Hinh học 12 - Bài 3: Phương trình mặt phẳng

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.3 – Phương trình mặt phẳng 1 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
 Vectơ 0n 
 
 là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n

 vuông góc với mặt phẳng ( ) 
 Chú ý: 
 Nếu n

 là một VTPT của mặt phẳng ( ) thì kn

( 0)k  cũng là một VTPT của mặt phẳng ( ) . 
 Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó. 
 Nếu ,u v
 
 có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) thì [ , ]n u v
  
 là một VTPT của ( ) . 
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng 
 Trong không gian Oxyz , mọi mặt phẳng đều có phương trình dạng : 
0Ax By Cz D    với 2 2 2 0A B C   
 Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình 0Ax By Cz D    thì nó có một VTPT là 
( ; ; )n A B C

. 
 Phương trình mặt phẳng đi qua điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z và nhận vectơ ( ; ; )n A B C

 khác 0

 là 
VTPT là 0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z      . 
 Các trường hợp riêng 
Xét phương trình mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz D    với 2 2 2 0A B C   
 Nếu 0D  thì mặt phẳng ( ) đi qua gốc tọa độ O . 
 Nếu 0, 0, 0A B C   thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Ox . 
 Nếu 0, 0, 0A B C   thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oy . 
 Nếu 0, 0, 0A B C   thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oz . 
 Nếu 0, 0A B C   thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với  Oxy . 
 Nếu 0, 0A C B   thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với  Oxz . 
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.3 – Phương trình mặt phẳng 2 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
 Nếu 0, 0B C A   thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với  Oyz . 
Chú ý: 
 Nếu trong phương trình ( ) không chứa ẩn nào thì ( ) song song hoặc chứa trục tương 
ứng. 
 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn   : 1x y z
a b c
   . Ở đây ( ) cắt các trục tọa độ 
tại các điểm  ;0;0a ,  0; ;0b ,  0;0;c với 0abc  . 
III. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
 Trong không gian Oxyz , cho điểm 0 0 0 0(x ; ; )M y z và mặt phẳng   : 0Ax By Cz D     
Khi đó khoảng cách từ điểm 0M đến mặt phẳng ( ) được tính: 
0 0 0
0 2 2 2
| |( , ( )) Ax By Cz Dd M
A B C
   
 
IV. Góc giữa hai mặt phẳng 
Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng   1 1 1 1: 0A x B y C z D     và 
  2 2 2 2: 0.A x B y C z D     
Góc giữa   và   bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT ,n n 
 
. Tức là 
       1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
cos , cos ,
. .
n n A A B B C C
n n
n n A B C A B C
 
 
 
 
    
   
 
 
  
V. Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng 
 Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó. 
Phương pháp giải 
Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 
 Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua 1 điểm  0 0 0 0; ;M x y z và song song với 1 mặt 
phẳng   : 0Ax By Cz D    cho trước. 
Phương pháp giải 
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: 
1. VTPT của   là  ; ; .n A B C

 
2.   //   nên VTPT của mặt phẳng   là  ; ; .n n A B C 
 
  
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.3 – Phương trình mặt phẳng 3 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
3. Phương trình mặt phẳng   :      0 0 0 0.A x x B y y C z z      
Cách 2: 
1. Mặt phẳng   //   nên phương trình  P có dạng: 0Ax By Cz D    (*), với D D  . 
2. Vì  P qua 1 điểm  0 0 0 0; ;M x y z nên thay tọa độ  0 0 0 0; ;M x y z vào (*) tìm được D . 
 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua 3 điểm A , B , C không thẳng hàng. 
Phương pháp giải 
1. Tìm tọa độ các vectơ: , .AB AC
 
2. Vectơ pháp tuyến của   là : , .n AB AC    
  
3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C ). 
4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT .n

 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng  
Phương pháp giải 
1. Tìm VTCP của  là .u

2. Vì     nên   có VTPT .n u
 
 
3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT .n

 Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  , vuông góc với mặt phẳng  . 
Phương pháp giải 
1. Tìm VTPT của   là .n

 
2. Tìm VTCP của  là .u

3. VTPT của mặt phẳng   là ; .n n u   
  
  
4. Lấy một điểm M trên . 
5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 
 Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng   qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng  . 
Phương pháp giải 
1. Tìm VTPT của   là .n

 
2. Tìm tọa độ vectơ .AB

3. VTPT của mặt phẳng   là , .n n AB   
  
  
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
 Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  và song song với  ( ,  chéo 
nhau). 
Phương pháp giải 
1. Tìm VTCP của  và  là u

 và '.u

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.3 – Phương trình mặt phẳng 4 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
2. VTPT của mặt phẳng   là , .n u u     
  
 
3. Lấy một điểm M trên . 
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 
 Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  và 1 điểm M 
Phương pháp giải 
1. Tìm VTCP của  là u

, lấy 1 điểm N trên . Tính tọa độ .MN

2. VTPT của mặt phẳng   là ; .n u MN   
  
 
3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 
 Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng   chứa 2 đường thẳng cắt nhau  và . 
Phương pháp giải 
1. Tìm VTCP của  và  là u

 và '.u

2. VTPT của mặt phẳng   là '; .n u u    
  
 
3. Lấy một điểm M trên . 
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 
 Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng   chứa 2 song song  và . 
Phương pháp giải 
1. Tìm VTCP của  và  là u

 và u 

, lấy , .M N   
2. VTPT của mặt phẳng   là ; .n u MN   
  
 
3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 
 Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng   đi qua một điểm M và song song với hai đường thẳng 
 và  chéo nhau cho trước. 
Phương pháp giải 
1. Tìm VTCP của  và  ’ là u

 và '.u

2. VTPT của mặt phẳng   là ; .n u u     
  
 
3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 
 Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng   đi qua một điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng 
   ,P Q cho trước. 
Phương pháp giải 
1. Tìm VTPT của  P và  Q là Pn

 và .Qn

2. VTPT của mặt phẳng   là ; .P Qn n n   
  
 
3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 
 Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng   và cách 
  : 0Ax By Cz D     một khoảng k cho trước. 
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.3 – Phương trình mặt phẳng 5 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
Phương pháp giải 
1. Trên mặt phẳng   chọn 1 điểm .M 
2. Do   //   nên   có phương trình 0Ax By Cz D    ( D D  ). 
3. Sử dụng công thức khoảng cách        , ,d d M k     để tìm D . 
 Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng 
  : 0Ax By Cz D     cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trướC. 
Phương pháp giải 
1. Do   //   nên   có phương trình 0Ax By Cz D    ( D D  ). 
2. Sử dụng công thức khoảng cách   ,d M k  để tìm D . 
 Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S . 
Phương pháp giải 
1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu  .S 
2. Nếu mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S tại  M S thì mặt phẳng   đi qua 
điểm M và có VTPT là .MI

3. Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm được 
VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: 0Ax By Cz D    ( D chưa 
biết). 
Sử dụng điều kiện tiếp xúc:   ,d I R  để tìm D . 
 Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng   chứa một đường thẳng  và tạo với một mặt phẳng 
  : 0Ax By Cz D    cho trước một góc  cho trước. 
Phương pháp giải 
1. Tìm VTPT của   là .n

 
2. Gọi ( ; ; ).n A B C  

 
3. Dùng phương pháp vô định giải hệ: 
( ; )n n
n
n u
 

 
   

 

  
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT. 
VI. Các ví dụ 
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm (1;0; 2)A  và có 
vectơ pháp tuyến (1; 1; 2)n 

. 
Lời giải 
Mặt phẳng ( )P đi qua điểm (1;0; 2)A  và có vectơ pháp tuyến (1; 1; 2)n 

có phương trình là 
1( 1) 1( 0) 2( 2) 0x y z      2 3 0x y z     . 
Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là 2 3 0x y z    . 
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm (0;1;3)M và song 
song với mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0Q x z   . 
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.3 – Phương trình mặt phẳng 6 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
Lời giải 
Mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0Q x z   nên mặt phẳng ( )P có phương trình 
dạng: 2 3 0 ( 1)x z D D    . 
Mặt phẳng ( )P đi qua điểm (0;1;3)M nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải 
thỏa mãn. Ta được: 2.0 3.3 0 9D D     (thỏa mãn 1D  ). 
Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là 2 3 9 0x z   . 
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm 
(1;0; 2),A  (1;1;1),B (0; 1; 2)C  . 
Lời giải 
Ta có: (0;1;3), ( 1; 1 : 4)AB AC   
 
, (7; 3;1)AB AC    
 
. 
Gọi n

 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )ABC ta có 
n AB
n AC
 


 
  nên n

 cùng phương với ,AB AC  
 
. 
Chọn (7; 3;1)n  

 ta được phương trình mặt phẳng ( )ABC là 7( 1) 3( 0) 1( 2) 0x y z      
7 3 5 0x y z     . 
Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm O và vuông góc 
với đường thẳng : 1 2
2 .
x t
d y t
z t


  
  
Lời giải 
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là (1;2;1).du 

Mặt phẳng ( ) vuông góc với đường thẳng d nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là (1; 2;1)dn u  
 
. 
Đồng thời ( ) đi qua điểm O nên có phương trình là 2 0x y z   . 
Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng 
: 1 2
2 .
x t
d y t
z t
 

  
  
 và vuông góc với   : 2 1 0.x y z    
Lời giải 
Đường thẳng d đi qua điểm  0; 1;2A  và có VTCP là ( 1;2;1).du  

 Mặt phẳng   có VTPT là  1;2; 1n  

. 
Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d và vuông góc với   nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là 
   , 4;0; 4 4 1;0;1dn u n       
  
  . 
Phương trình mặt phẳng   là 2 0x z   . 
Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm 
(1;2; 2), (2; 1;4)A B  và vuông góc với   : 2 1 0.x y z    
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.3 – Phương trình mặt phẳng 7 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
Lời giải 
Có  1; 3;6AB  

 Mặt phẳng   có VTPT là  1; 2; 1n   

. 
Mặt phẳng ( ) chứa A , B và vuông góc với   nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là 
 , 15;7;1n AB n   
  
  . 
Phương trình mặt phẳng   là 15 7 1 27 0x z    . 
Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng 1
1
: 1 2
1
x
d y t
z t


 
  
và song song với đường thẳng 2
1 1:
1 2 2
x y zd    . 
Lời giải 
Đường thẳng 1d đi qua điểm 1(1;1;1)M vectơ chỉ phương 1(0; 2;1)u 

. 
Đường thẳng 2d đi qua điểm 2 (1;0;1)M vectơ chỉ phương 2 (1; 2; 2)u

. 
Ta có 1 2, ( 6;1;2)u u    
 
. 
Gọi n

 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P , ta có: 
1
2
n u
n u
 


 
  nên n

 cùng phương với 1 2,u u  
 
. 
Chọn ( 6;1; 2)n  

. 
Mặt phẳng ( )P đi qua điểm 1(1;1;1)M và nhận vectơ pháp tuyến ( 6;1; 2)n  

có phương trình: 
6( 1) 1( 1) 2( 1) 0x y z       6 2 3 0x y z      . 
Thay tọa độ điểm 2M vào phương trình mặt phẳng ( )P thấy không thỏa mãn. 
Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là 6 2 3 0x y z     . 
Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng 
1
: 1 2
1
x
d y t
z t


 
   
và điểm ( 4;3;2).M  
Lời giải 
Đường thẳng d đi qua điểm (1;1;1)N vectơ chỉ phương (0; 2;1)du 

. 
 5; 2; 1 .MN   

Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d và điểm M nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là 
 , 4;5;10dn u MN   
  
 . 
Phương trình mặt phẳng   là 4 5 10 19 0x y z    . 
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.3 – Phương trình mặt phẳng 8 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
Ví dụ 9. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng 1
1
: 1 2
1
x
d y t
z t


 
  
và 2
1 3
: 1 2 .
1
x t
d y t
z t
 

 
  
Lời giải 
Đường thẳng 1d đi qua điểm 1(1;1;1)M vectơ chỉ phương 1(0; 2;1)u 

. 
Đường thẳng 2d đi qua điểm 2 (1;1;1)M vectơ chỉ phương 2 (3; 2;1)u 

. 
Ta có  1 2, 0;3;6u u   
 
,  1 2 0;0;0M M 

Do 1 2 1 2, 0M M u u   
  
 nên đường thẳng 1 2,d d cắt nhau. 
Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng 1 2,d d cắt nhau nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là 
   1 2, 0;3;6 3 0;1;2n u u    
  
 . 
Phương trình mặt phẳng   là 2 3 0y z   . 
Ví dụ 10. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng 
1
1
: 1 2
1
x
d y t
z t


 
  
 và 2
4
: 3 4
1 2
x
d y t
z t


 
  
Lời giải 
Đường thẳng 1d đi qua điểm 1(1;1;1)M vectơ chỉ phương 1(0; 2;1)u 

. 
Đường thẳng 2d đi qua điểm  2 4;3;1M vectơ chỉ phương  2 0; 4;2u 

. 
Ta có 1 2, 0u u   
  
,  1 2 3;2;0 .M M 

Do 1 2, 0u u   
  
 nên đường thẳng 1 2,d d song song 
Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng 1 2,d d song song nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là 
   1 1 2, 2;3;6 2; 3; 6n u M M        
  
 . 
Phương trình mặt phẳng   là 2 3 6 7 0x y z    . 
Ví dụ 11. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm (1;0; 2)A  và 
( )P song song với hai đường thẳng 1
1
: 1 2
1
x
d y t
z t


 
  
 và 2
1 1:
1 2 2
x y zd    . 
Lời giải 
Đường thẳng 1d đi qua điểm 1(1;1;1)M vectơ chỉ phương 1(0; 2;1)u 

. 
Đường thẳng 2d đi qua điểm 2 (1;0;1)M vectơ chỉ phương 2 (1; 2; 2)u

. 
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.3 – Phương trình mặt phẳng 9 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
Ta có 1 2, ( 6;1;2)u u    
 
. 
Gọi n

 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P , ta có: 
1
2
n u
n u
 


 
  nên n

 cùng phương với 1 2,u u  
 
. 
Chọn ( 6;1; 2)n  

 ta được phương trình mặt phẳng ( )P là 
6( 1) 1( 0) 2( 2) 0x y z       
6 2 10 0x y z      . 
Ví dụ 12 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm 1 2 5 M ( ; ; ) và 
vuông góc với hai mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0Q x y z    và ( ) : 2 3 1 0R x y z    . 
Lời giải 
VTPT của ( )Q là (1;2; 3)Qn 

, VTPT của ( )R là (2; 3;1).Rn 

Ta có , ( 7; 7; 7)Q Rn n      
 
 nên mặt phẳng ( )P nhận (1;1;1)n

 là một VTPT và ( )P đi qua điểm 
1 2 5 M ( ; ; ) nên có phương trình là 2 0x y z    . 
Ví dụ 13: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng 
( ) : 2 2 1 0Q x y z    và cách ( )Q một khoảng bằng 3. 
Lời giải 
Trên mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0Q x y z    chọn điểm 1 0 0M( ; ; ) . 
Do ( )P song song với mặt phẳng ( )Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: 
2 2 0x y z D    với 1D . 
Vì (( ), ( )) 3d P Q  ( , ( )) 3d M P 
2 2 2
| 1 | 3
1 2 ( 2)
D  
  
| 1 | 9D   
8
10
D
D
   
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: 2 2 8 0x y z    và 2 2 10 0x y z    . 
Ví dụ 14 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng 
( ) : 2 2 1 0Q x y z    và ( )P cách điểm 1 2 1M ( ; ; ) một khoảng bằng 3. 
Lời giải 
Do ( )P song song với mặt phẳng ( )Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: 
2 2 0x y z D    với 1D . 
Vì ( , ( )) 3d M P 
2 2 2
|1 4 2 | 3
1 2 ( 2)
D   
  
| 5 | 9D   
4
14
D
D
   
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: 2 2 4 0x y z    và 2 2 14 0x y z    . 
Ví dụ 15: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng 
( ) : 2 2 1 0Q x y z    và tiếp xúc với mặt cầu 2 2 2 2 4 2 3 0      S x y z x y z( ) : 
Lời giải 
Mặt cầu S( ) có tâm ( 1; 2;1)I  và bán kính 2 2 2( 1) 2 1 3 3R       
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.3 – Phương trình mặt phẳng 10 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
Do ( )P song song với mặt phẳng ( )Q nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: 
2 2 0x y z D    với 1D . 
Vì ( )P tiếp xúc với mặt cầu S( ) nên 
( , ( )) 3d I P R 
2 2 2
| 1 4 2 | 3
1 2 ( 2)
D    
  
|1 | 9D   10D  hoặc 8D  
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: 2 2 10 0x y z    và 2 2 8 0x y z    . 
Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng  P và đường thẳng d lần lượt có phương trình 
  : 2 5 0P x y z    và 1: 1 3
2
xd y z     . Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa đường 
thẳng d và tạo với mặt phẳng  P một góc 060 . 
Lời giải 
Giả sử mặt phẳng ( )Q có dạng 0Ax By Cz D     2 2 2 0 .A B C   
Chọn hai điểm    1; 1;3 , 1;0;4 .M N d   
Mặt phẳng  Q chứa d nên  ,M N Q
   . 1 1 .3 0 2
7 4.1 .0 .4 0
A B C D C A B
D A BA B C D
         
  
     
Suy ra mặt phẳng có phương trình là  2 7 4 0Ax By A B z A B       và có VTPT 
 ; ; 2 .Qn A B A B  

 Q tạo với mặt phẳng  P một góc 60
2 2 2 2 2 2
2 2 1cos(60 )
2(2 ) 1 2 ( 1)
A B A B
A B A B
  
   
     
(4 2 3) BA   
Cho 1B  ta được (4 2 3).A   Vậy có 2 phương trình mặt phẳng 
   (4 2 3) 9 4 3 32 14 3 0; (4 2 3) 9 4 3 32 14 3 0x y z x y z                
B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 1. Khẳng định nào dưới đây đúng ? 
A. Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng )(P thì ( )kn k 

 cũng là một vectơ pháp 
tuyến của mặt phẳng )(P . 
B. Một mặt