Đề thi học sinh giỏi bậc THCS cấp thành phố năm học 2016 - 2017 môn: Ttoán

GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Phan Chu Trr ii nh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 1 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TP BUÔN MA THUỘT 
--------- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI HỌC SINH GIỎI BẬC THCS 
CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017 
MÔN: TOÁN 
Thời gian: 150 phút (không tính giao đề) 
Ngày thi: 24/02/2017 
Bài 1: (4 điểm) 
Cho biểu thức 3x 3 x 1 1 2x 5 x 5P :
x x 1 x x 1 x 1 x 1
      
               
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P. 
b) Tính giá trị của P khi 18x
4 7


. 
c) Tính giá trị lớn nhất của P. 
Bài 2: (5,5 điểm) 
a) Chứng minh rằng với 3 2B n 3n n 3 48     với n là số nguyên lẻ. 
b) Giải phương trình 2( x 5 x 2)(1 x 7x 10) 3       . 
c) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên n và k để 4 2k 1n 4  là số nguyên tố (trong đó n 1 ). 
Bài 3: (2,5 điểm) 
a) Cho đường thẳng (d) có phương trình 2m(m + 1)x – y = –m và đường thẳng '(d ) có 
phương trình 4(m – 2)x + y = 3m – 1, trong đó x, y là ẩn số, m là tham số, cho biết m 1  , 
m 0 , m 2 và 1m
3
 ). Hãy xác định các giá trị của m để (d) // (d’). 
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2x y 6x 4y 13 0     . 
Bài 4: (4,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định, thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Vẽ đường 
tròn (O;R) sao cho (O;R) luôn nhận BC làm dây cung (BC < 2R). Từ A kẻ các tiếp tuyến 
AF và AE đến (O;R), (F nằm trong nửa mặt phẳng bờ là AO có chứa dây BC). Gọi I là 
trung điểm của dây BC, EF cắt BC tại N và cắt AO tại K. Chứng minh: 
a) 2 AB.ACAF  . 
b) 5 điểm A, E, O, I, F cùng thuộc một đường tròn. 
c) Khi đường tròn (O;R) thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp KOI luôn đi qua một điểm 
cố định. 
Bài 5: (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, lấy điểm M thuộc đường tròn 
sao cho MA < MB (M khác A và B). Vẽ MC là tia phân giác của AMB (C thuộc AB). 
Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng AM và BM lần lượt tại D 
và H. Chứng minh rằng: 
a) Các đường thẳng AH và BD cắt nhau tại một điểm N nằm trên đường tròn (O). 
b) Gọi E là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A của (O), gọi F là hình chiếu của D trên 
tiếp tuyến tại B của đường tròn (O). Chứng minh các tứ giác ACHE và CBFD là hình 
vuông. 
c) Chứng minh bốn điểm M, N, E, F thẳng hàng. 
d) Gọi 1 2S ,S lần lượt là diện tích của các tú giác ACHE và BCDF. Chứng minh: 
2
1 2CM S S . 
GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Phan Chu Trr ii nh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 2 
BÀI GIẢI SƠ LƯỢC 
Bài 1: (4,0 điểm) 
a) P có nghĩa khi 
x 0, x x 1 0
x x 1 0
x 0, x 1x 1 0
2x 5 x 5
0
x 1
   

  

    

   
   
  
  
2
3x 3 x 1 x x 13x 3 x 1 1 2x 5 x 5 2x 5 x 5
P : :
x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1x 1 x x 1
x x 1 x 1 1
2x 5 x 5 2x 5 x 5x 1 x x 1
             
                   
  
  
     
b) Ta có: 
   2
18 4 718
x 8 2 7 7 1
94 7

     

 (TMĐK). 
Do đó 
   2
1 1 26 9 7
P
10926 9 72 8 2 7 5 7 1 5

  
   
c) 2
1 1 8
P
152x 5 x 5 5 15
2 x
4 8
  
     
 
. Dấu “=” xảy ra khi 5 25x 0 x
4 16
    (TMĐK) 
Vậy max P = 8 25x
15 16
  
Bài 2: (5,5 điểm) 
a)           3 2B n 3n n 3 n 1 n 1 n 3 2k 2k 2 2k 4 8k k 1 k 2              (n lẻ, n 2k 1  ) 
Vì   k k 1 k 2 6 B 48    
b) ĐK: x 2  . Đặt  a x 5, b x 2 a 0, b 0      . ta có: 
  
2 2a b 3
a b 1 ab 3
  

  
          2 2
a b
a b a b 1 ab a b a b 1 ab 0 a b a 1 1 b 0 a 1
b 1

                 
 
+) a b x 5 x 2 0x 3       (vô nghiệm) 
+) 2a 1 b 2    (vô lí) 
+) 2b 1 a 4 a 2     (vì a 0 ). Ta có: x 5 2 x 1     (TMĐK) 
Vậy phương trình có một nghiệm là x = –1 
c) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên n và k để 4 2k 1n 4  là số nguyên tố (trong đó n 1 ). 
Ta có:      2 22 2k 14 2k 1 4 2 2k 1 2 2k 1 2 2k 1 k 1n 4 n 2n 2 2 2n 2 n 2 2 n              
GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Phan Chu Trr ii nh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 3 
      2 22 2k 1 k 1 2 2k 1 k 1 k 2k k 2kn 2 2 n n 2 2 n n 2 2 n 2 2                       
+) Nếu n 1, k 0  thì 4 2k 1n 4 5  là số nguyên tố 
+) Nếu n 1, k 0  thì    2 2k 2k k 2k 4 2k 1n 2 2 2; n 2 2 2 n 4         là hợp số. 
Vậy n = 1, k = 0 
Bài 3: (2,5 điểm) 
a) Ta có : 2m(m + 1)x – y = –m  y = 2m(m + 1)x + m (d) 
 4(m – 2)x + y = 3m – 1  y = –4(m – 2)x + 3m – 1 (d’) 
Do đó (d) // (d’)  
  m 1 m 4 0 m 12m(m 1) 4 m 2
1 m 4m 3m 1 m
2
         
          
Vậy m = 1 hoặc m = –4 thì (d) // (d’) 
b)    2 22 2
x 3
x y 6x 4y 13 0 x 3 y 2 0
y 2

           
 
 (thỏa mãn x, y  Z) 
Bài 4: (4,0 điểm) 
K
N
F
E
IA CB
O
a) 2AF AB.AC 
ACF và AFB có:  CAF FAB (góc chung),  ACF AFB (góc nội tiếp và góc .) 
Vậy ACF AFB     2AF AB AF AB AC
AC AF
b) 5 điểm A, E, O, I, F cùng thuộc một đường tròn. 
  0AEO AFO 90  (AE, AF là tiếp tuyến của (O));  0AIO 90 (do BCIB IC
2
  ) 
Vậy 5 điểm A, E, O, I, F cùng thuộc một đường tròn đường kính OA. 
c) Khi đường tròn (O;R) thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp KOI luôn đi qua một 
điểm cố định. 
Vì B, C cố định  I cố định, nên đường tròn ngoại tiếp KOI luôn đi qua một điểm cố 
định I khi đường tròn (O;R) thay đổi. 
Bài 5: (4,0 điểm) 
GV:: Nguyy ễễ n Dương Hảii – THCS Phan Chu Trr ii nh – BMT – Đăkk Lăkk (( Sưu tt ầm và v gii ớii tt hii ệệ u)) tt rr ang 4 
F
E
N
D
H
CA BO
M
a) Các đường thẳng AH và BD cắt nhau tại một điểm N nằm trên đường tròn (O). 
ABD: DC  AB (gt), BM  AD ( 0AMB 90 , góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) 
 H là trực tâm ABD  AN  BD   0ANB 90  N nằm trên đường tròn (O). 
b) Chứng minh các tứ giác ACHE và CBFD là hình vuông. 
Ta có:   0ACH AEH 90  (gt),  0AMH 90 (cmt)  A, C, H, M, E cùng thuộc đường tròn 
đường kính AH   

0AMBCAH CMH 45
2
    AH là phân giác góc CAE 
Tứ giác ACHE:    0A C E 90   , AH là phân giác góc CAE  tứ giác ACHE là hình vuông 
Do  0 0CAH 45 , ANB 90  ABN vuông cân tại N  

0 CBFCBD 45
2
   BD là phân giác 
góc CBF. 
Tứ giác CBFD:    0B C F 90   , BD là phân giác góc CBF  tứ giác CBFD là hình vuông 
c) Chứng minh bốn điểm M, N, E, F thẳng hàng. 
  0AME AHE 45  (góc nội tiếp cùng chắn cung AE của đường tròn đường kính AH) 
  0BMN BAN 45  (góc nội tiếp cùng chắn cung BN của đường tròn (O)) 
     0 0 0 0EMN AME AMB BMN 45 90 45 180        E, M, N thẳng hàng (1) 
Lại có  0BMD 90 (BM  AD), tứ giác CBFD là hình vuông  M nằm trên đường tròn 
ngoại tiếp hình vuông CBFD   0CMF 90 FM CM   , lại có NM CM 
(   0 0 0NMC BMN BMC 45 45 90     ) F, M, N thẳng hàng (2). 
Từ (1), (2)  E, M, N, F thẳng hàng (đpcm) 
d) Gọi 1 2S ,S lần lượt là diện tích của các tú giác ACHE và BCDF. Chứng minh: 
2
1 2CM S S . 
Ta có   0ECH FCH 45  (ACHE; CBFE là các hình vuông)   0ECF 90 
ECF:  0ECF 90 , CM  EF (cmt) 
 2 1 22 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 1 1
CM S S
CM CE CF CE CF 2AC 2BC S SAC BC
       
  
Dấu “=” xảy ra 1 1 CE CF
CE CF
     AC = BC  MA = MB (không thỏa mãn MA < 
MB). Vậy 2 1 2CM S S