Hướng dẫn giải phương trình lượng giác cơ bản và đơn giản

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
Phương pháp giải các phương trình lượng giác
A. LÝ THUYẾT
B. BÀI TẬP
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Bài 1. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Giải
a. 
b. . Điều kiện : 
Khi đó : 
c. 
d. 
Bài 2. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Giải
a. 
b. 
Ta có : . Do đó : 
. Phương trình vô nghiệm .
c. 
d. 
Bài 3. Giải các phương trình sau :
	a. 
	b. 	c. 
Giải
a. 
b. 
Ta có : 
Cho nên (1) : 
Và : 
c. 
Do : 
Cho nên (c) trở thành : 
Bài 4. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Giải
a. 
Chia hai vế ơhw[ng trình cho 2 ta có :
b. 
Chia hai vế phương trình cho 2 ta có kết quả :
c. 
Từ công thức nhân ba : cho nên phương trình (c) viết lại :
d. 
II. PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI 
ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Giải
a. . Điều kiện : (*)
Phương trình (a) trở thành :
Cho nên (a) 
Vậy : . Kiểm tra điều kiện :
- . Cho nên nghiệm phương trình là 
- Vi phạm điều kiện , cho nên loại .
Tóm lại phương trình có một họ nghiệm : 
b. 
Do đó : 
c. 
d. 
- Với sinx =0 
- Do : . Cho nên phương trình vô nghiệm .
Bài 2. Giải các phương trình sau 
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Giải
a. 
b. . Điều kiện : cosx khác không .
Khi đó phương trình trở thành : 
c. . Điều kiện : 
Phương trình (c) 
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện .
d. . Điều kiện : 
d
Vậy phương trình có nghiệm : ( Thỏa mãn diều kiện )
Bài 3. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Giải
a. . Điều kiện : 
Khi đó : 
Các họ nghiệm này thỏa mãn điều kiện .
b. . Điều kiện : (*)
Khi đó : 
Nhưng do điều kiện (*) Ta chỉ có nghiệm : , thỏa mãn .Đó cũng là nghiệm 
c. 
d. .
Do đó Phương trình có nghiệm : 
Bài 4. Giải các phương trình sau :
	a. 
	b. 	c. 
	d. Cho : . Hãy giải phương trình : f'(x)=0.
Giải
a. 
b. . Điều kiện : 
Chia hai vế phương trình cho : . Khi đó phương trình có dạng :
Đặt : 
Do đó phương trình có nghiệm : 
c. . Điều kiện : 
Khi đó : 
. Nhưng nghiệm : vi phạm điều kiện .
Vậy phương trình có nghiệm : 
d. Cho : . Hãy giải phương trình : f'(x)=0.
Ta có : 
- Trường hợp : cosx=0 
- Trường hợp : 
Bài 5. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Giải
a. 
Đặt : . Khi đó phương trình trở thành : (2)
Nhan hai vế với 2cost ta được :
b. 
Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành :
 Các nghiệm thỏa mãn điều kiện .
c. . Đặt : . Khi đó phương trình có dạng :
Chỉ xảy ra khi : . Nếu phương trình có nghiệm thì tồn tại k,l thuộc Z sao cho hệ có nghiệm chung . Có nghĩa là : 
d. 
Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành :
 Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*) 
Bài 6. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 
d. 
Giải
a. .
Do : . Cho nên mẫu số khác không .
Phương trình trở thành : 
Vậy : . 
Đối chiếu với điều kiện để có nghĩa thì ta phải bỏ đi các nghiệm ứng với k là lẻ : . Do đó phương trình chỉ có nghiệm ứng với k là chẵn : x=
b. . Điều kiện : (*)
Phương trình 
Do đó : . Thỏa mãn điều kiện (*)
c. 
- Trường hợp : 
- Trường hợp : 
Đặt : 
Chứng tỏ f(t) đồng biến . Khi đó tại f(-1)=1 và f(1)=9 cho nên với mọi 
Vậy phương trình vô nghiệm . 
d. . Điều kiện : 
Phương trình trở thành : 
Do Phương trình chỉ có nghiệm : 
Bài 7. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Giải
a. . Điều kiện : . Khi đó phương trình viết lại :
Vậy phương trình có nghiệm là : 
b. . Điều kiện : 
Phương trình 
.
 Thỏa mãn (*)
c. . Điều kiện : 
Khi đó phương trình trở thành : 
. Thỏa mãn điều kiện (*).
d. . Điều kiện : (*)
Có 2 phương pháp giải :
Cách 1. 
Cách 2. 
. ( Như kết quả trên )
Bài 8. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Giải
a. 
Vậy phương trình có nghiệm : 
b. . Điều kiện : sin2x khác 1 (*)
Phương trình trở thành : 
Đối chiếu với điều kiện (*) thì với vi phậm điều kiện . Cho nên phương trình chỉ còn nghiệm : 
c. 
d. . Do đó :
Bài 9. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 	d. 3tan2x-4tan3x=
Giải
a. . 
b. 
 c. 
 d. 3tan2x-4tan3x=
Điều kiện : Phương trình trở thành :
Đối chiếu với điều kiện ta thấy nghiệm . Vi phạm điều kiện , nên bị loại .
Vậy phương trình còn có nghiệm là : 
Bài 10. Giải các phương trình sau :
	a. 	b 
	c. 	d. 
Giải
a. 
b. 
Đặt : 
Do đó phương trình đã cho trở thành : 
c. . Điều kiện : . 
Khi đó PTd/ trở thành : 
. Phương trình vô nghiệm .
d. 
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX
Bài 1. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Giải
a. . 
Do đó : 
b. (1)
Đặt : 
. Do đó phương trình :
 c. . Điều kiện : . Khi đó phương trình (c) trở thành : 
Đặt : . Thay vào phương trình ta được :
Thỏa mãn điều kiện .
d. . Điều kiện : .
Khi đó : 
Trường hợp : 
Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
Đặt : Cho nên phương trình : 
Bài 2. Giải các phương trình sau :
	a. 	
b. 
	c. 
Giải
a. . Điều kiện : cosx khác 0 . Khi đó phương trình trở thành : 
Vì sinx=1 làm cho cosx=0 vi phậm điều kiện . Do đó 
Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
Đặt : Cho nên phương trình : 
Vậy nghiệm của phương trình là : 
b. 
Trường hợp : 
Trường hợp : sinx+cosx+sinxcosx+1=0 
Do đó phương trình có nghiệm : 
c. 
. ( Đã bỏ nghiệm t=-3 <-)
Bài 3 . Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. Cho phương trình : . 
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 
Giải
a. . Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành :
Còn trường hợp : 
Do đó : 
b. . Điều kiện : sinx khác 0 . Khi đó phương trình trở thành :
* Trường hợp : 
Với : 
c. Cho phương trình : . 
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 
Giải . Đặt : . Thay vào phương trình ta được :
Nếu : 
Hay : . Để phương trình có nghiệm thì 
Bài 4. Cho phương trình : 
	a. Giải phương trình khi m=
	b. Tìm m để phương trình có nghiệm .
Giải
a. Giải phương trình khi m=: 
Do đó : 
b/ 
Xét hàm số : 
Do vậy để phương trình có nghiệm thì : 
Bài 5. Cho phương trình : .
	a. Giải phương trình với m=1/2
	b. Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng 
Giải
a. Giải phương trình với m=1/2. Khi đó phương trình trở thành :
Khi m=
b/ Từ (*) Nếu : 
Do đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta tìm m dể phương trình (*) có nghiệm 
- Với t=0 và t=-1 ta đã có nghiệm như câu a .
- Còn phương trình : m(t-1)=-1 , t=1 không là nghiệm ( vì : 0=-1 vô lý ) . Cho nên ta xét hàm số . F(t) đồng biến , cho nên phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán thì : 
Bài 6. Cho f(x)=. 
	a. Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3
	b. Tìm GTLN và GTNN của f(x) theo m . Tìm m để 
Giải
a. Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3
Phương trình :
Khi m=-3. Đặt : 
Chú ý : 
Cho nên : 
Vậy : f(x)=.
.Do :. Cho nên f(x) viết lại thành :
- Khi m=-3 thì 
- Đặt : 
Ta có bảng biến thiên :
t
-
0
1
g'(t)
+
0
-
0
+
0
-
g(t)
m+3
m+3
m+3-
m+3-
m+3-2
Từ bảng biến thiên ta có maxf(x)=m+3 và min f(x)=m+3-
Do đó : 
Bài 7. Giải các phương trình :
	a. 	b. 
	c. 
	d. 
Giải
a. 
Vậy : 
b. 
Do vậy : 
c. . Điều kiện : 
Phương trình viết lại : 
Đặt : . Thay vào (1) 
Vậy : 
d. . Điều kiện : 
Phương trình viết lại : 
Vì : 
. Cho nên phương trình trở thành : 
 Bài 8. Cho phương trình : 
	a. Giải phương trình với m=1
	b. Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 
Giải
a. Giải phương trình với m=1
Đặt : 
Xét : 
a/ Nếu m=1. Phương trình là : 
Với t=-2 (loại ) do đó t=1
b/ Nếu phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc , ta tìm điều kiện cho t :
- Từ : 
Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm x thuộc , thì phương trình :
 có 2 ngiệm , hay đường thẳng d: y=m cắt đồ thị (C) : tại hai điểm với t thuộc 
Ta có : . Lập bảng biến thiên :
t
-
-1
0
1
f'(t)
-
0
+
0
f(t)
-
0
1
Qua bảng ta thấy : với -<m<1 thì d cắt f(t) tại 2 điểm , và phương trình có 2 nghiệm thuộc 
Bài 9. Cho phương trình : 
a. Giải phương trình với m=2
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 
Giải
Phương trình viết lại :
(*)
a. Giải phương trình với m=2. Đặt : 
 .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhât : 
b/ Từ (*) ta thấy : sinx+cosx=0 không có nghiệm x thuộc , cho nên để phương trình có ít nhất 1 nghiệm x thuộc , thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm t thuộc . Hay đường thẳng d : y=m cắt f(t)=tại ít nhất 2 điểm .
Với 
Hay : 
Bài 10. Cho phương trình : 
a. Giải phương trình với m=
b. Tìm m để phương trình có nghiệm 
Giải
Phương trình : .
Đặt : t=. Cho nên phương trình trở thành
a/ Giải phương trình với m=
Do đó : 
b/ Để phương trình có nghiệm thì đường thẳng d: y=m cắt đồ thị hàm số :
f(t)=
Ta có bảng biến thiên :
t
-
-
-1
1
2
+
f'(t)
-
-
0
0
-
-
f(t)
+
	-
Qua bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi 
Bài 11. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 . 	d. 
Giải
a. 
b. 
c. sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 .
Đặt : 
Khi t=1 
d. . Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành
Cả hai nghiệm thỏa mãn điều kiện .
Bài 12. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 
	d. 
Giải
a. . Điều kiện : (*)
Phương trình : 
.
Trường hợp : 
Khi 
b. 
c. 
d. . Từ công thức : , cho nên phương trình trở thành : 
Bài 13. Cho phương trình :	
	a. Giải phương trình với m=4
	b. Tìm m để phương trình có nghiệm .
Giải
Phương trình :
 (1)
Đặt : . Thay vào (1) ta có :
 (2)
a/ Với m=4 (2) trở thành : . 
Cho nên phương trình vô nghiệm .
b/ Phương trình (2) 
Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến . Với f(-2)=-5 ; f(2)=5 . Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : 
VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI -BẬC BA ĐỐI VỚI SINX,COSX
Bài 1. Giải các phương trình sau :
	a. 
	b. 
Giải
a. 
Có 2 cách giải :
Cách 1.
Chia 2 vế phương trình cho , ta có phương trình :
Cách 2. 
b. . Với điều kiện : , ta chia 2 vế phương trình cho . Khi đó phương trình trở thanh:
Bài 2. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Giải
a. 
b. . Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm cho nên cosx khác 0 .
Chia 2 vế phương trình cho , ta có phương trinh :
Suy ra : 
c. 
 d. .
 Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm cho nên cosx khác 0 . Chia 2 vế phương trình cho , ta có phương trinh : 
Bài 3. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 	d. sin3x +cos3x +2cosx=0
Giải
a. 
b. . Có 2 cách giải 
Cách 1.
. Giải theo phương trình :
 a.sinx+bcosx=c , ta tìm đượcnghiệm .
Cách 2. 
Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm cho nên cosx khác 0 . Chia 2 vế phương trình cho , ta có phương trinh : 
 c. . Điều kiện : 
Khi đó : hoctoancapba.com
. Thỏa mãn điều kiện .
d. sin3x +cos3x +2cosx=0 
. Chia hai vế phương trình cho . Ta được :
Bài 4. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 
Giải
a. . Điều kiện : . 
Khi đó phương trình trở thành 
Suy ra : 
b. 
c. . Điều kiện : 
Phương trình 
* Chú ý : Bài này ta còn có thể sử dụng các công thức sau :
- 
- Sau đó đặt t=tanx 
Bài 5. Cho phương trình :
a. Giải phương trình với m=2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc đoạn 
Giải
Phương trình : 
Nhận xét : Nếu cosx=0 thì sinx=, phương trình có dạng : . Xét cosx, chia 2 vế cho .Khi đó phương trình trở thành :
. Đặt : t=tanx , ta có .
. Phương trình luôn có nghiệm , Cho nên để phương trình có nghiệm duy nhất thì (**) vô nghiệm . Bằng cách tính đạo hàm và xét dấu , ta thấy : hoctoancapba.com
F'(t)=
Bài 6. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
Giải
a. 
b. 
Bài 7. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 
	d. 
Giải
a. 
. Phương trình vô nghiệm 
b. 
c. 
d. 
Đặt 
Vậy : 
V. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
A. TỔNG CÁC HẠNG TỬ KHÔNG ÂM 
Bài 1. Giải các phương trình sau :
	a. 	b.
	c.	d. 
Giải
a. 
. Bằng cách biểu diễn các nghiệm trên đường tròn đơn vị ta thấy có nghiệm chung là : thỏa mãn .
b.
Do : 
Cho nên phương trình có dạng : 
. Phương trình vô nghiệm 
c.
. Khi biểu diễn nghiệm trên vòng tròn đơn vị ta thấy nghiệm chung là : 
d. 
- Xét : , thay vào (2). 
Giải ta tìm được : 	hoặc 
Bài 2. Giải các phương trình sau :
	a. 	
b. 
c. 
d. 
Giải
a.
b. 
c. 
d. 
*Nhận xét : 
Cho nên phương trình d chính là phương trình a mà ta đã giải .
B. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ
1. Dạng 1.
Bài 1. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Giải
a. 
Ta có : 
VP=
Cho nên phương trình có nghiệm khi cả hai vế xáy ra dấu đẳng thức :
. Nếu phương trình có nghiệm thì tồn tại k,l thuộc Z sao cho hai nghiệm : chọn : l=2n . 
Khi đó phương trình có nghiệm là : x=
b. 
VT=
VP=. ( Do )
Do đó phương trình chỉ xảy ra khi :
c. 
Ta có 
Chỉ xáy ra khi : 
d. hoctoancapba.com
VP=. Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :
Bài 2. Giải các phương trình sau :
	a.	b. 
Giải
a.
Do : 
Vậy : 
b. 
2. Dạng 2.
Bài 3. Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 	d. 
Giải
a. 
b. . 
Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành :
Nếu phương trình có nghiệm thì tồn tại m,l thuộc Z sao cho : 
. Chọn l=2n , thì m=3n+1
Suy ra phương trình có nghiệm : . Nhưng lại vi phạm điều kiện do làm cho cos2x=0 . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .
c. 
Nghiệm của phương trình là : 
d. 
Ta có : 
VP=
Cho nên suy ra chỉ xảy ra : . 
Phương trình có nghiệm khi tồn tại k,l thuộc Z sao cho :
Chọn l=2n thì k=3n+1 , khi đó phương trình có nghiệm : 
Bài 4. Giải các phương trình sau "
	a. 	b. tanx+tan2x=-sin3xcos2x .
	c. sin4xcos16x=1	d. 
Giải
a. 
Nhận xét : 
. Vô nghiệm vì : VT là một số chẵn với mọi k,l thuộc Z còn vế phải là một số lẻ với mọi k,l . Vậy phương trình vô nghiệm .
b. tanx+tan2x=-sin3xcos2x . Điều kiện : 
Phương trình trở thành : 
- Trường hợp : là một họ nghiệm , thỏa mãn điều kiện (*) 
- Trường hợp : 
. ( Do thay (3) vào (1) thỏa mãn ) 
 hoctoancapba.com
Vậy phương trình có thêm nghiệm nữa là : 
c. sin4xcos16x=1.
Nếu phương trình có nghiệm thì tồn tại k,l thuộc Z sao cho : 
Đặt : 
Vậy phương trình có nghiệm : 
d. . Điều kiện : . Phương trình đã cho trở thành :
, cho nên ta có nhận xét sau :
Vậy phương trình có nghiệm là : 
Bài 5. Giải các phương trình sau :
	a. 
	b. 
Giải
a. 
Ta có : 
VP=
Suy ra : 
b. 
Ta có :
VT= 
VP. Suy ra ta có hệ : . Phương trình vô nghiệm .
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 	b) 	
c) 	 
Giải
a) 
Phương trình có nghiệm khi tồn tại k,l thuộc Z sao cho :
 . 
Vậy phương trình có nghiệm là : 
b) . Điều kiện : . Suy ra :
. Nhưng lại vi phạm điều kiện . 
Vậy phương trình vô nghiệm .
c) 
Ta có :
VP=2cosx
Cho nên : 
Bài 2. Giải các phương trình sau 
a) 	b) 
c) (Biện luận theo m).
Giải
a) 
b) . Điều kiện : . Suy ra phương trình trở thành :
. Ta thấy :
. Ta chia 2 vế phương trình cho 
Với : 
c) 
Chia 2 vế phương trình cho , ta có :
Ta có : f(1;m)=2m-2
Như vậy ta có biện luận sau :
- Nếu : 1<m<3 Phương trình có 1 nghiệm : tanx=1
- Nếu m=1 . Phương trình có nghiệm kép : tanx=1 
- Nếu m=3 . Phương trình có 2 nghiệm : 
- Nếu : phương trình có 3 nghiệm : 
Bài 3. Giải các phương trình sau 
a) 	b) 
c) 	d) 
Giải
a) . Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành 
.
Ta có : thỏa mãn điều kiện (*)
b) 
c) 
d) 
Bài 4. Giải các phương trình sau 
a) 	b) 
c) 	d) 
Giải
a) 
b) . Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành 
. Đối chiếu với điều kiện , thì các nghiệm thỏa mãn .
c) . Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành : 
d) 
Bài 5. Giải các phương trình sau 
a) 	b) 
c) 	d) 
Giải
a) 
b) 
c) . Điều kiện : . Suy ra :
. 
Do điều kiện :. Còn các nghiệm trên thỏa mãn điều kiện .
d) 
Bài 6. Giải các phương trình sau 
a) 	b) 
c) 	d) 
Giải
a) . Điều kiện : . Phương trình :
Do đó : 
Vậy nghiệm phương trình là : 
b) . Vì cosx=0 không là nghiệm , cho nên ta chia cả hai vế của phương trình cho , suy ra :
c) . Điều kiện : . Phương trình :
. 
Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*) .
d) 
Vậy phương trình có nghiệm là : 
Bài 7. Giải các phương trình sau 
a) 	b) 
c) 
Giải
a) . Điều kiện : 
Kiểm tra điều kiện (*) .
- Nếu k=2n thì x=
- Nếu k=2n+1, không xác định cho nên với k lẻ thì loại .
Tóm lại phương trình có nghiệm là : 
b) . Điều kiện : 
 . Vậy phương trình vô nghiệm .
c) 
Do đó phương trình có nghiệm là : 
Bài 8. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 	b) 	
c) 	d) 
Giải
a) . Điều kiện : . Khi đó :
Vậy phương trình có nghiệm là : 
b) 
Vậy phương trình có nghiệm :, thỏa mãn điều kiện (*)
c) 
Vì : có : .
d) 
Suy ra : . Để phương trình có nghiệm thì ,tồn tại k,l thuộc Z sao cho : 
. Vậy phương trình có nghiệm : 
Bài 9. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 	 c) Cho phương trình: .
Tìm các nghiệm thuộc khoảng 
Giải
a) . Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành :
. Nhưng lại vi phạm điều kiện làm cho sinx=0 .
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .
c/ 
Với : . Tất cả có 5 nghiệm .
Bài 10. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Giải
a) 
Trường hợp : cos2x=0 
Trường hợp : . Đặt : t=cos2x ,
Nhưng : f(-1)=-9, và f(1)=-1 do đó f(t) luôn âm với mọi x thuộc [-1;1]. Phương trình vô nghiệm . Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là : 
b) 
Vì : . Cho nên phương trình trở thành :
+/ Nếu cosx>0 : 
Hay : . Nhưng .
Cho nên : . Loại .
+/ Nếu cosx<0 : 
Hay : . Nhưng .
Cho nên : . Loại .
+/ Cosx=0 . Đương nhiên 2 là nghiệm của phương trình . 
Vậy nghiệm : 
c) 
d) . Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm , cho nên chia 2 vế của phương trình cho 
* Chú ý: Ta còn có cách : 
Bài 11. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Giải
a) . Đặt . Phương trình trở thành :
Ta tìm được các giá trị sau : và 
Vì : 
Tương tự ta tìm được: 
b) 
- 
Cho nên suy ra : 
- 
Do đó phương trình chỉ có thể xảy ra khi :
. Hệ có nghiệm khi tồn tại k.l sao cho : 
Đặt : . Lại đặt : n=2m suy ra : l=1-5m và k=11-20m
Do đó hệ có nghiệm : 
c) 
d) . Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành :
Trên đây tạm trình bày 2 cách giải 
- Trường hợp giải theo cách 1 :
 Ta có nghiệm phương trình là : 
- Trường hợp giải theo cách 2: 
Vì : cos2x-sin2x=-5 vô nghiệm .
* Chú ý : Ngoài 2 cách trên , ta còn quan niệm đây là phương trình đẳng cấp bậc cao đối với sinx và cosx , cho nên ta chia 2 vế của phương trình cho . 
. Như (1)
Bài 12. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 	b) 
c) 	 d) 
Giải
a) 
- Trương hợp : Là một nghiệm của phương trình 
- Trường hợp : 
Ta có : 
VP=sin2x thuộc [0;1] 
Nếu cosx=0 , thì phương trình trở thành : 1=0 vô lý .Cho nên cosx=0 không là nghiệm 
Nếu cosx=1 , thì phương trình trở thành : 1=0 vô lý .Cho nên cosx=1 không là nghiệm
Nếu VT=(1)
Khi đó VP= (2)
Từ (1) và (2) phương trình vô nghiệm .Vậy trường hợp này phương trình vô nghiệm .
b) . Điều kiện : . Phương trình :
. Vì sinx khác không cho nên chia 2 vế phương trình cho sinx : .
Nhưng với , vi phậm điều kiện , cho nên chỉ còn : 
Vậy phương trình có nghiệm là : 
c) . Đặt : . Do đó phương trình :
d) 
Bài 13. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Giải
a) 
Còn : cosx+sinx+2=0 vô nghiệm vì 
* Chú ý : 
Đây là phw[ng trình đối xứng đối với sinx,cosx .
Ta có thể đặt : . Biến đổi phương trình theo t .
b) 
d) . Điều kiện : . Phương trình :
 (1)
Nhưng : . 
Tương tự : 
Do đó (1) 
Bài 14. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 	b) 	
c) 
Giải
a) . Điều kiện : . Khi đó phương trình :
.
Đặt : . Thay vào phương trình ta được :
. Đặt : t=cosy , suy ra :
Thay vào (**) ta được : . 
Kiểm tra diều kiện (*)
- Nếu k là chẵn : k=2n . 
Phương trình đã cho vô nghiệm .
- Nếu k là lẻ : k=2n+1 
Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*) . Vậy nghiệm phương trình : .
b) . Đặt . Khi đó phương trình :
. Thay vào (*) ta tìm được các nghiệm 
. Thu gọn 2 nghiệm ta được : 
c) 
Bài 15. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Giải
a) 
Vậy nghiệm phương trình : 
b) 
Vậy phương trình có nghiệm : 
c) 
d) 
Bài 16. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Giải
a) 
b) 
c) 
d) . Điều kiện : . Khi đó phương trình :
Do hệ trên vô nghiệm . ( Kiểm tra bằng phương pháp tìm nghiệm nguyên hay biểu diến trên đường tròn đơn vị cũng được ).
Bài 17. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 	b) 	
c) 	d) 
Giải
a) . Bài này đã giải rồi .
b) 
 . Đặt : 
c) . Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành
Nghiệm này thỏa mãn diều kiện (*)