Hình học 12 - Bài 6: Góc và khoảng cách

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyênđề8.6–GócvàKhoảngcách 1 | T H B T N 
CầnfileWordvuilòngliênhệ:toanhocbactrungnam@gmail.com Mãsốtàiliệu:BTNCD8 
Bài 6. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH 
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. GÓC: 
1. Góc giữa hai mặt phẳng. 
Góc giữa hai mặt phẳng (P): 0+ + + =Ax By Cz D , (Q): ’ ’ ’ ’ 0A x B y C z D+ + + = 
được ký hiệu: 0 (( ), ( )) 90o oP Q≤ ≤ , xác định bởi hệ thức 
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
.
cos(( ), ( )) .
.
P Q
P Q
n n AA' BB' CC'
P Q
n n A B C . A' B' C'
+ +
= =
+ + + +

 


 

Đặc biệt: .0''')()( =++⇔⊥ CCBBAAQP 
2. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 
a) Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương );;( cbau = và )';';'(' cbau = là ϕ 
2 2 2 2 2 2
.
cos
.
.
u u aa bb cc
u u a b c a b c
ϕ
′ ′ ′ ′+ +
= =
′ ′ ′ ′+ + + +

 


 

 ).900( oo ≤≤ ϕ 
Đặc biệt: 0′ ′ ′ ′⊥ ⇔ + + =( ) ( ) .d d aa bb cc 
b) Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương );;( cbau = và mp )(α có vectơ pháp tuyến
=


( ; ; ).n A B C 
2 2 2 2 2 2
φ + += = =
+ + + +

 


 


 

.
sin cos( , )
. .
n u Aa Bb Cc
n u
n u A B C a b c
 0 90φ° ≤ ≤ °( ). 
Đặc biệt: )//()d( α hoặc )()( α⊂d .0=++⇔ CcBbAa 
II. KHOẢNG CÁCH 
1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. 
a) Khoảng cách từ );;( 000 zyxM đến mặt phẳng )(α có phương trình 0Ax By Cz D+ + + = là 
.
222
000
CBA
DCzByAx
d(M,(P))
++
+++
= 
b) Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt 
phẳng kiA. 
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - khoảng cách giữa hai đường thẳng. 
a) Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm Mo có vectơ chỉ phương u : 
 
 
=






0
,
( , ) .
M M u
d M d
u
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng 
này đến đường thẳng kiA. 
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và ′d : 
Với d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u và ′d đi qua điểm ′M và có vectơ chỉ phương 
′


u là 
 
 
′ =
 
 

 
 


 

0
, ' .
( , ) .
, '
u u M M
d d d
u u
d) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc 
đường thẳng đến mặt phẳng. 
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyênđề8.6–GócvàKhoảngcách 2 | T H B T N 
CầnfileWordvuilòngliênhệ:toanhocbactrungnam@gmail.com Mãsốtàiliệu:BTNCD8 
B - KỸ NĂNG CƠ BẢN 
- Nhớ và vận dụng được công thức tính khoảng cách từ môṭ điểm đến một mặt phẳng; biết cách tính 
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. 
- Nhớ và vận dụng được công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; biết cách 
tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; 
khoảng cách từ đường thẳng đến măṭ phẳng song song. 
- Nhớ và vận dụng được công thức tính góc giữa hai đường thẳng; góc giữa đường thẳng và măṭ 
phẳng; góc giữa hai măṭ phẳng. 
- Áp dụng đươc̣ các kiến thức liên quan về góc và khoảng cách vào các bài toán kháC. 
C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 1. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm ( )1; 2; 2A đến măṭ phẳng 
( ) : 2 2 4 0x y zα + − − = bằng 
A. 3. B. 1. C. 13.
3
 D. 1.
3
Câu 2. Khoảng cách giữa hai măṭ phẳng song song ( ) : 2 2 4 0x y zα − − − = và ( ) : 2 2 2 0x y zβ − − + = là 
A. 2. B. 6. C. 10 .
3
 D. 4 .
3
Câu 3. Khoảng cách từ điểm ( )3; 2; 1M đến măṭ phẳng (P): 0Ax Cz D+ + = , . 0A C ≠ . Choṇ khẳng 
điṇh đúng trong các khẳng điṇh sau: 
A. 
2 2
3( , ( )) A C Dd M P
A C
+ +
=
+
 B. 
2 2 2
2 3( , ( )) .A B C Dd M P
A B C
+ + +
=
+ +
C. 
2 2
3( , ( )) .A Cd M P
A C
+
=
+
 D. 
2 2
3( , ( )) .
3 1
A C D
d M P
+ +
=
+
Câu 4. Khoảng cách giữa măṭ phẳng ( )α : 2 2 4 0x y z− − − = và đường thẳng d: 
1
2 4
x t
y t
z t
= +

= +

= −
 là 
A. 1 .
3
 B. 4 .
3
 C. 0. D. 2. 
Câu 5. Khoảng cách từ điểm ( )2; 4; 3A đến măṭ phẳng ( )α : 2 2 1 0x y z+ + + = và ( )β : 0x = lần 
lươṭ là ( , ( ))d A α , ( , ( ))d A β . Choṇ khẳng điṇh đúng trong các khẳng điṇh sau: 
A. ( ), ( )d A α 3= . ( ), ( ) .d A β B. ( ), ( )d A α > ( ), ( ) .d A β 
C. ( ), ( )d A α = ( ), ( ) .d A β D. 2. ( ), ( )d A α = ( ), ( ) .d A β 
Câu 6. Toạ đô ̣ điểm M trên truc̣ Oy sao cho khoảng cách từ điểm M đến măṭ phẳng 
( ) : 2 3 4 0P x y z− + − = nhỏ nhất là 
A. ( )0;2;0 .M B. ( )0;4;0 .M C. ( )0; 4;0 .M − D. 40; ;0
3
M   
 
. 
Câu 7. Khoảng cách từ điểm ( )4; 5;6M − − đến măṭ phẳng (Oxy), (Oyz) lần lươṭ bằng 
A. 6 và 4. B. 6 và 5. C. 5 và 4. D. 4 và 6. 
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyênđề8.6–GócvàKhoảngcách 3 | T H B T N 
CầnfileWordvuilòngliênhệ:toanhocbactrungnam@gmail.com Mãsốtàiliệu:BTNCD8 
Câu 8. Tıńh khoảng cách từ điểm ( )0 0 0; ;A x y z đến mặt phẳng ( ) : 0P Ax By Cz D+ + + = , với 
. . 0A B C ≠ . Choṇ khẳng điṇh đúng trong các khẳng điṇh sau: 
A. ( ) 0 0 0,( ) .d A P Ax By Cz= + + B. ( ) 0 0 02 2 2, ( ) .
Ax By Cz
d A P
A B C
+ +
=
+ +
C. ( ) 0 0 0
2 2
, ( ) .Ax By Cz Dd A P
A C
+ + +
=
+
 D. ( ) 0 0 0
2 2 2
, ( ) .Ax By Cz Dd A P
A B C
+ + +
=
+ +
Câu 9. Tıńh khoảng cách từ điểm ( )0 0 0; ;B x y z đến măṭ phẳng (P): y + 1 = 0. Choṇ khẳng điṇh đúng 
trong các khẳng điṇh sau: 
A. 0.y B. 0 .y C. 
0 1
.
2
y +
 D. 0 1 .y + 
Câu 10. Khoảng cách từ điểm ( )2; 0; 0C − đến măṭ phẳng (Oxy) bằng 
A. 0. B. 2. C. 1. D. 2. 
Câu 11. Tính khoảng cách từ điểm ( )1;2;0M đến măṭ phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz). Choṇ khẳng điṇh sai 
trong các khẳng điṇh sau: 
A. ( ), ( ) 2.d M Oxz = B. ( ), ( ) 1.d M Oyz = 
C. ( ), ( ) 1.d M Oxy = D. ( ) ( ), ( ) , ( ) .d M Oxz d M Oyz> 
Câu 12. Khoảng cách từ điểm ( )0 0 0; ;A x y z đến măṭ phẳng (P): 0Ax By Cz D+ + + = , với 0D ≠
bằng 0 khi và chı ̉ khi: 
A. 0 0 0 .Ax By Cz D+ + ≠ − B. ( ).A P∉ 
C. 0 0 0 .Ax By Cz D+ + = − D. 0 0 0 0Ax By Cz+ + = . 
Câu 13. Khoảng cách từ điểm O đến măṭ phẳng (Q) bằng 1. Choṇ khẳng điṇh đúng trong các khẳng 
điṇh sau: 
A. (Q): – 3 0.x y z+ + = B. (Q): 2 2 – 3 0.x y z+ + = 
C. (Q): 2 – 2 6 0.x y z+ + = D. (Q): – 3 0.x y z+ + = 
Câu 14. Khoảng cách từ điểm H (1;0;3) đến đường thẳng 
1
: 2
3
x t
d y t
z t
= +

=

= +
, t R∈ và măṭ phẳng 
( ) : 3 0P z − = lần lươṭ là ( , )d H d và ( , ( ))d H P . Choṇ khẳng điṇh đúng trong các khẳng điṇh sau: 
A. ( ) ( ), , ( ) .d H d d H P> B. ( ) ( ), ( ) , .d H P d H d> 
C. ( ) ( ), 6. , ( ) .d H d d H P= D. ( ), ( ) 1d H P = . 
Câu 15. Khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng 
2
: 4 3
2 5
x t
d y t
z t
= +

= +

= − −
, t R∈ bằng 
A. 1 .
35
 B. 4 .
35
 C. 5 .
35
 D. 0 
Câu 16. Cho vectơ ( ) ( )2; 2; 0 ; 2; 2; 2u v= − − =
 
 . Góc giữa vectơ u
 và vectơ v
 bằng 
A. 135° . B. 45° . C. 60° . D. 150° . 
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyênđề8.6–GócvàKhoảngcách 4 | T H B T N 
CầnfileWordvuilòngliênhệ:toanhocbactrungnam@gmail.com Mãsốtàiliệu:BTNCD8 
Câu 17. Cho hai đường thẳng 1
2
: 1
3
x t
d y t
z
= +

= − +

=
 và 2
1
: 2
2
x t
d y
z t
′= −

=

′= − +
. Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là 
A. 30° . B. 120° . C. 150° . D. 60° . 
Câu 18. Cho đường thẳng :
1 2 1
x y z∆ = =
−
 và mặt phẳng (P): 5 11 2 4 0x y z+ + − = . Góc giữa đường 
thẳng ∆ và mặt phẳng (P) là 
A. 60° . B. 30− ° . C. 30° . D. 60− ° . 
Câu 19. Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0; ( ) : 2 2 3 0x y z x y zα β− + − = + − − = . Cosin góc giữa mặt 
phẳng ( )α và mặt phẳng ( )β bằng 
A. 4
9
 B. 4 .
9
− C. 4 .
3 3
 D. 4 .
3 3
−
Câu 20. Cho mặt phẳng ( ) : 3 4 5 2 0P x y z+ + + = và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 
( ) : 2 1 0; ( ) : 2 3 0x y x zα β− + = − − = . Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). 
Khi đó số đo góc ϕ là 
A. 60° . B. 45° . C. 30° . D. 90° . 
Câu 21. Cho mặt phẳng ( ) : 3 2 2 5 0x y zα − + − = . Điểm A(1; – 2; 2). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua 
A và tạo với mặt phẳng ( )α một góc 45 .° 
A. Vô số. B. 1. C. 2. D. 4. 
Câu 22. Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc 60° 
A. ( ) : 2 11 5 3 0P x y z+ − + = và ( ) : 2 2 0Q x y z+ − − = . 
B. ( ) : 2 11 5 3 0P x y z+ − + = và ( ) : 2 5 0Q x y z− + + − = . 
C. ( ) : 2 11 5 21 0P x y z− + − = và ( ) : 2 2 0Q x y z+ + − = . 
D. ( ) : 2 5 11 6 0P x y z− + − = và ( ) : 2 5 0Q x y z− + + − = . 
Câu 23. Cho vectơ u v m(1; 1; 2), (1; 0; )−

 

. Tìm m để góc giữa hai vectơ u v,

 

 có số đo bằng 45° . 
Một học sinh giải như sau: 
Bước 1: Tính ( ) mu v
m2
1 2
cos ,
6. 1
−
=
+

 

Bước 2: Góc giữa u v,

 

 có số đo bằng 45° nên m
m2
1 2 1
26. 1
−
=
+
m m21 2 3( 1)⇔ − = + (*) 
Bước 3: Phương trình m m2 2(*) (1 2 ) 3( 1)⇔ − = + 
m
m m
m
2 2 64 2 0
2 6.
 = −
⇔ − − = ⇔ 
 = +
Bài giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? 
A. Sai ở bước 3. B. Sai ở bước 2. C. Sai ở bước 1. D. Đúng. 
Câu 24. Cho hai điểm (1; 1; 1); B(2; 2; 4)A − − . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa A, B và tạo với mặt 
phẳng ( ) : 2 7 0x y zα − + − = một góc 60° . 
A. 1. B. 4. C. 2. D. Vô số. 
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyênđề8.6–GócvàKhoảngcách 5 | T H B T N 
CầnfileWordvuilòngliênhệ:toanhocbactrungnam@gmail.com Mãsốtàiliệu:BTNCD8 
Câu 25. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB, CD. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng: 
A. 
.
cos .
.
AB CD
AB CD
α =

 


 
 B. 
.
cos .
.
AB CD
AB CD
α =

 


 
 
C. 
.
cos .
,
AB CD
AB CD
α =
 
 

 


 

 D. 
.
cos .
.
AB CD
AB CD
α
 
 
=

 


 
 
Câu 26. Cho hình lập phương .ABCD A B C D′ ′ ′ ′ có cạnh bằng a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các 
cạnh , ,BB CD A D′ ′ ′ . Góc giữa hai đường thẳng MP và ′C N là 
A. 30o. B. 120o. C. 60o. D. 90o. 
Câu 27. Cho hình chóp .A BCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc. ABC∆ cân, cạnh bên bằng 
a, 2AD a= . Cosin góc giữa hai đường thẳng BD và DC là 
A. 4 .
5
 B. 2 .
5
−
 C. 4 .
5
 D. 1 .
5
Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2, AC = 5 . SAC∆ vuông cân 
tại A, ( )⊥SA ABCD . K là trung điểm của cạnh SD. Cosin góc giữa đường thẳng CK và AB là 
A. 4 .
17
 B. 2 .
11
 C. 4 .
22
 D. 2 .
22
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm ( 3; 4; 5);A − − (2; 7; 7);B (3; 5; 8);C
( 2; 6; 1)D − . Cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc 60° ? 
A. DB và AC. B. AC và CD. C. AB và CB. D. CB và CA. 
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua A(2; 1; – 1) tạo với trục 
Oz một góc 30° ? 
A. 2( 2) ( 1) ( 2) 3 0.x y z− + − − − − = B. ( 2) 2( 1) ( 1) 2 0.x y z− + − − + − = 
C. 2( 2) ( 1) ( 2) 0.x y z− + − − − = D. 2( 2) ( 1) ( 1) 2 0.x y z− + − − − − = 
Câu 31. Gọi α là góc giữa hai vectơ ,AB CD

 

 . Khẳng định nào sau đây là đúng: 
A. 
.
cos
.
AB CD
AB CD
α
 
 
=

 


 
 . B. 
.
cos .
.
AB CD
AB CD
α =

 


 
 
C. 
.
sin .
,
AB CD
AB CD
α =

 


 
 D. 
.
cos
.
AB CD
AB CD
α =

 


 
 
Câu 32. Cho ba mặt phẳng ( ) : 2 2 3 0P x y z− + + = , ( ) : 2 1Q x y z− − − = , ( ) : 2 2 2 0R x y z+ + − = . Gọi 
1 2 3; ;α α α lần lượt là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), (Q) và (R), (R) và (P). Khẳng định 
nào sau đây là khẳng định đúng. 
A. 1 3 2.α α α> > B. 2 3 1.α α α> > C. 3 2 1.α α α> > D. 1 2 3.α α α> > 
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 2 0x y z mα + + + = và điểm ( )1;1;1A . 
Khi đó m nhận giá trị nào sau đây để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( )α bằng 1? 
A. −2. B. −8. C. −2 hoặc 8− . D. 3. 
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyênđề8.6–GócvàKhoảngcách 6 | T H B T N 
CầnfileWordvuilòngliênhệ:toanhocbactrungnam@gmail.com Mãsốtàiliệu:BTNCD8 
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( )α cắt các trục , ,Ox Oy Oz lần lượt tại 3 điểm 
( )2;0;0A − , ( )0;3;0B , ( )0;0;4C . Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( )ABC là 
A. 61 .
12
 B. 4. C. 12 61 .
61
 D. 3. 
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm ( )1;0;0M và ( )0;0; 1N − , mặt phẳng ( )P qua 
điểm ,M N và tạo với mặt phẳng ( ) : 4 0Q x y− − = môṭ góc bằng O45 . Phương trình mặt 
phẳng ( )P
là 
A. 
0
2 2 2 0
y
x y z
=

− − − =
. B. 
0
2 2 2 0
y
x y z
=

− − + =
. 
C. 
2 2 2 0
2 2 2 0
x y z
x y z
− − + =

− − − =
. D. 
2 2 2 0
.
2 2 2 0
x z
x z
− + =

− − =
Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho điểm ( )2; 0; 1A − , đường thẳng d qua điểm A và tạo với trục 
góc O45 . Phương trình đường thẳng d là 
A. 
2 1
2 15
2 1
2 15
x y z
x y z
+ −
= =
−

+ −
= =
−
−
. B. 
2 1
2 15
2 1
2 15
x y z
x y z
− +
= =
−

− +
= =
−
−
C. 
2 1
2 15
2 1
2 15
x y z
x y z
+ −
= =
−

− +
= =
−
 D. 
2 1
2 15
2 1
2 15
x y z
x y z
+ −
= =
−
−

− +
= =
−
Câu 37. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 3 0P x y z+ + − = và mặt phẳng
( ) : 1 0Q x y z− + − = . Khi đó mặt phẳng ( )R vuông góc với mặt phẳng ( )P và ( )Q sao cho 
khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( )R bằng 2 , có phương trình là 
A. 2 2 2 2 0x z− − = . B. 2 2 0x z− − = . 
C. 2 2 0x z− + = . D. 
2 2 0
2 2 0
x z
x z

− + =

− − =
. 
Câu 38. Tập hợp các điểm ( ); ;M x y z trong không gian Oxyz cách đều hai mặt phẳng 
( ) : 2 3 0P x y z+ − − = và ( ) : 2 5 0Q x y z+ − + = là 
A. 2 1 0x y z+ − + = . B. 2 4 0x y z+ − + = . 
C. 2 2 0x y z+ − + = . D. 2 4 0x y z+ − − = . 
Câu 39. Tập hợp các điểm ( ); ;M x y z trong không gian Oxyz cách đều hai mặt phẳng 
( ) : 2 2 7 0P x y z− − − = và mặt phẳng ( ) :2 2 1 0Q x y z+ + + = là 
A. 3 4 8 0.x y z+ + + = B. 
3 4 8 0
3 6 0
x y z
x y
+ + + =

− − =
 . 
C. 3 6 0.x y− − = D. 3 3 4 8 0.x y z+ + + = 
Oy
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyênđề8.6–GócvàKhoảngcách 7 | T H B T N 
CầnfileWordvuilòngliênhệ:toanhocbactrungnam@gmail.com Mãsốtàiliệu:BTNCD8 
Câu 40. Trong không gian Oxyz cho điểm M
thuôc̣ truc̣ Ox cách đều hai mặt phẳng 
( ) : 2 3 0P x y z+ − − = và ( )Oyz . Khi tọa độ điểm M là 
A. 3 ;0;0
1 6
 
 
+ 
và 3 ;0;0 .
6 1
 
 
− 
 B. 3 ;0;0
1 6
 
 
+ 
 và 3 ;0;0 .
1 6
 
 
− 
C. 6 1;0;0
3
 
−
  
 
 và 6 1;0;0 .
3
 +
  
 
 D. 1 6 ;0;0
3
 +
  
 
 và 1 6 ;0;0 .
3
 
−
  
 
Câu 41. Trong không gian Oxyz cho điểm ( )3; 2;4A − và đường thẳng 5 1 2:
2 3 2
x y zd − − −= =
−
. Điểm
M thuộc đường thẳng d sao cho M cách A một khoảng bằng 17 . Tọa độ điểm M là 
A. ( )5;1;2 và ( )6; 9; 2 . B. ( )5;1;2 và ( )1; 8; 4 .− − − 
C. ( )5; 1;2− và ( )1; 5;6 .− D. ( )5;1;2 và ( )1; 5;6 .− 
Câu 42. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có các đỉnh ( )1;2;1A , ( )2;1;3B − , ( )2; 1;1C − và 
( )0;3;1D . Phương trình mặt phẳng ( )P đi qua 2 điểm ,A B sao cho khoảng cách từ C đến 
( )P bằng khoảng cách từ D đến ( )P là 
A. 
4 2 7 1 0
.
2 3 5 0
x y z
x z
− + − =
 + − =
 B. 2 3 5 0.x z+ − = 
C. 4 2 7 15 0.x y z+ + − = D. 
4 2 7 15 0
.
2 3 5 0
x y z
x z
+ + − =
 + − =
Câu 43. Trong không gian với hệ trục toạ độ ,Oxyz gọi ( )P là mặt phẳng chứa đường thẳng 
1 2
:
1 1 2
x y zd − += =
− −
 và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc 
( )mp P ? 
A. ( )3;0;4 .E − B. ( )3;0;2 .M 
C. ( )1; 2; 1 .N − − − D. ( )1;2;1 .F 
Câu 44. Trong không gian với hệ trục toạ độ ,Oxyz cho điểm ( ) ( )0; 1; 2 , 1; 1; 3M N− − . Gọi ( )P là 
mặt phẳng đi qua , M N và tạo với mặt phẳng ( ) :2 2 2 0Q x y z− − − = góc có số đo nhỏ nhất. 
Điểm ( )1;2;3A cách mp ( )P một khoảng là 
A. 3. B. 5 3 .
3
 C. 7 11 .
11
 D. 4 3 .
3
Câu 45. Trong không gian với hệ trục toạ độ ,Oxyz cho ( ) : 2 2 1 0P x y z− + − = và 2 đường thẳng 
1 2
1 9 1 3 1
: ; :
1 1 6 2 1 2
x y z x y z+ + − − +∆ = = ∆ = =
−
. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng 1∆ , M có 
toạ độ là các số nguyên, M cách đều 2∆ và ( ).P Khoảng cách từ điểm M đến ( )mp Oxy là 
A. 3. B. 2 2. C. 3 2. D. 2. 
Câu 46. Trong không gian với hệ trục toạ độ ,Oxyz cho 2 điểm ( ) ( )1;5;0 ; 3;3;6A B và đường thẳng 
1 1
:
2 1 2
x y zd + −= =
−
. Gọi C là điểm trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ 
nhất. Khoảng cách giữa 2 điểm A và C là 
A. 29. B. 29. C. 33. D. 7. 
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyênđề8.6–GócvàKhoảngcách 8 | T H B T N 
CầnfileWordvuilòngliênhệ:toanhocbactrungnam@gmail.com Mãsốtàiliệu:BTNCD8 
Câu 47. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm ( )10;2; 1A − và đường thẳng 
1 1
:
2 1 3
x y zd − −= = . Gọi ( )P là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d sao 
cho khoảng cách giữa d và ( )P lớn nhất. Khoảng cách từ điểm ( )1;2;3M − đến mp ( )P là 
A. 97 3 .
15
 B. 76 790 .
790
 C. 2 13 .
13
 D. 3 29 .
29
Câu 48. Trong không gian với hệ trục toạ độ ,Oxyz cho điểm ( )2;5;3A và đường thẳng 
1 2
:
2 1 2
x y zd − −= = . Gọi ( )P là mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A 
đến ( )P lớn nhất. Khoảng cách từ điểm ( )1;2; 1M − đến mặt phẳng ( )P là 
A. 11 18 .
18
 B. 3 2. C. 11 .
18
 D. 4 .
3
Câu 49. Trong không gian với hệ trục toạ độ ,Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2 0P x y z+ − + = và hai đường 
thẳng 
1
:
2 2
x t
d y t
z t
= +

=

= +
; 
3
: 1 .
1 2
x t
d y t
z t
′= −

′ ′= +

′= −
 Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song 
với ( )P ; cắt , d d ′ và tạo với d góc 30 .° Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó là 
A. 1 .
5
 B. 1 .
2
 C. 2.
3
 D. 1 .
2
Câu 50. Trong không gian với hệ trục toạ độ ,Oxyz cho 3 điểm ( ) ( ) ( )1;0;1 ; 3; 2;0 ; 1;2; 2A B C− − . Gọi 
( )P là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến ( )P lớn nhất biết rằng 
( )P không cắt đoạn BC . Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng ( )P ? 
A. ( ) 2; 0; 3 .G − B. ( )3; 0; 2 .F − C. ( ) 1;3;1 .E D. ( ) 0;3;1H . 
Câu 51. Trong không gian với hệ trục toạ độ ,Oxyz cho các điểm ( ) ( ) ( )1;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A B b C c trong 
đó ,b c dương và mặt phẳng ( ) : 1 0P y z− + = . Biết rằng ( )mp ABC vuông góc với ( )mp P và 
( )( ) 1, 3d O ABC = , mệnh đề nào sau đây đúng? 
A. 1.b c+ = B. 2 1.b c+ = C. 3 1.b c− = D. 3 3.b c+ = 
Câu 52. Trong không gian với hệ trục toạ độ ,Oxyz cho 3 điểm ( ) ( ) ( )1;2;3 ; 0;1;1 ; 1;0; 2A B C − . 
Điểm ( ) : 2 0M P x y z∈ + + + = sao cho giá trị của biểu thức 2 2 22 3T MA MB MC= + + nhỏ 
nhất. Khi đó, điểm M cách ( ) :2 2 3 0Q x y z− − + = một khoảng bằng 
A. 121.
54
 B. 24. C. 2 5 .
3
 D. 91.
54
Câu 53. Cho mặt phẳng ( ) : 2 1 0; ( ) : 5 2 11 3 0x y z x y zα β+ − − = + + − = . Góc giữa mặt phẳng 
( )α và mặt phẳng ( )β bằng 
A. 120 .° B. 30 .° C. 150 .° D. 60 .° 
Câu 54. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 3 0.x y+ − = 
Điểm H(2; 1; 2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên một mặt phẳng (Q). Góc giữa 
hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 
A. 45 .° B. 30 .° C. 60 .° D. 120 .° 
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyênđề8.6–GócvàKhoảngcách 9 | T H B T N 
CầnfileWordvuilòngliênhệ:toanhocbactrungnam@gmail.com Mãsốtàiliệu:BTNCD8 
Câu 55. Cho vectơ ( )2; 1; , 60u v u v= = = °
 
 
 
 . Góc giữa vectơ v
 và vectơ u v−
 
 bằng 
A. 60 .° B. 30 .° C. 90 .° D. 45 .° 
Câu 56. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 3 1 1: ,
9 5 1
x y zd − + −= = 
2 3 3 9 0