Khảo sát năng khiếu học sinh - Lớp 8 đề thi môn: Toán

Họ và tên thí sinh: ...................................................................... 	SBD: ............................................
KHẢO SÁT NĂNG KHIẾU HỌC SINH - LỚP 8
Đề thi môn: Toán
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,5 điểm). 
 	Cho biểu thức 
a) Nêu điều kiện xác định rồi rút gọn A.
b) Tìm giá trị của x để giá trị của A < -1.
Câu 2 (2,5 điểm).
Giải phương trình: x3 – 3x – 2 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015.
Câu 3 (1,0 điểm).
 	Cho các số: x, y, x thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2014 + y2014 + z2014 = 3.
Tính giá trị của biểu thức: P = x25 + y4 + z2015.
Câu 4 (3,0 điểm). 
 	Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
Chứng minh: ∆OEM vuông cân. 
Chứng minh: ME // BN.
Từ C, kẻ CH BN (H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Câu 5 (1,0 điểm). 
 	Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2) (với k N*). Chứng minh rằng: 4S + 1là bình phương của một số tự nhiên.
--- 
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI
Câu
Nội dung
Điểm
1a.
ĐKXĐ: x ≠ -3;0;3 
A = 
0,5
1
1b
Với x ≠ {-3;0;3} ta có: 
Kết hợp với điều kiện ta có 0 < x ≠ 3 thì A < -1
0,5
0,5
2a.
x3 - 3x - 2 = 0 (x3 + 1) – 3(x + 1) = 0
 (x + 1)(x2 – x – 2) = 0 (x - 2)(x + 1)2 = 0
 x = 2; x = - 1
0,5
0,5
2b.
P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015
P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010
P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010
 => Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi 
0,5
0,5
0,5
3.
 Ta có: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2(x2 + y2 + z2) = 2(xy + yz + zx)
 (x - y )2 +( y – z)2 + (z – x)2 = 0
 x = y = z
 Thay vào biểu thức: x2014 + y2014 + z2014 = 3 => x = y = z = 1
Với x = y = z = 1 thi P = 3
Với x = y = z = -1 thì P = -1
0,25
0,25
0,25
0,25
4a
Xét ∆OEB và ∆OMC
Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC 
Và 
BE = CM ( gt )
Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)	
0,5
 OE = OM và 
Lại có vì tứ giác ABCD là hình vuông
 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O
0,5
4b
Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD
0,25
+ AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lét) (*)
0,25
Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*)
0,25
Ta có : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)
0,25
4c
Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN ( cặp góc đồng vị)
Mà vì ∆OEM vuông cân tại O
∆OMC ∆BMH’ (g.g)
0,25
 ,kết hợp ( hai góc đối đỉnh)
0,25
∆OMB ∆CMH’ (c.g.c) 
0,25
Vậy 
Mà CH BN ( H BN) H H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng (điều phải chứng minh)
0,25
5
Ta có:
 k(k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2). 4= k(k + 1)(k + 2). 
 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
0,5
=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) 
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
0,25
Mặt khác k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + 1
 = (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + 1 = (k2 + 3k + 1)2
Suy ra điều phải chứng minh.
0,25