HSG Toán 11 Bình Định khóa 18/3/2017

HSG TOÁN 11 BÌNH ĐỊNH KHÓA 18/3/2017
1. Cho tam giác ABC nhọn, AB <AC. Ba đường cao AD, BE, CF đồng qui tại H; P là giao điểm của phân giác trong góc A với BC; M, N lần lượt là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác APD với CA và AB. Chứng minh rằng:
a. AD, BM, CN đồng qui.
b. cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 
2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', D' khác S. Chứng minh rằng:	.
Câu 1: a.
Tam giác vuông ADB cho DB = AD.cotB; Tam giác vuông ADC cho DC = AD.cotC
A
B
C
D
E
F
P
N
M,,,,
H
Suy ra =
Tam giác vuông PMC cho MC = PM.cotC; 
Tam giác vuông PMA cho MA = PM.cot
Suy ra =
Tam giác vuông PNA cho NA = PN.cot; Tam giác vuông PNB cho NB = PN.cotB
Suy ra =
Từ đó = = 1 . Theo định lí Xe-va ta có đpcm
b. Đặt S1 = dtAEF; S2 = dtBDF; S3 = dtCDE; S = dtABC.
Ta có == = cosA.cosA = cos2A ;
Tương tự = cos2B; = cos2C
cos2A + cos2B + cos2C = ++ = = 1 - . đpcm
Câu 2.
Gọi I = AMÇB'D' và O = ACÇBD, 
Þ S, O, I thẳng hàng (3 điểm chung của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD) 
 (I là trọng tâm của SAC)
Vẽ BP // B'I và DN // D'I Þ .
Đặt . 
Þ Þ (*) (vì ODN=OBP)
Suy ra: 
Từ (*): Û 
 Û Û 
 Û Û 
 Û . Đpcm