Hệ phương trình & các phương pháp giải

 p n n p n p p n 2 
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 1 
 – C 2015 - 2016 
 2: P ) 
 p n n p n p p n 2 
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 2 
 n p p đặt ẩn phụ 
 n p p đặt ẩn phụ là 1 trong những phương pháp khá mạnh để giải hệ phương trình. Từ 1 hệ khá 
phức tạp nhưng chỉ sau 1 vài bước đặt ẩn phụ sẽ đưa về các dạng hệ cơ bản mà ta có thể dễ dàng giải. 
Thông thường khi thấy cả 2 phương trình của hệ có những cụm hạng tử phức tạp giống nhau thì ta đặt nó 
làm ẩn phụ. Xong với xu hướng câu hệ phương trình hiện nay trong các đề thi thì HPT thường là câu lấy 
8 - 9 điểm nên người ra đề cố tình ẩn đi các dấu đặt ẩn phụ để làm bài toán trở nên khó khăn hơn. Bởi vậy 
khi đặt ẩn phụ thì việc quan trọng đó là học sinh phải nhanh trí phát hiện ra ẩn phụ : u=f(x;y) và v=g(x;y) 
trong hai phương trình của hệ , hoặc sau khi biến đổi để phát hiện ra u và v. 
Thông thường phép biến đổi xoay quanh việc cộng , trừ hai phương trình hoặc chia các vế phương trình 
cho một số hạng khác không như 2 2, , , , ...x y xy x y để tìm ra những phần chung mà sau đó ta đặt ẩn phụ với 
các dạng cụ thể sau 
1. Đặt biểu thức đứng độc lập, phức tạp làm ẩn phụ 
2. Sử dụng các kĩ năng nhóm, tách, thêm, bớt đặt ẩn phụ 
3. Sử dụng phép chia làm xuất hiện đại lượng đặt ẩn phụ 
4. Đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu 
 o n n n 
Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan 
 p n n p n p p n 2 
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 3 
1. Đặt biểu thứ đứn độc lập, phức tạp làm ẩn phụ 
Bài 1. Giải hệ phương trình 












232
13
1
1
32
1
3
yx
yx
yx
yx
H ớng dẫn 
Đặt u = x+3y+1, v = yx 32  hệ đã cho trở thành 

















2
1
0)
1
1)((
2
1
2
1
v
u
uv
vu
v
u
v
u
Suy ra u = 1,v = 1 nên nghiệm của hệ là: (x; y) = (1;
3
1
 ) 
Bài 2. Giải hệ phương trình sau 
2 2 2 2
3 2
2 5 3 4 5 3
x xy y x y
x y
x xy x xy x
   
  


    
H ớng dẫn 
Nhận xét:Trong bài này có nhiều hơn 2 biểu thức phức tạp vả lại xét thấy x+y có thể biểu diễn theo 2 
căn thức ở phương trình thứ nhất nên ta nghĩ đến việc chọn ẩn phụ là 2 căn thức ấy để tìm được mối 
liên hệ giữa 2 ẩn thế vào phương trình thứ 2 và tìm ra nghiệm 
Đặt 
2
2
( )
3
( ) 2
2
x y xy
u
x y xy
v
  



 


, điều kiện : 0, 0u v  
Khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành : 
2 2 2
2 2
( ) 6 2
5 2 3 0
( )(5 3 ) 0
u v u v
u uv v
u v u v
u v
  
   
   
 
Với u v , ta được : 
2 2
2( ) ( ) 2 ( ) 0
3 2
x y xy x y xy
x y y x
   
      
Thế y x vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được : 
2 22 5 3 4 5 3x x x x x     
Đặt 22 5 3u x x   , điều kiện 0u  
Khi đó ta được hệ phương trình sau 
2 2
2
2 5 3
4 5 3
u x x
xu x x
   

  
Suy ra : 
2 2
25
32 2
u xx x
u
u x
   
            
 p n n p n p p n 2 
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 4 
Với 2u x , ta được 3y x  
Với 3u x  , ta được 
5 109
14
y x

  
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm 
5 109 5 109
( ; ) ; ,(3;3)
14 14
x y
  
   
 
 Bài 3: Giải hệ phương trình 
 
2
2 2
( ) 1 (1)
3 2 2 3 1 0(2)
x y y y x y x xy y
x y x x y y
       

     
H ớng dẫn 
ĐKXĐ 1x y  
Đặt ; ( , 0)x y a y b a b    2 2x a b   
(1) Trở thành: 
2 2 2 2
2
1
( ) 1 ( )
( 1) ( 1)(a b 1) 0
(a b 1)(ab a b 1) 0
1 0( 1 0)
( 1)( 1) 0
1
1
a b ab a b ab
ab a b a b ab
ab a b a b
ab a b a b
a b
a
b
    
     
        
      
       
   

  
Đặt 21 1y t y t     thế vào (2) 
2 2 2
2 2
( 1) 3 2 (2 3 ) 0
( 1) 3( 1) 2 0
( 1 1) 1( 1) 1
( 1) 2 ( 1 1) 2
x t x x x t
x t t x
x yx t
x t x y
     
     
    
         
*
1 1 1 1 1
1 1 1 0
1 0( 1 1) 1
a x y x y x
y y
yx y
          
 
     
 
    
(vô lý) 
*
1 1 1 2(y 1)
2
1 1 1
1
( 1 1) 2
a x y x y
x
y
y
x y
         
 
    

  
* 1 1b y   thay vào (2) ta được 2
1
3 2 0
2
x
x x
x

     
(x,y)=(1,1);(1,2) (thỏa mãn ĐKXĐ) 
Nhận xét: Hệ phương trình này đặc biệt ở chỗ cần đặt nhiều hơn 2 ẩn phụ vì 2 phương trình 
không có biểu thức phức tạp chung. Trong các trường hợp như vậy, ta có thể cách đặt thêm 1 ẩn 
phụ nữa để tìm mối liên hệ đơn giản hơn giữa 2 ẩn thay vì chỉ sử dụng mối quan hệ được tìm ra ở 
(1) thay vào (2) vì việc tìm nghiệm hơi khó khăn 
 p n n p n p p n 2 
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 5 
Bài 4: Giải hệ phương trình sau 
2
3
12 (12 ) 12(1)
8 1 2 2(2)
x y y x
x x y
    

   
-- Đ k ối A-2014 
H ớng dẫn 
ĐKXĐ 2 3 2 3;2 12x y     
Đặt 212 ( 0) 12y t t y t      (1) trở thành: 
 
 
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
(12 )(12 ) 12
144 12 12
12
144 12 144 24
12
0 2 3
12( ) 0
xt x t
x t x t xt
xt
x t x t xt x t
xt
x t
x t
   
     

 
     

    
 
212 12x y y x      thế vào (2) ta có: 
3 2
3 2
2
2
2
2
2
8 1 2 10
( 9 ) (x 3) 2(1 10 ) 0
9
( 3)( 3) ( 3) 2 0
1 10
2 6
( 3) 3 1 0
1 10
3( 0) 12 3
x x x
x x x
x
x x x x
x
x
x x x
x
x x y x
   
       

      
 
 
      
  
      
x =y =3(thỏa mãn ĐKXĐ) 
Nhận xét :việc đặt ẩn phụ như trên làm cho phương trình (1) trở nên đối xứng và dễ chịu hơn. 
Trong một số hệ chúng ta có thể không phải đặt ẩn phụ hoàn toàn (bài toán này cũng có thể sử 
dụng phương pháp đánh giá) 
Bài 5:Giải hệ phương trình sau 
  2 2
2
4 2 2
4 5 2 1(2)
x y x x y x
x y x
     

    
H ớng dẫn 
Đặt 2 2 ( 0)t x y t  
2 2
2
t x
y

  phương trình (1) trở thành: 
 
 
  
  
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2
2 ( 2)
2 2 0
4 2 2 0
2 2 1 0
22 0
2 1 0
1 0 1 2
x t x x t x
x t xt x t
x t t xt x t
x t x t t
x x yx t
x t x t
x t x x y
    
     
      
     
    
             
 p n n p n p p n 2 
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 6 
* 2 2x x y   0; 0y x   thay vào (2) ta được: 
2
1
2
4 5 2 1 ...
3
2
x
x x
x


     
 

(vô nghiệm) 
*
21 2
1
2 1 2
x x y
x
x y
  
 
 
 
thay vào(2) 
2
2
2 1
4 5 2 1
2
2 4 5 2 1
....
3
2
2
x
x x
x x
x
y

   
   

 
  
Bài 6: Giải hệ phương trình sau 
   
 2 2 2
3
2 1 2 1
3
1 2 4 2
x
x x y
y
x
y x y x
y

   



   


H ớng dẫn: 
ĐKXĐ 
3
0;1 0
x
y
y
   
Đặt  
3
1 0
x
t t
y
   
 
   
2
2 2 22 2
2 2 2 ( 2) t 4 2
2 22 2
x t x y x x x xy
y t y t xt xy t y x x
       
 
      
   
2 2 2 2
2 2 2 2
4 2
4 2 0
y t y t x xy
y t x y t xy
   
    
    
  
2 2 2 0
2 2 0
yt x yt x y yt x
yt x yt x y
     
    
2
1 3 0
2 0
2 3 2 11 1
x x x
y yyt x xy
yt y x x x yx x
yy y
 
                 

Giải ra được (x,y)=(0;2);(4;4) 
2. Sử dụn kĩ năn n óm, , m, bớt đặt ẩn phụ 
Bài 1. Giải hệ phương trình 
3 2
4 3 2 2
1 0
1
x y x xy
x x y x y
    

  
 p n n p n p p n 2 
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 7 
H ớng dẫn 
Phân tích: trong bài toán trên ta có thể dễ dàng nhìn thấy sự xuất hiện rõ ràng của cách đặt ẩn phụ khi 
mà cả 2 phần của hệ có quá nhiều điểm chung. Có 
Ta sẽ dùng phương pháp đặt ẩn phụ khi mà các thành phần của hệ phương trình có những điểm chung là 
những tổng hoặc tích phức tạp. Nó giúp ta nhìn nhận vấn đề một cách thoáng hơn và dễ dàng nhìn ra 
hương giải quyết hơn nhiều. 
Đưa hệ về dạng:
 
3
2 3
( ) 1
1
x y x y x
x y x x y
    

    
 Đặt u = x3y, v = x(y – x) 
Giải hệ được 
0 1
1 0
u x
v y
   
 
   
3
2
u
v
 


 (vô nghiệm) 
Vậy hệ phương trình có nghiệm: 
1
0
x
y
 


Bài 2. Giải hệ phương trình 
2 2 3 3
4
( )( ) 280
x y
x y x y
 

  
H ớng dẫn 
Phân tích: ngoài hướng giải trên , ta còn có 1 cách làm khác khá tự nhiên đó là thay x=4-y vào 
phương trình số 2. Sau đó giải phương trình bậc 4. Phương trình này cũng khá đơn giản và ta cũng 
có thể dễ dàng nhẩm ra nghiệm. Tuy nhiên cái hay của cách làm ẩn phụ như trên đó là ta có thể giải 
quyết được với cả số lẻ một cánh dễ dàng hơn rất nhiều. 
Hệ phương trình 
2 3
4
( ) 2 ( ) 3 ( ) 280
x y
x y xy x y xy x y
 
 
           
Đặt 2( 4 )
.
x y S
S P
x y P
 


Ta có hệ: 
2 3
4
( 2 )( 3 ) 280
S
S P S PS


  
Thế S = 4 vào phương trình dưới ta có: 2(8 )(16 3 ) 35 128 24 16 3 35P P P P P        
 
2
3
3 40 93 0 31
3
P
P P
P L

    
 

Với 
4 1; 3
3; 4
. 3 3; 1
x y x y
P S
x y x y
    
    
   
Đáp số: ( ; ) (1;3), (3;1)x y  
Bài 3. Giải hệ phương trình 
3 2 2 3
2 2
(1 ) (2 ) 30 0
(1 ) 11 0
x y y x y y xy
x y x y y x
      

     
(I) 
H ớng dẫn 
 p n n p n p p n 2 
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 8 
Cách 1 
3 3 2 2 2 2 3 3
2 2
2 30 0
( )
11 0
x y x y x y x y xy
I
x y x xy xy y
      
 
     
2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 30 0
( ) ( ) 11 0
xy x y x y x y x y
xy x y x y xy
      
 
     
Đặt 2 2 2 2
S x y
x y S P
P xy
 
   

2 2 2( 2 ) 2 30 0 (1)
( ) 11
11 0 (2)
1
P S P P S P
I P
PS S P S
P
     

  
     
 
Thế vào phương trình 4 3 2(1), ó: 11 41 61 30 0ta c P P P P      
3 2
1 5
2 3
( 1)( 10 31 30) 0
3 2
5 1
P S
P S
P P P P
P S
P S
  
   
       
   

  
Thế các trường hợp tương ứng của S, P. 
Ta được nghiệm của hệ là: 
5 21 5 21 5 21 5 21
; , ; , (1;2), (2;1)
2 2 2 2
      
      
   
Cách 2 
 Đặt : 2; ( 4 )a x y b xy a b    
( ) 30
11
ab a b
ab a b
 

  
Đặt 2; ( 4 )ab t a b k k t    
(1;2)
(2;1)5 3
5 21 5 2130 6 2
;
2 211 6 5
5 1 5 21 5 21
;
2 2
x
yk a
tk t b
x
t k k x
t y
y
 
       
                                  
                    
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm : 
5 21 5 21 5 21 5 21
( ; ) (1;2); (2;1); ; ; ;
2 2 2 2
x y
      
       
   
Nhận xét: trong bài toán trên việc đặt ẩn phụ thật sự đã giúp ích cho ta rất nhiều. Hãy nhìn vào đáp 
số của bài toán có xuất hiện những giá trị mà việc nhẩm nghiệm (x;y) của hệ ngay gần như là không 
thể. Như đã nói ở trên, với cách đặt ẩn cho xy và x+y như trên ta hoàn toàn có thể thấy rõ các hệ số 
tự do không quá quan trọng, thậm chí bạn còn có thể thay nó bằng một biểu thức phức tạp theo tham 
số để tung hỏa mù. Và khi ấy bài toán thật sư sẽ khiến nhiều người phải chùn bước.
 p n n p n p p n 2 
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 9 
Bài 4. Giải hệ phương trình 
2 2
2( ) 7
( 2 ) 2 10
x y x y
y y x x
   
  



H ớng dẫn 
Hệ 
2 2
2( ) 7
( 2 ) 2 10
x y x y
y y x x
   
  



2 2
2 2
( 1) ( 1) 9
( ) ( 1) 9
x y
y x x
   

   



. 
Đặt 1, 1a x b y b a y x        ta được hệ 
2 2
2 2
9
( ) 9
a b
b a a
 
  



2 2 2 2 2( ) 2 0a b b a a a ab a          hoặc 2a b  
- Với 0 3 1, 2a b x y        hoặc 1, 4x y    
- Với 
2 3 6
2 5 9
5 5
a b b b a         
6 3
1 , 1
5 5
x y       hoặc 
6 3
1 , 1
5 5
x y      
Bài 5. Giải hệ phương trình 
3
1 1 4
x y xy
x y
  
   



H ớng dẫn 
ĐK 1, 1, 0x y xy     
Hệ 
3 3
2 2 ( 1)( 1) 16 2 1 14
x y xy x y xy
x y x y x y x y xy
     
 
           
  
 
  
Đặt ,x y a xy b   . 2 22, 0, 4a b a b    ta được hệ pt 
22 2
3 3 3
3 26 105 02 1 14 2 4 11
a b a b a b
b ba a b b b b
        
   
            
3 3
6 3
b x
a y
 
 
 
 
 
 
 (thỏa mãn đk) 
Bài 6. Giải hệ phương trình:  
2 2
2
5
8( ) 4 13
( )
1
2 1
x y xy
x y
I
x
x y

    

  
 
H ớng dẫn 
Phân tích: đây thật sự là một bài toán khồng hề dễ. hãy đặt mình vào hoàn cảnh mà bạn gặp bài toán này 
khi chưa biết tới pp đặt ẩn phụ. Mấu chốt của bài toán này là nhìn ra 
 p n n p n p p n 2 
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 10 
Bài toán trở nên khá đơn giản sau khi ta đã có thể xác định được ẩn phụ. Tuy nhiên tôi muốn nói về cách 
nghĩ ra chúng. Việc xuất hiên đã khiến ta nghĩ tới việc tạo ra bình phương tổng. Tuy 
nhiên hệ số 5 của hạng tử 
 giúp các phân tích thành tổng và hiệu bình phương một cách tự nhiên. 
ĐK 0x y  
2 2
2
1
5 ( ) 3( ) 13
( )
( )
1
( ) 1
x y x y
x y
I
x y x y
x y
  
      
  
 
         
Đặt :  
 
22
2
1
, 2 1
2
a x y a
x y a x y
x y
b x y

   
     
  
 thay vào ta được hệ cơ bản. 
 2 2 5 95 2 3 13 ,
4 4
1 2, 1
a b a b
a b a b
       
 
     
 thay ngược lại ta sẽ tìm được nghiệm 
Bài 7. Giải hệ phương trình 
2
3 2 2
6 1 0 (1)
8 0 (2)
y x xy y
y x y x y x
     

   
Lời Gi i : 
Lấy (2) trừ (1) ta có : 
2 2
2
( 1) (3 1) (3)
(1) 6 1 0 (4)
xy y x y
y x xy y
   
     
Đặt : 
2u y x
v xy
  


Thay vào (3) và (4) ta có hệ: 
2
2
( 1) (3 1)
6 1
(6 2) (3 1)
6 1
v u y
u v y
v y v y
u y v
   

  
    
 
  
2 22(3 1) (3 1) 0
6 1
v y v y
u y v
     
 
  
2( 3 1) 0
6 1
v y
u y v
   
 
  
2
2 2
3 2 3
2 2
3 13 1 (3 ) 3 1
3 3 3
3 3 1 0 ( 1) 0 1
23 3
xy yv y y y y y
u y y x y x y y
y y y y y
xx y y x y y
       
    
      
        
    
      
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm là : ( ; ) (2;1)x y  
 p n n p n p p n 2 
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 11 
Nhận xét: 
* Bài này thật sự là 1 thử thách khó khăn với bất kì người nào lúc mới làm theo phương pháp đặt ẩn phụ. 
Điều đặc biệt của bài này đó là VP của cả (1) và (2) đều bằng 0. Đây là một dấu hiệu khá phổ biến và 
thường ta sẽ phải nhân (1) với 1 hằng số nào đó sau đó cộng hoặc trừ cho 2 để tạo thành nhân tử. Trong 
trường hợp này thì rất may mắn cho ta là hệ số tự do cần nhân đó là 1. Do dó ta sẽ trừ hoặc cộng chúng 
lại. trong trường hợp này thì việc trừ giúp ta giải quyết vấn đề 
* Điều đặc biệt thứ 2 trong bài toán này đó là việc đặt ẩn không hoàn toàn. Đó là sau bước thay (3) vào 
(4). Lúc này ta đã coi y như là tham số việc làm như thế giúp ta xử lí đẹp bài toán hơn. Như đã nói ở trên 
việc đặt ẩn phụ giúp ta giải quyết tốt những bài toán với tham số, số bất kì dù cho kết quả không thật sự 
đẹp. việc coi y như là tham số cũng là 1 điều cần lưu ý khi giải toán. 
Bài 8. Giải hệ phương trình 
6 3 2 215 14 3(2 ) (1)
4 11 6 13 0 (2)
x y y y x
xy x y
     

   
Lời gi i 
Từ phương trình (1) ta có: 
6 3 2 2
6 2 3 2
15 14 3(2 )
3 6 15 14
x y y y x
x x y y y
    
     
Đặt    3 2 26 15 14 ' 3 12 15g y y y y g y y y        
 
     
3
'' 6 12 0 2
2 3 2
g y y y
g y y y
      
    
Đặt :
2 ( 0)
2
a x a
y b
  

 
Ta được: 
 
3 3
2 2
2 2
(1) 3 3
( )( ) 3( ) 0
( )( 3) 0
a a b b
a b a ab b a b
a b a ab b
   
      
      
Ta có : 
2 2
2 2 33 3 0, ,
2 4
b b
a ab b a a b
 
         
 
Do đó 
2(*) 0 2a b a b y x        
Thay 2 2y x  vào (2) ta được : 
2 2 3 2
2
2
4 ( 2) 11 6( 2) 15 0 4 6 3 1 0
( 1)(4 2 1) 0
4 2 1 0 ( )
1
x x x x x x x
x x x
x x VN
x
          
    
   
 
 
Với 1 1x y    thử lại ta thấy thỏa mãn hệ 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm : ( ; ) (1; 1)x y   
Bài 9. Giải hệ phương trình: 
4 2 2
2 2
4 4 2
2 6 23
x x y y
x y x y
    

  
 p n n p n p p n 2 
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 12 
Lời gi i 
Biến đổi hệ phương trình đưa về dạng : 
2 2 2
2 2
( 2) ( 2) 10
( 2) ( 2) 4( 2) 4( 2) 19
x y
x y x y
    

      
Đặt : 
2 2
( 2)
2
u x
u
v y
  

 
Ta có được : 
2 2 210 ( ) 2 10 (1)
4( ) 19 4( ) 19 (2)
u v u v uv
uv u v uv u v
     
 
      
Thay (2) vào (1) ta được : 
   
 
2
2
2 19 4( ) 10
8( ) 48 0
4 3
12 67
u v u v
u v u v
u v uv
u v uv
    
     
   
     
Xét tới điều kiện 2( ) 4u v uv  ta được : 
2
44
3 4 3 0
4
1 ( ) 3 ( )
3
1
v uu v
uv u u
v u
u loai hoac u thoa
u
v
   
 
    
 
 
  

 

Với 3; 1u v  ta được : 
2 12 3
32 1
xx
yy
    
 
  
Vậy hệ có nghiệm : ( ; ) (1;3); ( 1;3)x y   
Bài 10. Giải hệ phương trình 
2 2 2( ) 7
( 2 ) 2 10
x y x y
y y x x
    

  
HPT 
2 2
2 2
( 1) ( 1) 9
( ) ( 1) 9
x y
y x x
    
 
   
. 
Đặt 1, 1a x b y b a y x        ta được hệ 
2 2 2 2 2( ) 2 0a b b a a a ab a          hoặc 2a b  
Với 0 3 1, 2a b x y        hoặc 1, 4x y    
Với 2
3 6
2 5 9
5 5
a b b b a         
6 3
1 , 1
5 5
x y       hoặc 
6 3
1 , 1
5 5
x y      
 p n n p n p p n 2 
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 13 
Bài 11. (A – 2006) Giải hệ phương trình: 
3
1 1 4
x y xy
x y
   

   
ĐK 1, 1, 0x y xy     . Bình phương 2 vế của PT(2) ta được 
Hệ 
3 3
2 2 ( 1)( 1) 16 2 1 14
x y xy x y xy
x y x y x y x y xy
       
  
             
Đặt ,x y a xy b   . 2 22, 0, 4a b a b    
ta được hpt:
22 2
3 3 3
3 26 105 02 1 14 2 4 11
a b a b a b
b ba a b b b b
       
   
            
3 3
6 3
b x
a y
  
  
  
 (thỏa mãn đk) 
Bài 12. Giải hệ phương trình 
 
 
2 2
2 2
1 1
2 7 1
6 1
1 2
x y
x y
x y xy

   


   
 
ĐK , , 0x y x y  
PT (1)
22
1 1
2 2 2 7x y
x y
  
        
   
PT (2) 
1 1
6 ( ) 6
x y
x y x y
xy x y
   
            
   
Đặt 
1 1
,a x b y
x y
    
Ta có hệ trở thành: 
2 2
6 3
32 2 2 7
a b a
ba b
    
 
     
Thay vào ta tìm được 
3 5
2
x y
 
  
3. Sử dụng phép chia làm xu t hi n đạ l ợn đặt ẩn phụ 
Bài 1. Giải hệ phương trình 
2
2
1 ( ) 4 (1)
( 1)( 2) (2)
x y y x y
x y x y
    

   
Lời giải 
Ta thấy y = 0 không thoả mãn phương trình (1) nên hệ phương trình tương đương với 
2
2
1
4
1
( 2) 1
x
y x
y
x
y x
y
 
  


   

 p n n p n p p n 2 
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 14 
Đặt 
2 1
,
x
u
y

 2v y x   ta có hệ 
2
( 1; 1)
1
u v
u v
uv
 
  

Ta có hệ 
2 ( 1; 2)1
( 2; 5)1
x yx y
x yx y
    
 
    
Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm trên. 
Bài 2. Giải hệ phương trình 
3 3 3
2 2
1 19
6
x y x
y xy x
H ớng dẫn 
Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm nên 
HPT
3
3
3
2
2
1 11
3 1919
1
6 6
y
y yy
x x xx
y y y
y
x x x x
3 3 19 1
,
. 6
a ab y
a y b
x xa b
Bài 3. Giải hệ phương trình 
3 3
2 2
9 3 1 125 0
45 75 6
y x
x y x y
H ớng dẫn 
Nhận thấy y=0 không phải là nghiệm của hệ nên: 
HPT
3
3 3
3
2
2
125 5
27 9 0 3 9
3 5 5 515 6 3 . 3 6
x x
y y
x x
x x
y y y y
3 3 9
. 6
a b
a