Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
	Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về đa thức chiếm một số lượng rất nhiều. Trong đó việc tìm nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỷ của đa thức có ý nghĩa thực tiễn rất lớn và cũng mang lại nhiều điều thú vị.
Tuy nhiên, vì lí do khung chương trình nên thời lượng và kiến thức đưa vào chương trình sách giáo khoa về nghiệm của đa thức còn tương đối hạn chế. Vấn đề tìm nghiệm của đa thức chỉ trình bày gọn trong một bài (Bài 9: Nghiệm của đa thức một biến), nội dung toàn bài chủ yếu tập trung vào định nghĩa mà không đi sâu phân tích , hướng dẫn các phương pháp tìm nghiệm. Do vậy các em học sinh khi gặp các bài toán liên quan đến tìm nghiệm của đa thức 1 biến thì đa số còn lúng túng, chưa định hướng được cách giải quyết bài toán. 
Như vậy, khi giảng dạy và bồi dưỡng môn Toán cho học sinh đòi hỏi giáo viên phải có phương pháp phù hợp nhằm giúp các em tháo gỡ những vướng mắc nêu trên.Hơn nữa góp phần hướng dẫn cho các em khả năng tự học, để tiến tới đáp ứng nhu cầu của môn Toán cũng như các môn học khác trong xu hướng học tập hiện nay.
Qua thực tế giảng dạy và học tập, bản thân tôi đã tích luỹ được một số kiến thức và phương pháp hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của đa thức tương đối hiệu quả. Vì thế tôi chọn trình bày đề tài "Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến"
2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này không những trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán cho các em và giúp các em có cách suy nghĩ đúng đắn để giải quyết bài toán tìm nghiệm của đa thức một biến mà còn nhằm góp thêm một phương pháp bồi dưỡng kiến thức toán cho học sinh THCS nói chung. Khi các em thành thạo việc tìm nghiêm của đa thức thì việc giải quyết các dạng bài liên quan sẽ dễ dàng hơn, tránh được những sai lầm thường mắc phải . Từ đó các em vững vàng và tự tin hơn khi làm toán.
3.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Trong chương trình toán THCS hiện hành, khái niệm nghiệm của đa thức được đưa vào chương III phần Đại số lớp 7. Các vấn đề khác về đa thức được tiếp nối ở lớp 8 và tiếp tục được vận dụng ở lớp 9. Vì thế các bài toán tìm nghiêm của đa thức được xem xét chủ yếu áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 7, 8(nhất là học sinh khá giỏi). 
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Đề tài tập trung nghiên cứu kiến thức liên quan đến nghiệm của đa thức một biến đồng thời tìm hiểu các phương pháp tìm nghiệm của đa thức một biến và mối liên hệ giữa dạng toán này với một số dạng toán khác. 
Mặt khác đề tài cũng đi sâu tìm hiểu thực tế khả năng giải dạng toán tìm nghiệm của đa thức một biến ở học sinh, từ đó phân tích tìm chọn hướng đi phù hợp đối tượng học sinh mà mình giảng dạy rồi thử nghiệm để rút ra những thành công , thất bại tổng hợp kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng toán cho học sinh THCS nhằm lựa chọn con đường dẫn dắt học sinh học tập dạng toán đã nêu sao cho đạt hiệu quả cao nhất
5. Phương pháp nghiên cứu:
Đề tài được hoàn thành thông qua phương pháp nghiên cứu lý luận(tìm hiểu, nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu bồi dưỡng, sách tham khảo...) để xác định những nội dung kiến thức cần thiết phục vụ cho đề tài.
Ngoài ra, đề tài cũng đã sử dụng phương pháp thực nghiệm sư phạm tổng kết kinh nhgiệm ở những lớp trước để áp dụng tốt hơn cho lớp sau, khoá sau.
B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Trong chương trình toán 7, khái niệm Nghiệm của đa thức một biến được phát biểu như sau:
Nếu tại x = a, đa thức P(x)có giả trị bằng 0 thì ta nói rằng a(hoặc x =a) là một nghiệm của đa thức đó.
Như vậy, về mặt lý luận, để tìm nghiệm của đa thức P(x) cần tìm giá trị x sao cho P(x) = 0.Tuy nhiên để tìm nghiệm của đa thức P(x) có nhiều cách khác nhau tuỳ thuộc vào bài toán cụ thể. Từ bài toán tìm nghiệm của đa thức ta có thể áp dụng để giải được bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình đa thức .....
II. TÌM HIỂU VÀ PHÂN TÍCH THỰC TRẠNG
	Trong thực tế giảng dạy nhiều năm tôi thấy phần lớn giáo viên khi dạy về nghiệm của đa thức một biến cũng chỉ dừng lại ở phạm vi nội dung kiến thức của sách giáo khoa, 1 số ít giáo viên có cung cấp cho học sinh cách tìm nghiệm của 1 số đa thức cụ thể nhưng chưa khái quát thành phương pháp. Một số ít khác đã quan tâm đến cung cấp phương pháp giải cho HS song trong quá trình học tập do không thường xuyên sử dụng nên học sinh rất mau quên vì các phương pháp này có được là nhờ GV cung cấp chứ không phải tự các em khám phá được.Cũng chính vì vậy các em không mấy hứng thú khám phá kiến thức, phương pháp mới nên khó kích thích được lòng hăng say với bộ môn của các em.
 Về phía học sinh khi gặp loại toán này mà đa thức một biến có bậc lớn hơn 2 thì đều gặp khó khăn và lúng túng. Học sinh lớp 8, 9 mặc dù đã được học về phân tích đa thức thành nhân tử song cũng gặp không ít khó khăn trong việc phân tích thành nhân tử để tìm nghiệm, hầu hết các em còn mò mẫm và máy móc. Khi chưa được hướng dẫn về phương pháp như đề tài này, phần lớn HS mà tôi trực tiếp bồi dưỡng ở nhiều năm học khác nhau đều chỉ tìm được nghiệm của các đa thức có tính chất đặc biệt dễ nhận thấy hoặc dễ nhẩm nghiệm(Đa thức có nghiệm ...; các đa thức có hệ số cao nhất bằng 1, hệ số tự do bé...), còn đối bài toán tìm nghiệm các đa thức có hệ số cao nhất khác 1, đa thức mà hệ số tự do có nhiều ước số, đa thức hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ và đặc biệt đa thức hệ số hữu tỷ có nghiệm hữu tỷ là những bài toán khó đòi hỏi HS phải nắm vững phương pháp mới giải thành công được. 
 Trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi, tôi cũng đã cố gắng tìm kiếm và sưu tầm tài liệu song các tài liệu hướng dẫn HS giải loại toán "Tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức" ít thấy. Một số tài liệu chỉ đề cập đến các định lý và hệ quả liên quan mà không đi vào hướng dẫn phương pháp tìm như thế nào đối với từng dạng đa thức hay từng yêu cầu cụ thể về nghiệm.
Trước thực trạng đó, tôi đã tìm tòi, suy nghĩ, phân tích các phương pháp hướng dẫn học sinh tháo gỡ những vướng mắc nêu trên và tiến hành thử nghiệm thực tế đối với học sinh khá giỏi ở trường mình. Sau nhiều lần rút kinh nghiệm tôi đã chọn ra được các giải pháp hiệu quả nhất như sau:	
III. GIẢI PHÁP
1. Xác định những kiến thức cơ bản liên quan 
1.1.Định nghĩa: Nếu tại x = c đa thức f(x)có giả trị bằng 0 thì ta nói rằng c (hoặc x =c) là một nghiệm của đa thức đó.
1.2. Một đa thức (khác đa thức không ) có thể có nhiều nghiệm hoặc không có nghiệm nào.
1.3. Một đa thức bậc n có nhiều nhất là n nghiệm phân biệt. Đa thức bậc 0 thì không có nghiệm. Đa thức không (không có bậc) thì có vô số nghiệm. 
1.4. Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì x = 1 là một nghiệm.
	Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của luỹ thừa chẵn bằng tổng các luỹ thừa lẻ thì x = - 1 là một nghiệm.
* Từ định nghĩa trên ta thấy khi f(c) = 0 khi và chỉ khi f(x) (x - c)
* Định lý Bêzu: Dư của phép chia đa thức f(x) cho x -c là giá trị f(c)
Bổ sung:
1.5. Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0. ( hệ số nguyên)
Nếu phân số (tối giản) là nghiệm của f(x) thì p là ước của a0; q là ước của an
1.6. Mọi nghiệm nguyên (nếu có) của đa thức với hệ số nguyên phải là ước của số hạng tự do.
1.7. Mọi nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên và hệ số cao nhất bằng 1 đều là nghiệm nguyên.
1.8. Nếu là nghiệm nguyên của đa thức f(x) với hệ số nguyên thì và phải là các số nguyên.
1.9. Sơ đồ Hoocne: Giả sử f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0. 
Chia f(x) cho x - c ta được thương q(x) có bậc n - 1 là: 
q(x) = bnxn-1 + bn-1xn-2 + ... + b2x + b1. và dư là hằng số r. Khi đó ta có sơ đồ sau gọi là sơ đồ Hoocne:
=
Nhân
Cộng
 an an-1 ... ak ... a1 a0 
 c
bn= an bn-1 ... bk-1 bk ... b1 r
Quy tắc của sơ đồ: Mỗi phần tử dòng dưới bằng tích của c với phần tử đứng ngay trước nó cộng với phần tử tương ứng ở dòng trên.
2. Những giải pháp đã tiến hành 
Trên cơ sở xác định rõ phạm vi các kiến thức liên quan mà giáo viên đã nắm bắt. Đầu tiên cần giúp các em nắm vững các kiến thức đó theo một quy trình phù hợp với mức độ nhận thức từ thấp đến cao của các em.Cụ thể chúng ta có thể tiến hành như sau:
2.1. Giáo viên (GV) cho học sinh (HS) củng cố những kiến thức hiểu biết của mình về nghiệm của đa thức đã được học qua sách giáo khoa(SGK).
Trước hết GV cho HS vận dụng các kiến thức cơ bản để giải bài toán cụ thể. Chẳng hạn:
Bài toán 1: Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a. 5x - 7	b. (x - 3)(2+x)	c. x2 - 4
d. x2 + 3	e. x2 + 2x 	
Đa số HS đều hiểu và vận dụng được những kiến thức cơ bản vào giải bài tập đã cho.Những bài tập này giúp HS củng cố lại các kiến thức cơ bản đã được học trong nội dung chính khoá. 
Đáp số bài toán 1: 
a. 	b. x = 3 hoặc x = -2	c. 
d.vô nghiệm 	e. x = 0 hoặc x = -2
Trong các bài tập dạng đơn giản như trên, HS dễ dàng dùng các kiến thức được học ở 	SGK để giải. Nhưng khi gặp bài toán sau:
Tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x2 - 6x - 2 
Nếu không bổ sung thêm kiến thức thì HS sẽ gặp khó khăn. Do đó bước tiếp theo:
2.2. GV hướng dẫn HS bổ sung những kiến thức cơ bản khác liên quan cần thiết đến nghiệm của đa thức.
 Chẳng hạn đối với tiểu mục 1.4 ở trên GV có thể cung cấp cho HS. Tuy nhiên, trong dạy Toán cái đáng quý nhất là làm cách nào đó để HS tự mình rút ra được những nhận xét, kết luận cần thiết nhằm hình thành dần ở các em khả năng khái quát hoá vấn đề, tổng hợp hoá kiến thức. Như thế không chỉ dừng lại ở việc giải bài toán cụ thể mà các em còn có ý thức tìm tòi phương pháp giải cho các bài toán cùng loại hoặc từ bài toán cụ thể xem xét bài toán tổng quát. Vì vậy GV cần giúp HS hình thành, phát hiện các kiến thức mới có liên quan từ những bài toán mang tính chất tình huống :
Bài toán 2: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c; Chứng tỏ rằng: 
 a. Nếu a + b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = 1. 
Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x2 - 6x - 2
b. Nếu a - b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = -1. Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 7x2 + 11x + 4
Lược giải: 
a. Với x = 1 ta có: f(1) = a + b + c; mà a + b + c = 0 nên f(1) = 0 
 Điều này chứng tỏ x= 1 là một nghiệm của đa thức f(x).
Áp dụng: Ta có 8+(-6) + (-2) = 0 nên đa thức f(x) = 8x2 - 6x - 2 có một nghiệm là x = 1
b. Với x = -1 ta có: f(-1) = a - b + c; mà a - b + c = 0 nên f(-1) = 0 Điều này chứng tỏ x= -1 là một nghiệm của đa thức f(x).
Áp dụng: Ta có 7 - (+11) + 4 = 0 nên đa thức f(x) = 7x2 + 11x + 4
 có một nghiệm là x = -1
Qua việc giải bài tập 1 GV cho HS nêu các bước mà các em đã tiến hành giải để rút ra phương pháp:
- Tính f(1); f(-1) theo a, b, c.
- Căn cứ vào đề bài để suy ra f(1) =0 ; f(-1) =0.
- Dựa vào định nghĩa nghiệm của một đa thức để kết luận x = 1; x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x).
Như vậy, sau khi rút ra được phương pháp giải thì HS hoàn toàn tự lực hoàn thành tốt bài tập sau:
Bài toán 2.1: Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.Chứng tỏ rằng:
a. Nếu a + b + c + d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = 1
b. Nếu - a + b - c + d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = -1
Đến đây, GV yêu cầu HS phát biểu bài toán tổng quát. HS hoàn toàn có thể thực hiện tốt yêu cầu này:
Bài toán 2.2: Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0. Chứng tỏ rằng:
a. Nếu tổng các hệ số của các hạng tử của đa thức bằng 0 thì x = 1 là một nghiệm của f(x).
b.Nếu tổng các hệ số của các hạng tử luỹ thừa chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử luỹ thừa lẻ thì x = - 1 là một nghiệm của f(x).
	Với đối tượng HS khá GV yêu cầu HS giải bài toán tổng quát vừa nêu.
2.3. HS áp dụng các kiến thức cơ bản trên vào bài tập đơn giản:
GV cho HS rèn luyện kỹ năng thông qua hệ thống các bài tập để HS nắm chắc và nhớ lâu hơn những vấn đề đã được học.
Bài tập áp dụng :
1. Tìm một nghiệm của mỗi đa thức sau:
 f(x) = x3 - x2 + x - 1;
 g(x) = 11x3 + 5x2 + 4x +10;
h(x) = -17x3 + 8x2 - 3x + 12
2. Trong các số sau: 1; -1; 5; -5 số nào là nghiệm của đa thức
 f(x) = x4 + 2x3 - 2x2 -6x + 5
3.Cho các đa thức: 
f(x) = x4 + 5x3 + 3x2 + 2x + 3;
 g(x) = 3x4 + x3 + x2 -7x - 10;
h(x) = 4x3 + 2x2 - x + 1
Nghiệm lại rằng x = -1 là nghiệm của mỗi đa thức đã cho.
	Trong thực hành tìm nghiệm của đa thức HS không chỉ gặp những đa thức có những tính chất đặc biệt như trên và yêu cầu của bài toán cũng không dừng lại ở việc kiểm tra 1 số cho trước có phải là nghiệm hay không hoặc chỉ cần tìm một nghiệm của đa thức.Chẳng hạn bài toán:
Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x5 - 3x4 - 5x3 +15x2 + 4x - 12.
 Rõ ràng, chỉ với những kiến thức cơ bản đã nắm HS đã gặp vướng mắc trong việc tìm phương pháp giải. Với học sinh lớp 8, sau khi nắm chắc các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử các em có thể thêm bớt hay tách hạng tử... đưa về tích các đa thức có bậc thấp hơn để tìm nghiệm. Song cũng không phải là dễ dàng. Vì vậy, GV cần phải bổ sung thêm những kiến thức mới, những phương pháp mới để HS có thể giải được những bài toán như đã nêu một cách nhẹ nhàng hơn.
2.4. GV hướng dẫn HS bổ sung và vận dụng những kiến thức nâng cao liên quan cần thiết đến nghiệm của đa thức.
Cũng với cách làm như trên, GV hướng dẫn HS bổ sung kiến thức. 
Bài toán . 
	Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0. (Hệ số nguyên)
Giả sử phân số tối giản là nghiệm của f(x) thì p là ước của a0; q là ước của an.
GV hướng dẫn HS giải bài toán: 
GV(?) Theo định nghĩa nghiệm của đa thức, nếu phân số tối giản là nghiệm của f(x) thì suy ra điều gì?
HS: Theo định nghĩa nghiệm của đa thức, nếu phân số tối giản là nghiệm của f(x) thì ta có: f() = an + an-1 + ... + a1 + a0 = 0 (*)
GV(?) Quy đồng mẫu số sẽ suy ra được điều gì?
HS: Ta có (*) (1)
GV(?) Từ (1) hãy chứng tỏ p là ước của a0; q là ước của an?
 HS: Từ (1) suy ra:
Mà hay p là ước của a0
Tương tự từ (1) suy ra: 
Mà hay q là ước của an.
Sau khi giải bài toán này HS dễ dàng rút ra được kết luận ở tiểu mục 1.5 là: 
Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0. ( hệ số nguyên)
Nếu phân số (tối giản) là nghiệm của f(x) thì p là ước của a0; q là ước của an
Kết luận này sẽ là công cụ rất hữu ích giúp HS tìm nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên.
Ngoài ra, cũng từ kết luận trên, GV hướng dẫn HS đặc biệt hoá bài toán để rút ra một nhận xét mới:
GV(?) Trong bài toán 3, nếu hệ số cao nhất bằng 1 thì có thể suy ra được điều gì?
HS: (Xem xét trường hợp an = 1)
	Khi đó ta có đa thức sẽ là: g(x) = xn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0. ( hệ số nguyên) . Nếu (tối giản) là nghiệm của f(x) thì theo kết luận trên ta có p là ước của a0 và q là ước của 1. Vì vậy q = nên là một số nguyên.
Đến đây, HS hoàn toàn tự mình rút ra được kết luận 1.6 và 1.7 là:
1.6. Mọi nghiệm nguyên (nếu có) của đa thức với hệ số nguyên phải là ước của số hạng tự do.
1.7. Mọi nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên mà hệ số cao nhất bằng 1 đều là nghiệm nguyên.
Bây giờ, GV cho HS rèn luyện một số bài toán để vừa áp dụng vừa củng cố những kiến thức mà các em đã khám phá được ở trên.
Bài toán 4: 
Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x3 - x2 -4x + 4
Bài tập này GV có thể yêu cầu HS tìm các cách khác nhau để giải.
Lược giải: 
Cách 1:
 Dễ thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số bằng 0 nên nhận x = 1 làm một nghiệm.Chia f(x) cho x - 1 ta thu được đa thức x2 - 4 có nghiệm x = . Như vậy đa thức đã cho có các nghiệm là: x = 1; x =
Cách 2: 
Ta có f(x) = x3 - x2 -4x + 4 = (x3 - x2) - (4x - 4) = 
 = x2 (x -1) - 4(x -1) = (x -1)(x2 - 4 ) = (x -1)(x - 2 )(x + 2).
Vậy nghiệm của f(x) là x = 1; x =.
Cách 3: 
Đa thức đã cho có các hệ số đều nguyên và hệ số cao nhất bằng 1. 
Do đó nghiệm (nếu có) của f(x) là ước của hệ số tự do.
Hay Ư(4) tức là 
Kiểm tra ta có: f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm.
	 f(-1) = 6 0 nên x = -1 không là nghiệm.
	f(-2) = 0 nên x = -2 là nghiệm.
	f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm.
	 	 f(-4) = - 60 0 nên x = - 4 không là nghiệm.
	 f(4) = 36 0 nên x = 4 không là nghiệm.
Các cách giải khác nhau giúp học sinh có sự so sánh và chọn lựa phương pháp sao cho nhanh gọn, dễ hiểu nhất. Tuy nhiên, với 1 đa thức bậc cao thì cách 1 và cách 2 không dễ thực hiện. Lúc này nên dùng cách 3, song rõ ràng việc kiểm tra nghiệm cũng không dễ khi hệ số cao nhất có giá trị lớn. Để việc kiểm tra các giá trị ước số có phải là nghiệm không trở nên đơn giản hơn thì cần giúp HS tiếp cận với sơ đồ Hoocne.
Một thực tế là nếu chỉ cung cấp cho HS lược đồ mà không hướng dẫn các em tự xây dựng thì các em rất dễ quên nếu không sử dụng thường xuyên, và khi quên thì không biết cách tìm lại nó. Như vậy, công việc tiếp theo của GV là hướng dẫn HS xây dựng sơ đồ Hoocne.
 Bài toán:
 Tìm dư trong phép chia đa thức f(x ) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 
cho x -c.
GV ? Nếu gọi thương của phép chia đó là q(x) thì bậc của đa thức q(x) và dư của phép chia sẽ như thế nào? Từ đó biểu diễn đẳng thức liên hệ giữa f(x); q(x) và dư như thế nào?
HS: Nếu gọi thương của phép chia đó là q(x) bậc của đa thức q(x) là n - 1 
q(x) = bnxn-1 + bn-1xn-2 + ... + b2x + b1 và dư là hằng số r. Tức là:
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = (x - c)(bnxn-1 + bn-1xn-2 + ... + b2x + b1) + r (I)
GV ? Áp dụng phương pháp hệ số bất định thì từ (I) ta lập được hệ nào
HS: Áp dụng phương pháp hệ số bất định, ta có:
an = bn
an-1 = bn-1 - cbn
an-2 = bn-2 - cbn-1
................
ak = bk - cbk+1
................
a0 = r - cb1 
Từ đó suy ra:
an = bn
bn-1 = cbn + an-1 
bn-2 = cbn-1+ an-2 
................
bk = cbk+1+ ak 
................
r = cb1 + a0 
Từ đó ta thành lập sơ đồ sau gọi là sơ đồ Hoocne:
=
Nhân
Cộng
 an an-1 ... ak ... a1 a0 
 c
bn= an bn-1 ... bk +1 bk ... b1 r
Với sơ đồ Hoocne, HS dễ dàng kiểm tra các giá trị ước số của hệ số tự do có phải là nghiệm không một cách đơn giản đồng thời dễ dàng tìm đa thức thương và số dư trong phép chia f(x) cho x - c.
Chẳng hạn với Bài toán 4 nêu trên ta có thể làm như sau:
Đa thức đã cho có các hệ số đều nguyên và hệ số cao nhất bằng 1. 
Do đó nghiệm (nếu có) của f(x) là ước của hệ số tự do.
Hay Ư(4) tức là 
Dùng sơ đồ Hoocne ta có: 
1
-1
-4
4
-1
1
-2
-2
6
1
1
0
-4
0
-2
1
-3
2
0
2
1
1
-2
0
-4
1
-5
16
-60
4
1
3
8
36
Từ sơ đồ ta có x = 1; x = là các nghiệm của đa thức đã cho.
Mặc dù sơ đồ Hoocne là công cụ kiểm tra nghiệm tương đối hiệu quả nhưng với đa thức có hệ số tự do lớn và có nhiều ước thì việc dùng sơ đồ cũng chưa tối ưu. Vì vậy, để tiếp tục bổ sung phương pháp GV có thể cho HS làm bài tập sau:
Bài toán: Cho đa thức f(x) = xn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0. ( hệ số nguyên) .
Gọi là nghiệm của f(x). Chứng minh: 
Hướng dẫn:
GV: Do là nghiệm của f(x) thì có thể biểu diễn f(x) dưới dạng tích hai đa thức như thế nào? Từ đó biểu diễn q(x) dưới dạng thương và tiến hành chứng minh?
HS: Do là nghiệm của f(x) nên theo định lý Bêzu ta có thể viết:
f(x) = q(x)() (1)
Vì f(x) là đa thức với hệ số nguyên, cũng là đa thức hệ số nguyên nên q(x) là đa thức hệ số nguyên. Từ (1) ta có:
Khi x = 1 thì ; Khi x = -1 thì 
Như vậy sau khi hoàn thành việc chứng minh bài toán HS có thêm một phương pháp thử nghiệm rất hiệu quả chính là kết luận 1.8 đã nêu.
Bây giờ GV cho HS áp dụng vào bài toán cụ thể để áp dụng kiến thức mà các em vừa khám phá được nhằm so sánh và thấy được lợi ích của việc tìm tòi phương pháp giải toán từ những bài toán khác đã giải.
 Bài toán 5: 
Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x5 - 8x4  + 20x3 - 20x2 + 19x -12
Lược giải bài toán 5: 
Đa thức đã cho có các hệ số đều nguyên và hệ số cao nhất bằng 1. 
Do đó nghiệm (nếu có) của f(x) là ước của hệ số tự do.
Hay Ư(12) tức là 
Xét thấy đa thức có tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm bằng 1
Dùng sơ đồ Hoocne ta suy ra được: 
f(x) = (x - 1)(x4 - 7x3+ 13x2 - 7x + 12)
Ta tìm x để g(x) = x4 - 7x3+ 13x2 - 7x + 12 = 0.
Dễ thấy các hạng tử bậc lẻ đều có hệ số âm do đó với mọi x 0 vì vậy g(x) không có nghiệm âm.Ta chỉ xét các ước dương của 12.
Ta có: g(1) = 12 .	 g(-1) = 40
A = ; B = 
Với thì A = ; B = (loại)
Với thì A = - 6 ; B = 10 
Với thì A = - 4 ; B = 8 
Với thì A = (loại)
 Với thì A = (loại)
Vậy nếu g(x) có nghiệm thì x . Dùng sơ đồ Hoocne thử nghiệm:
1
-7
13
-7
12
3
1
-4
1
- 4
0
4
1
-3
1
-3
0
Vậy g(x) có nghiệm là x = 3; 4. Suy ra f(x) có nghiệm x 
Các bài tập để HS tự củng cố rèn luyện:
Bài