Kì thi chọn học sinh giỏi cấp lớp 9 THCS năm học: 2015 – 2016 (dạy kèm) mô Toán

TRƯƠNG QUANG AN 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP LỚP 9 THCS
Năm học : 2015 – 2016(DẠY KÈM )
Môn thi : Toán
Thời gian : 150 phút
( Không kể thời gian phát đề)
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 1 trang)
Họ và tên thí sinh
Số báo danh
Chữ kí
Câu 1: ( 5,0 điểm)
Cho . So sánh A và B?
Tính giá trị biểu thức: .
Cho . Chứng minh rằng: 
Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : .
Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : .
Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C). Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB; AC tại M, N.
Chứng minh rằng : 
Xác định vị trí điểm Q để 
Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C thuộc bán kính OA. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) . Chứng minh : BD = BE.
Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy, trong đó x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện : 
 ----------------- Hết ---------------
Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Giám thị không giải thích gì thêm.
ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Câu 1: ( 5,0 điểm)
a) Cho . So sánh A và B?
b) Tính giá trị biểu thức: .
c) Cho . Chứng minh rằng: 
Giải: a) Ta có : 
Mà 
Nên hay A > B.
 b) Tính giá trị biểu thức: .
c)Cho . Chứng minh rằng: 
 Mình chưa biết giải, bạn nào biết chỉ giúp. Nhưng mình kiểm tra thấy đề không đúng.
 Cho 
Thì ( Thỏa mãn đẳng thức)
Nhưng 
Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : .
 ĐKXĐ : 
Đặt thì 
 . Vậy 
Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình : .
* Điều kiện xác định : .
Ø Nếu thì : PTVN
Nên hệ PT ( I ) vô nghiệm.
ØNếu Chia 2 vế phương trình (1) cho . Ta có :
Đặt thì 
+ Với thì 
Thay vào (**). Ta có :
Với ( thỏa mãn ĐKXĐ)
Với ( thỏa mãn ĐKXĐ)
+ Với thì . Thay vào (**). Ta có :
 : Phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm : và 
Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C). Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB; AC tại M, N.
Chứng minh rằng : 
Xác định vị trí điểm Q để 
GIẢI: 
Gọi .
Ta có: . (1)
Mặt khác : Áp dụng định lí Talet. Ta có: 
 (2)
Vì MI // AC nên (3) 
Vì (g-g)
 mà nên (4)
Từ (1), (2), (3) và (4). Suy ra : 
Hay 
b) Từ câu a. Ta có : 
.
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm. 
Ta có : .
Dấu “ = ” xảy ra khi CI = IH = HB.
Đẳng thức xảy ra khi Q là trung điểm của BC
 và 
Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C thuộc bán kính OA. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) . Chứng minh : BD = BE.
Giải: 
Cách vẽ: + Vẽ phân giác của cắt AB tại E.
Đường phân giác của và đường thẳng vuông góc với AB tại E cắt nhau tại I.
Ta có : là đường tròn tiếp xúc với AC; DC và (O).
Thật vậy : Hạ . Ta có : IE = IF ( t/c đường phân giác)
Nên (I; IE) tiếp xúc với AC; DC và IECF là hình vuông.
Chứng minh: 
+ Chứng minh ba điểm B; F và G thẳng hàng.
Ta có : cân tại I nên 
Xét ( Tính chất góc ngoài)
= 
Nên ba điểm G, F và B thẳng hàng ( vì 2 tia GF và GB trùng nhau)
+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 
Nên (1). 
+Áp dụng tính chất tiếp tuyến. Ta có : 
 (2)
Mặt khác : ( g-g).
 (3)
Từ (2) và (3). Suy ra : (4)
Từ (1) và (4), suy ra : BD = BE.
Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy, trong đó x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện : 
Giải: Từ 
* Nếu x = 0 ; Nếu y = 0 
* Nếu 
Thì ( *)
Đặt 
Thì 
Giải phương trình theo biến t. Ta có :
.
Để phương trình có nghiệm ( Dấu đẳng thức xảy ra )
Thì 
Nên giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy = 0 khi xy = 1
Vì trình độ có hạn và dạy ở trên núi không có điều kiện nghiên cứu và trình độ công nghệ thông tin còn hạn chế ,công tác ở một xã nghèo ,ít tiếp cận với mạng INTERNET ,bản thân chỉ học xong hệ Cao Đẳng Sư Phạm đang dạy hợp đồng cho 1 trường trên núi , mức tiền là 15000 đồng /tiết dạy và nên bài viết chưa được hoàn thiện tốt lắm .Mong đồng nghiệp góp ý đề bài viết này tốt hơn nhé .
Xin mời các bạn giải bài toán sau với nhiều cách giải nhé .Mong nhận được các lời giải của bạn đọc tạp chí toán tuổi trẻ để tôi học hỏi và giao lưu nhé .Đối với tôi bài này thì các bài toán trên có thể giải bằng 13 cách .Các bạn hãy nghiên cứu thêm các cách giải khác nhé và bản thân tôi đang tìm thêm cách giải .
Người yêu toán ở Quảng Ngãi 
Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi 
Trương Quang An