình có dạng 
b) Ta có : D = (2m – 1)2 + 4m 
 = 4m2 + 1 ³ 1
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m
 c) Ta có: B = x12 + x22 – 6x1x2 = (x1 + x2)2 – 8x1x2
 = [– (2m – 1)]2 – 8(– m) = 4m2 + 4m + 1
 = (2m + 1)2 ³ 0
B đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi 2m + 1 = 0
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 8 : Trong cùng hệ trục toạ độ , gọi (P) là đồ thị hàm số y = x2 và (D) là đồ thị hàm số 
 y = - x + 2
a) Vẽ (P) và (D)
b) Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép tính.
c) Tìm a và b trong hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị (d/) của hàm số này song song với (D) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng – 1
Giải:
a) Vẽ (P) và (D):
b)Dựa vào đồ thị ta có A( -2;4) , B( 1 ;1) .Kiểm tra bằng cách thay toạ độ của các điểm A và B vào 2 hàm số ta thấy đều thoả mãn.
c) Đường thẳng (d/) song song với đường thẳng (D) nên a = -1. Mặt khác (d/) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1 ,tức là (d/) đi qua điểm (-1; 1) => x = -1 , y = 1
Thay a = -1 . x = -1 , y = 1 vào phương trình của đường thẳng (d/) ta có :
 1 = (-1)(-1) + b => b = 0
Vậy phương trình của đường thẳng (d/) là : y = - x 
Bài 9: Cho hàm số : y = - x2 (P)
Vẽ đồ thị (P)
Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị (P) tại 2 điểm phân biệt .
Giải :
a)Lập bảng giá trị :
 x
-2
-1
0
1
2
y = -x2
-2
-
0
-
-2
b/Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) : y = 2x + m và parabol(P)
 l à : - x2 = 2x + m x2 + 4x + 2m = 0 (1) 
Để (D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
 > 0 4 – 2m > 0 m < 2 
Vậy với m < 2 thì đường thẳng (D) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Bài 10 : Trên cùng hệ trục toạ độ cho đường thẳng (D) và parabol (P) có phương trình :
 (D) : y = k(x -1)
 (P) : y = x2- 3 x + 2
a) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của k , (D) và (P) luôn có điểm chung 
b) Trong trường hợp (D) tiếp xúc với (P) .Tìm toạ độ tiếp điểm.
Giải:
a)Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là:
 x2 – 3x + 2 = k(x -1) x2 – (3+ k)x +2 + k = 0 (1)
Phương trình (1) có : = ( 3 + k)2 – 4 ( 2 + k) = 9 + 6k + k2 – 8 – 4k = k2 + 2k + 1
 = (k + 1)2 0 với mọi k 
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi k .Do đó đường thẳng (D) và parabol (P) luôn có điểm chung
b) (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 (k + 1)2 = 0 
 k = - 1 ,Khi đó phương trình (1) có nghiệm là x = = = 1 (Đây chính là hoành độ giao điểm của (D) và (P) ).Tung độ giao điểm là: y = 0
Vậy toạ độ tiếp điểm là : (1 ;0 )
Bài 11: Cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đường thẳng (D) của hàm số : y = (m-1)x – (m – 1)
Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm.
Vẽ đồ thị (P) và (D) với a , m tìm được trên cùng hệ trục toạ độ.
Giải:
Đồ thị (P) đi qua điểm A(-2; 4) nên ta có : 4 = a.(-2)2 => a = 1 => (P) : y = x2 
Đề (P) tiếp xúc với (D) thì phương trình : (m -1)x – (m -1) = x2 có nghiệm kép
 x2 – (m -1)x + (m-1) = 0 có nghiệm kép
 = 0 (m -1)2 – 4(m-1) = 0 (m -1)(m-1- 4) = 0 (m – 1)(m – 5) = 0
*)Với m = 1 => x = = = 0 (đây là hoành độ tiếp điểm) , tung độ tiếp điểm là:
 y = 0.Vậy toạ độ tiếp điểm thứ là : (0 ; 0 ) Chính là gốc toạ độ. Khi đó đường thẳng (D) trùng với trục hoành Ox
*) Với m = 5 => x = = = 2 (là hoành độ tiếp điểm ) ,tung độ tiếp điểm là: 
 y = 4 . Vậy toạ độ tiếp điểm thứ 2 là : ( 2 ; 4)
b) Ta vẽ đồ thị hàm số : y = x2 . 
 Khi m = 1 đường thẳng (D) trùng với trục hoành
 Khi m = 5 đường thẳng (D) có phương trình là : y = 4x – 4
 Có đồ thị như sau :
Bài 12: Trên cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (D) : y = 2x + m
Vẽ P.
Tìm m để (D) tiếp xúc với (P)
(Hướng dẫn : xem bài 11)
Bài 13: Trong cùng hệ trục toạ độ gọi (P) và (D) lần lượt là đồ thị hàm số :
 y = - và y = x + 1
a) Vẽ (P) và (D) 
b) Dùng đồ thị hàm số để giải phương trình : x2 + 4x + 4 = 0
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với (D) và cắt (P) tại điểm có tung độ là – 4
Giải:
a) Vẽ (P) và (D):
b/Phương trình : x2 + 4x + 4 = 0 (1) - x2 = 4x + 4 - = x + 1
Đặt y = - => y = x + 1 là hai đồ thị hàm số đã vẽ ở câu a) Do đó nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giáo điểm của 2 đồ thi trên. Dựa vào đồ thị ta có: Hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ là – 2 .Nên nghiệm của phương trình đã cho là x = -2
Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm là : y = ax + b
Vì (d) // (D) => a = 1
Vì (d) cắt (P) tại điểm có tung độ bằng – 4 => hoành độ của đó là : x = 4 .Tức là đường thẳng (d) đi qua điểm ( 4; - 4 ) nên ta có :
 - 4 = 1. 4 + b => b = - 8.Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = x – 8.
Bài 14: Cho hàm số : y = x2 và y = x + m 
Tìm m sao cho đồ thị (P) của y = x2 và độ thị (D) của y = x + m có 2 giao điểm phân biệt A và B
Tìm phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (D) tiếp xúc với (P)
Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai giao điểm theo toạ độ của 2 điểm ấy. Áp dụng : Tìm m sao cho khoảng cách giữa 2 điểm A và B ở câu a) là 3
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là :
 x2  = x + m x2 – x – m = 0 (1)
 (D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
 > 0 (-1)2 – 4.1.(-m) > 0 1 + 4m > 0 m > - 
Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm : y = ax + b
Vì (d ) (D) => a.1 = -1 => a = -1 => y = -x + b
Phương trình hoành độ giáo điểm của (d) và (P) là : x2 = - x + b x2 + x - b = 0 (2)
Phương trình (2) có : = 1 + 4b 
(d) tiếp xúc (P) phương trình (2) có nghiệm kép = 1 + 4b = 0 => b = - 
 Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là : y = - x - 
Giả sử A(xA; yA) và B(xB; yB) (Hình vẽ)
 Khoảng cách giữa hai điểm xA , xB trên trục Ox bằng .Khoảng cách giữa hai điểm 
 yA , yB trên trục Oy bằng 
Trong tam giác vuông ABC ta có : AB2 = AC2 + BC2 
 = ( xB – xA)2 + (yB – yA )2
 => AB = 
 Theo câu a) ta có : Với m > - phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là:
 x1 = ; x2 = 
Với x1 = => y1 = 
 x2 = => y2 = 
Gọi A( ; ) và B( ; )
Áp dụng công thức trên ta có : 
 AB = 
 = = = 
 AB = 3 = 3 2+ 8m = 18 m = 2 
 Trả lời : m = 2 là giá trị cần tìm
Bài 15 : Trong cùng hệ trục toạ độ , gọi (P) là đồ thị hàm số : y = x2 , 
 (D) là đồ thị hàm số :y = x + 2 
a) Vẽ (D) và (P)
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng đồ thị và bằng phép toán
Giải:
a)Vẽ (D) và (P)
b) Dựa vào đồ thị ta có đường thẳng (D) cắt parabol (P) tại hai điểm M(-2 ; 1) và N(4 ; 4)
Kiểm tra bằng phép tính :
Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là :
 x2 = x + 2 x2 – 2x – 8 = 0 (1)
Có : = 1 + 8 = 9 => = 3 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt : 
 x1 = 1 – 3 = - 2 ; x2 = 1 + 3 = 4
Do đó đường thẳng (D) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt ,có hoành độ giao điểm lần lượt là -2 , 4
Với x1 = - 2 => y1 = (-2)2 = 1 => M(-2 ; 1)
Với x2 = 4 => y2 = . 42 = 4 => N( 4 ; 4
Bài 16: Cho parabol (P) : y = - và điểm M (1 ; -2)
Viết phương trình đường thẳng (D) qua M và có hệ số góc là m
Chứng minh rằng (D) luôn luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi
Giải :
Phương trình đường thẳng (D) cần tìm có dạng: y = mx + b 
Vì (D) đi qua M(1 ; -2) => -2 = m.1 + b => b = - m – 2
Vậy phương trình đường thẳng (D) cần tìm là : y = mx – m – 2
b)Ta có phương trình hoành độ giáo điểm của (D) và (P) là :
 - = mx – m – 2 x2 + 4mx – 4m – 8 = 0 (1)
Phương trình (1) có: = 4m2 + 4m + 8 = 4m2 + 4m + 1 + 7 
 = (2m + 1)2 + 7 > 0 với mọi m
Nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Do đó đường thẳng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi.
Bài 17 : Trong cùng hệ trục toạ độ vuông góc cho parabol (P) : y = - x2 và đường thẳng (D) : y = mx – 2m – 1
Vẽ (P)
Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)
Chứng tỏ (D) luôn luôn qua điểm cố định A thuộc (P) 
Giải :
Tự vẽ
Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là : - x2 = mx – 2m – 1 
 x2 + 4mx – 8m – 4 = 0 (1) 
 (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 
 4m2 + 8m + 4 = 0 (2m + 2)2 = 0 2m + 2 = 0 m = -1
Vậy m = -1 thì (D) tiếp xúc với (P)
Gọi A(x0 ; y0 ) là điểm cố định mà đường thẳng (D) luôn đi qua
Khi đó phương trình : y0 = mx0 - 2m – 1 có nghiệm với mọi m
 (x0 – 2)m – (y0 + 1) = 0 có nghiệm với mọi m
Suy ra điểm A( 2 ; -1).Thay x = 2 vào phương trình của (P) ta có y = - . 22 = - 1
Nên điểm A(2 ; -1) thuộc (P).Vậy đường thẳng (D) luôn đi qua điểm A( 2 ; -1) cố định thuộc (P)
Bài 18 : Trên cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (D) : y = x – 1
Vẽ (P) và (D)
Chứng tỏ (bằng phép toán ) (P) và (D) tiếp xúc nhau tại 1 điểm ,xác định toạ độ điểm này.
VÝ dô 1: 
	Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc tro