Hình học 12 - Bài 2: Phương trình mặt cầu

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.2 – Phương trình mặt cầu 1 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
RI BA
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Định nghĩa 
2. Các dạng phương trình mặt cầu 
Dạng 1 : Phương trình chính tắc 
Mặt cầu (S) có tâm  ; ;I a b c , bán kính 0R . 
        2 2 2 2 : S x a y b z c R      
Dạng 2 : Phương trình tổng quát 
2 2 2 ( ) : 2 2 2 0       S x y z ax by cz d (2) 
  Điều kiện để phương trình (2) là phương trình 
mặt cầu: 2 2 2 0 a b c d    
 (S) có tâm  ; ;I a b c . 
 (S) có bán kính: 2 2 2   R a b c d . 
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng 
Cho mặt cầu  ;S I R và mặt phẳng  P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên  P  d IH là 
khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P . Khi đó : 
+ Nếu d R : Mặt cầu và mặt 
phẳng không có điểm chung. 
+ Nếu d R : Mặt phẳng tiếp xúc 
mặt cầu. Lúc đó:  P là mặt phẳng 
tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp 
điểm. 
+ Nếu :d R Mặt phẳng  P 
cắt mặt cầu theo thiết diện là 
đường tròn có tâm I' và bán 
kính 2 2  r R IH 
P
M2
M1
H
IR
R
I
HP
d
r I'
α
R
I
Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó 
được gọi là đường tròn lớn. 
Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả 
những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi 
là mặt cầu tâm I, bán kính R. 
Kí hiệu:  ;S I R    ; | S I R M IM R   
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.2 – Phương trình mặt cầu 2 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
4. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng 
Cho mặt cầu  ;S I R và đường thẳng  . Gọi H là hình chiếu của I lên  . Khi đó : 
+ IH R :  không cắt mặt 
cầu. 
+ IH R :  tiếp xúc với mặt cầu. 
 là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp 
điểm. 
+ IH R :  cắt mặt cầu tại 
hai điểm phân biệt. 
R
I

H
H

I
R
H B
A
I
R
Δ
* Lưu ý: Trong trường hợp  cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau: 
+ Xác định:  ; .d I IH  
+ Lúc đó: 
2
2 2 2 
2
      
 
ABR IH AH IH 
ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 
* Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng ( ) . 
  2 2 2: 2 2 2 0 S x y z ax by cz d       
  : 0Ax By Cz D     
 * Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C). 
+ Tâm  'I d   . 
Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp ( ) 
+ Bán kính     
222 2 ' ' ; R R II R d I        
5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R. 
 + Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S)   ; .d I R  
 + Mặt phẳng   là tiếp diện của (S)     ; .d I R  
* Lưu ý: Tìm tiếp điểm  0 0 0 0; ;M x y z . 
 Sử dụng tính chất : 
 
0 0
0 0 //
dIM d IM a
IM IM n
 
 
  
 
  
R'
I'

R
I
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.2 – Phương trình mặt cầu 3 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
A. KỸ NĂNG CƠ BẢN 
Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 
Phương pháp: 
 * Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm  ; ;I a b c . 
 Bước 2: Xác định bán kính R của (S). 
 Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm  ; ;I a b c và bán kính R . 
      2 2 2 2 ( ) :      S x a y b z c R 
 * Thuật toán 2: Gọi phương trình 2 2 2( ) : 2 2 2 0       S x y z ax by cz d 
 Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được , , , .a b c d ( 2 2 2 0a b c d    ) 
Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau: 
 a)  S có tâm  2;2; 3I và bán kính 3R . 
 b)  S có tâm  1;2;0I và (S) qua  2; 2;1P . 
 c)  S có đường kính AB với    1;3;1 , 2;0;1A B . 
Bài giải: 
a) Mặt cầu tâm  2;2; 3I và bán kính 3R , có phương trình: (S):      2 2 22 2 3 9     x y z 
b) Ta có:  1; 4;1 3 2   

IP IP . 
Mặt cầu tâm  1;2;0I và bán kính 3 2 R IP , có phương trình (S):    2 2 21 2 18    x y z 
c) Ta có:  3; 3;0 3 2AB AB    

. 
Gọi I là trung điểm AB 1 3; ;1
2 2
   
 
I . 
Mặt cầu tâm 1 3; ;1
2 2
  
 
I và bán kính 3 2
2 2
 
ABR , có phương trình: 
(S):  
2 2
21 3 91
2 2 2
x y z           
   
. 
Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau: 
 a) (S) qua    3;1;0 , 5;5;0A B và tâm I thuộc trục Ox . 
 b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng   : 16 15 12 75 0    x y z . 
 c) (S) có tâm  1;2;0I và có một tiếp tuyến là đường thẳng 1 1: .
1 1 3
 
  
 
x y z 
Bài giải: 
a) Gọi  ;0;0 I a Ox . Ta có :    3 ;1;0 , 5 ;5;0   
 
IA a IB a . 
Do (S) đi qua A, B    2 23 1 5 25 4 40 10           IA IB a a a a 
 10;0;0 I và 5 2IA . 
Mặt cầu tâm  10;0;0I và bán kính 5 2R , có phương trình (S) :  2 2 210 50x y z    
b) Do (S) tiếp xúc với      75d , 3.25O R R     
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.2 – Phương trình mặt cầu 4 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
Mặt cầu tâm  0;0;0O và bán kính 3R  , có phương trình (S) : 2 2 2 9x y z   
c) Chọn    1;1;0 0; 1;0   

A IA . 
Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là  1;1; 3   
u . Ta có:  , 3;0; 1    
 IA u . 
Do (S) tiếp xúc với  
, 10d ,
11
IA u
I R R
u


 
       
 
 . 
Mặt cầu tâm  1;2;0I và bán kính 10
11
R  , có phương trình (S) :    2 2 2 101 2 .
121
x y z     
Bài tập 3 : Viết phương trình mặt cầu (S) biết : 
 a) (S) qua bốn điểm        1;2; 4 , 1; 3;1 , 2;2;3 , 1;0;4 A B C D . 
 b) (S) qua      0;8;0 , 4;6;2 , 0;12;4A B C và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz). 
Bài giải: 
a) Cách 1: Gọi  ; ;I x y z là tâm mặt cầu (S) cần tìm. 
Theo giả thiết: 
2 2
2 2
2 2
1 2
7 2 1
4 1 0
IA IBIA IB y z x
IA IC IA IC x z y
IA ID y z zIA ID
         
  
           
        
. 
Do đó:  2;1;0I  và 26 R IA . Vậy (S) :    2 2 22 1 26x y z     . 
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : 2 2 2 2 2 2 0      x y z ax by cz d ,  2 2 2 0a b c d    . 
Do    1;2; 4  A S 2 4 8 21     a b c d (1) 
Tương tự:    1; 3;1 2 6 2 11        B S a b c d (2) 
    2;2;3  C S 4 4 6 17     a b c d (3) 
    1;0;4 2 8 17      D S a c d (4) 
Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có , , , a b c d , suy ra phương trình mặt cầu (S) : 
    2 2 22 1 26x y z     . 
b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz)  0; ; I b c . 
Ta có: 
2 2
2 2
7
5
  
    
 
IA IB b
IA IB IC
cIA IC
. 
Vậy  0;7;5I và 26R . Vậy (S):    2 22 7 5 26.    x y z 
Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng : 1
x t
y
z t


  
  
 và (S) tiếp xúc với hai 
mặt phẳng   : 2 2 3 0x y z     và   : 2 2 7 0x y z     . 
Bài giải: 
Gọi  ; 1;  I t t là tâm mặt cầu (S) cần tìm. 
Theo giả thiết:       1 51 5, , 31 53 3 
    
        
t tt t
d I d I t
t t
. 
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.2 – Phương trình mặt cầu 5 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
Suy ra:  3; 1; 3 I và    2d , 3 R I . Vậy (S) :      
2 2 2 43 1 3
9
     x y z . 
Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm    2;6;0 , 4;0;8A B và có tâm thuộc d: 
1 5
1 2 1
 
 

x y z . 
Bài giải: 
Ta có 
1
: 2
5
 


   
x t
d y t
z t
. Gọi  1 ;2 ; 5   I t t t d là tâm của mặt cầu (S) cần tìm. 
Ta có:    1 ;6 2 ;5 , 3 ; 2 ;13IA t t t IB t t t       
 
. 
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B AI BI 
         2 2 2 2 221 6 2 5 3 4 13          t t t t t t
2962 32 178 20 12 116
3
         t t t t 
32 58 44; ;
3 3 3
    
 
I và 2 233 R IA . Vậy (S): 
2 2 232 58 44 932
3 3 3
               
     
x y z . 
Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm  2;3; 1I và cắt đường thẳng 1 1:
1 4 1
 
  

x y z tại 
hai điểm A, B với 16AB . 
Bài giải: 
Chọn    1;1;0 3; 2;1    

M IM . Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là  1; 4;1  
u . 
Ta có:    
,
, 2;4;14 d , 2 3



 
        
  

IM u
IM u I
u
. 
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết :  
22
d , 2 19.
4
     
ABR I 
Vậy (S):      2 2 22 3 1 76     x y z . 
Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng    : 5 4 6 0, : 2 7 0       P x y z Q x y z và đường thẳng 
1 1:
7 3 2
 
  

x y z . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và  sao cho (Q) cắt (S) 
theo một hình tròn có diện tích là 20 . 
Bài giải: 
Ta có 
1 7
: 3
1 2
 

 
  
x t
y t
z t
 . Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: 
1 7 (1)
3 (2)
1 2 (3)
5 4 6 0 (4)
 
 

 
    
x t
y t
z t
x y z
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:        5 1 7 4 3 1 2 6 0 0 1;0;1        t t t t I . 
Ta có :    5 6, 3d I Q  . 
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: 220 2 5.   r r 
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.2 – Phương trình mặt cầu 6 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm. 
Theo giả thiết:   
2 2 330, .
3
R d I Q r     Vậy (S) :    
2 22 1101 1
3
    x y z . 
Bài tập 8: Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 2 0   P x y z và đường thẳng : 2 1
2
 

 
  
x t
d y t
z t
. 
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P) theo giao 
tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3. 
Bài giải: 
Gọi  ; 2 1; 2 :   I t t t d là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S). 
Theo giả thiết :   
2 2; 4 9 13      R d I P r . 
Mặt khác:   
1
2 2 1 2 4 2 6; 2 2 6 5 6
114 1 4
6
      
       
    

tt t t
d I P t
t
* Với 1
6
t : Tâm 1
1 2 13; ;
6 3 6
   
 
I , suy ra  
2 2 2
1
1 2 13: 13
6 3 6
               
     
S x y z . 
* Với 11
6
 t : Tâm 2
11 2 1; ;
6 3 6
  
 
I , suy ra  
2 2 2
2
11 2 1: 13
6 3 6
               
     
S x y z . 
Bài tập 9: Cho điểm  1;0;3I và đường thẳng 1 1 1:
2 1 2
  
 
x y zd . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm 
I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho IAB vuông tại I. 
Bài giải: 
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương  2;1;2u và  1; 1;1 P d . 
Ta có:  0; 1; 2  

IP  , 0; 4; 2     
u IP . Suy ra:  
, 20d ;
3
 
  


u IP
I d
u
. 
Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, IAB vuông tại I 
 2 2 2 2
1 1 1 2 402 2d ,
3
       R IH I d
IH IA IB R
Vậy (S) :    2 22 401 3
9
    x y z . 
Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): 2 2 2 4 4 4 0     x y z x y z và điểm  4;4;0A . Viết 
phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. 
Bài giải : 
 (S) có tâm  2;2;2 ,I bán kính 2 3R . Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S). 
Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp / 4 2
3 3
 
OAR . 
Khoảng cách :     22 / 2;
3
d I P R R   . 
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.2 – Phương trình mặt cầu 7 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng :    2 2 20 0 *     ax by cz a b c 
Do (P) đi qua A, suy ra: 4 4 0    a b b a . 
Lúc đó:     
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2d ;
32 2
 
   
   
a b c c c
I P
a b c a c a c
2 2 22 3
1

      
c a
a c c
c
. Theo (*), suy ra   : 0  P x y z hoặc 0.  x y z 
Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian. 
 Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C). 
 Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P). 
 Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P). 
 Bước 3: Gọi r là bán kính của (C):   
22 ; r R d I P     
Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu 2 2 2( ) : 2 3 0    S x y z x cắt mặt phẳng (P): 2 0 x theo 
giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C). 
Bài giải : 
* Mặt cầu (S) có tâm  1;0;0I và bán kính 2R . 
Ta có :   d , 1 2   I P R mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. (đ.p.C. m) 
* Đường thẳng d qua  1;0;0I và vuông góc với (P) nên nhận  1;0;0Pn làm 1 vectơ chỉ phương, 
có phương trình 
1
: 0
0
 


 
x t
d y
z
. 
+ Tọa độ tâm /I đường tròn là nghiệm của hệ :  /
1
2
0
0 2;0;0
0
0
2 0
 
  
   
    
x t
x
y
y I
z
z
x
. 
+ Ta có:   , 1d I P  . Gọi r là bán kính của (C), ta có :   
22 , 3.r R d I P     
Dạng 2 : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC 
Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc: 
 + Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S)   ; .d I R  
 + Mặt phẳng ( ) là tiếp diện của (S)     ; .d I R  
 * Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao. 
Bài tập 1: Cho đường thẳng   1 2:
2 1 1
 
  

x y z và và mặt cầu  S : 2 2 2 2 4 1 0     x y z x z . Số 
điểm chung của   và  S là : 
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 
Bài giải: 
Đường thẳng   đi qua  0;1;2M và có một vectơ chỉ phương là  2;1; 1 

u 
Mặt cầu  S có tâm  1;0; 2I  và bán kính 2.R  
Ta có  1; 1; 4  

MI và  , 5;7; 3     
 
u MI  
, 498,
6
 
    
 

u MI
d I
u
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.2 – Phương trình mặt cầu 8 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
Vì  , d I R nên   không cắt mặt cầu  .S 
Lựa chọn đáp án A. 
Bài tập 2: Cho điểm  1; 2;3I . Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là: 
A.      2 2 21 2 3 10.    x y z B.      2 2 21 2 3 10.    x y z 
C.      2 2 21 2 3 10.    x y z D.      2 2 21 2 3 9.    x y z 
Bài giải: 
Gọi M là hình chiếu của  1; 2;3I lên Oy, ta có :
 0; 2;0M  . 
   1;0; 3 , 10      

IM R d I Oy IM là bán kính mặt cầu cần tìm. 
Phương trình mặt cầu là :      2 2 21 2 3 10.    x y z 
Lựa chọn đáp án B. 
Bài tập 3: Cho điểm  1; 2;3I và đường thẳng d có phương trình 1 2 3
2 1 1
  
 

x y z
. Phương trình mặt 
cầu tâm I, tiếp xúc với d là: 
A.      2 2 21 2 3 50.     x y z B.      2 2 21 2 3 5 2.     x y z 
C.      2 2 21 2 3 5 2.     x y z D.      2 2 21 2 3 50.     x y z 
Bài giải: 
Đường thẳng  d đi qua  1;2; 3 I và có VTCP  2;1; 1 

u  
,
, 5 2
 
   
 

u AM
d A d
u
Phương trình mặt cầu là :      2 2 21 2 3 50.    x y z 
Lựa chọn đáp án D. 
Bài tập 4: Mặt cầu  S tâm  2; 3; 1I  cắt đường thẳng 11 25:
2 1 2
 
 

x y zd tại 2 điểm A, B sao cho 
16AB có phương trình là: 
A.      2 2 22 3 1 17.     x y z B.      2 2 22 3 1 289.     x y z 
C.      2 2 22 3 1 289.     x y z D.      2 2 22 3 1 280.     x y z 
Bài giải: 
Đường thẳng đi qua  11; 0; 25M và có vectơ chỉ phương 
 2;1; 2 

u . 
Gọi H là hình chiếu của I trên d . Ta có: 
 
,
, 15
 
   
 

u MI
IH d I AB
u
2
2 17
2
     
 
ABR IH . 
Vậy  S :      2 2 22 3 1 289.     x y z 
Lựa chọn đáp án C. 
Bài tập 5: Cho đường thẳng 5 7:
2 2 1
 
 

x y zd và điểm (4;1;6)I . Đường thẳng d cắt mặt cầu  S có 
tâm I, tại hai điểm A, B sao cho 6AB . Phương trình của mặt cầu  S là: 
A.      2 2 24 1 6 18.     x y z B.      2 2 24 1 6 18.     x y z 
C.      2 2 24 1 6 9.     x y z D.      2 2 24 1 6 16.     x y z 
Bài giải : 
Đường thẳng d đi qua ( 5;7;0)M và có vectơ chỉ phương 
I
BA d
R
H
I
R
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.2 – Phương trình mặt cầu 9 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
(2; 2;1) u . Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có : 
 
,
, 3
 
   
 

u MI
IH d I AB
u
2
2 18
2
     
 
ABR IH 
Vậy  S :      2 2 24 1 6 18.     x y z 
Lựa chọn đáp án A. 
Bài tập 8: Cho điểm  1;0;0I và đường thẳng 1 1 2:
1 2 1
  
 
x y zd . Phương trình mặt cầu  S có tâm I 
và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là: 
A.  2 2 2 201 .
3
   x y z B.  2 2 2 201 .
3
   x y z 
C.  2 2 2 161 .
4
   x y z D.  2 2 2 51 .
3
   x y z 
Bài giải: 
Đường thẳng   đi qua  1;1; 2 M và có vectơ chỉ 
phương  1;2;1

u 
Ta có  0; 1;2 

MI và  , 5; 2; 1     
 
u MI
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có : 
 
,
, 5
 
   
 

u MI
IH d I AB
u
. 
Xét tam giác IAB, có 3 2 2 15.
2 33
   
IHIH R R 
Vậy phương trình mặt cầu là:  2 2 2 201 .
3
   x y z 
Lựa chọn đáp án A. 
Bài tập 9: Cho mặt cầu 2 2 2( ) : 4 2 6 5 0      S x y z x y z . Viết phương trình tiếp tuyến của mặt cầu 
(S) qua  0;0;5A biết: 
 a) Tiếp tuyến có một vectơ chỉ phương  1;2;2u . 
 b) Vuông góc với mặt phẳng (P) : 3 2 2 3 0.   x y z 
Bài giải: 
a) Đường thẳng d qua  0;0;5A và có một vectơ chỉ phương  1;2;2u , có phương trình d: 2
5 2



  
x t
y t
z t
. 
b) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là  3; 2;2 Pn . 
Đường thẳng d qua  0;0;5A và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có một vectơ chỉ phương 
 3; 2;2 Pn , có phương trình d: 
3
2
2 5
x t
y t
z t


 
  
. 
I
BA d
R
H
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chuyên đề 8.2 – Phương trình mặt cầu 10 | T H B T N 
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com Mã số tài liệu: BTN-CD8 
Bài tập 10: Cho 2 2 2( ) : 6 6 2 3 0      S x y z x y z và hai đường thẳng 1
1 1 1: ; 
3 2 2
  
  
x y z 
2
1 2 : 
2 2 1
 
  
x y z . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 1 và 2 đồng thời tiếp xúc với 
(S). 
Bài giải: 
Mặt cầu (S) có tâm  3;3; 1 , 4 I R . 
Ta có: 1 có một vectơ chỉ phương là  1 3;2;2
u . 
 2 có một vectơ chỉ phương là  2 2;2;1
u . 
Gọi n là một vectơ pháp của mặt phẳng (P). 
Do: 1 1
2 2
( ) / /
( ) / /
  
  
  
 
 
P n u
P n u
 chọn    1 2, 2; 1;2   
  n u u 
Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng : 2 2 0    x y z m . 
Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)  
5
;( ) 4
3

   
m
d I P R
7
5 12
17

      
m
m
m
. 
Kết luận: Vậy tồn tại 2 mặt phẳng là : 2 2 7 0, 2 2 17 0         x y z x y z . 
Bài tập 11: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu   2 2 2: 2 4 6 5 0      S x y z x y z , biết tiếp 
diện: 
 a) qua  1;1;1M . 
 b) song song với mặt