Hai mươi bài toán giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
Biên soạn: Tôn Thất Hiệp facebook.com/mathvncom 1 
VỀ HAI MƯƠI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT 
Tôn Thất Hiệp, GV THPT Phan Đăng Lưu, Phú Vang, Thừa Thiên Huế. 
 Đi cùng với lời giải của hai mươi bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài viết này, 
chúng tôi đề xuất thêm một số bài toán mới, đồng thời mỗi bài đề xuất đều có đáp số và lời giải 
chi tiết ở đằng sau bài viết. Ngoài ra, chúng tôi đưa ra một số kỹ thuật phân tích bình phương; kỹ 
thuật biến đổi biểu thức hai biến, ba biến; tư tưởng hàm số trong một số lời giải bài toán bất đẳng 
thức. 
 Bài toán 1: 
 Cho x là số thực. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 
( )
( ) ( )
2
2 2
3 2 2 1 1 1
3 2 3 3 3 2 3 3 3
x x
P
x x x x
+ +
= + +
+ + + + − +
 (Câu 10, đề minh họa môn 
toán của Bộ GD & ĐT năm 2015) 
 Cách giải 1: 
 Áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Cauchy cho hai số dương ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 12 3 3 3 2 3 3 3 . 2 2
2 3 3 3 2 3 3 3
x x x x
x x x x
 
    + + + + + − + + ≥    
+ + + + − +  
. 
Suy ra ( ) ( ) 2 22 2
1 1 2 2 2
4 6 6 2 3 32 3 3 3 2 3 3 3 x x x xx x x x
+ ≥ =
+ + + ++ + + + − +
, đẳng thức xảy 
ra khi và chỉ khi ( ) ( )2 22 3 3 3 2 3 3 3 0x x x x x+ + + = + − + ⇔ = . Suy ra 
( )2
2
3 2 2 1 2 ( ),
3 2 3 3
x x
P f x x
x x
+ +
≥ + = ∈
+ +
ℝ . 
 1) Ta tìm các hằng số m, n, p và điều kiện của x sao cho www.mathvn.com 
2
23(2 2 1) 2 3 3
3 3
m x x p
n x x
+ +
+ ≥ + + (1), đồng thời đẳng thức xảy ra khi x = 0 là nghiệm kép. 
Và ta tìm được m = 1 thì p = 1 và 2
3
n = . Lúc này, (1) trở thành 
( )2 2 2 23(2 2 1) 1 2 2 3 3 6 12 0 3 21 3 213 33
x x
x x x x x x x
+ +
+ ≥ + + ⇔ + − ≤ ⇔ − − ≤ ≤ − + . 
 Suy ra 2
2
2 2 1 4 1( ) 2 3 3 3
3 3 3 32 3 3
f x x x
x x
≥ + + + − ≥ − =
+ +
, (Áp dụng BĐT Cauchy 
cho hai số dương), suy ra 3, 3 21 ; 3 21P x x ≥ ∀ ∈ − − − +  (2), đẳng thức xảy ra khi và chỉ 
khi x = 0. 
 2) Với 13 21
2
x
−
< − − < thì 
( ) ( )22 3 2 3 21 2 3 21 13(2 2 1) 165 30 21 5,7 3
3 3 3
x x
 
− − + − − +
 + + + 
> = > > 
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
Biên soạn: Tôn Thất Hiệp facebook.com/mathvncom 2 
, suy ra 3P > (3). 
 3) Với 13 21
2
x > − + > − thì 
( ) ( )23 2 3 21 2 3 21 1 165 30 21 1,74 3
3 3
 
− + + − + +
 
− 
> > > , suy ra 3P > (4). 
 Từ (2), (3) và (4) suy ra 3,P x≥ ∀ ∈ℝ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0. 
 Vậy minP= 3 . 
 Cách giải 2: 
 Theo chứng minh của cách 1, ta có: 
( ) ( ) 22 2
1 1 2 2
4 6 62 3 3 3 2 3 3 3 x xx x x x
+ ≥
+ ++ + + + − +
 Mặt khác 
2 23(2 2 1) 4 6 3x x x x+ + ≥ + + , suy ra 
2
2
4 6 3 2 2
3 4 6 6
x xP
x x
+ +≥ +
+ +
. 
 Đặt 
2
2 3 15 154 6 6 4
4 4 4
u x x x
 
= + + = + + ≥ 
 
, ta có 
2
2
4 6 3 2 2 3 2 2 ( )
3 34 6 6
x x u f u
ux x
+ + −
+ = + =
+ +
, với 15
4
u ≥ , suy ra 
( )( )
( ) ( )
26 6 361 2( )
6 3 6 3 6 2 3
u u uf u
u u u u u u u u u
− + −
′ = − =
 
−
− + −
 
,
15( ) 0 6 ;
4
f u u  ′ = ⇔ = ∈ +∞  
. Lập 
bảng biến thiên (BBT) hàm số f(u), ta suy ra 15( ) (6) 3, ;
4
f u f u  ≥ = ∀ ∈ +∞  
, suy ra 3P ≥ , 
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0. 
 Vậy minP = 3 . 
 Cách giải 3: www.mathvn.com 
 Đặt ( )22 3 3 3a x x= + − + , ( )22 3 3 3b x x= + + + , ta có 
2 2
3 2 6 3 32
4 2 2
a x
   
− +
= + +      
   
và 
2 2
3 2 6 3 32
4 2 2
b x
   + −
= + +      
   
. 
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét hai véc tơ 3 2 6 3 32 ;
4 2 2
u x
 
− +
= − −  
 

, 
3 2 6 3 32 ;
4 2 2
v x
 + −
= +  
 

 thì 
2 2
6 3 3 3 3 6
2 2 2 2 2
a b u v u v
   + −
+ = + ≥ + = + + =      
   
   
. 
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
Biên soạn: Tôn Thất Hiệp facebook.com/mathvncom 3 
 Ta có 2 2 2 23(2 2 1) 4 6 3 3x x x x a b+ + ≥ + + = + − , suy ra 
( )2
2 2 33 1 1 42
3 3
a b
a bP
a b a b
+
−
+ −≥ + + ≥ +
+
(vì ( )
2
2 2 3
2
a b
a b
+
+ ≥ ≥ và 1 1 4
a b a b
+ ≥
+
 với mọi a, b dương), suy ra 
( ) 2 3 42
3
a b
P
a b
+
−
≥ +
+
. 
 Đặt t = a + b, với 6t ≥ , ta có 
( ) 2
23 4 6 42 ( )
3 3 2
a b
t f t
a b t
+
−
−
+ = + =
+
, suy ra 
( )( )
( )
2 4 2 2
22 2 2 3 2
12 12 124( )
3 2 12 3 2 12 12 2 12
t t ttf t
tt t t t t
− + −
′ = − =
−
− + −
,
2 3 ( ) 0
6 180
tf t
t
 =
′ = ⇔
 = − +
. 
 Lập BBT hàm số f(t), ta suy ra )( ) (2 3) 3, 6;f t f t ≥ = ∀ ∈ +∞ , suy ra 3P ≥ , đẳng thức 
xảy ra khi và chỉ khi x = 0. 
 Vậy minP = 3 . 
 Cách giải 4: (ý tưởng xuất phát từ cách giải 1 và cách giải 2) 
 Ta có 2 23(2 2 1) 4 6 3x x x x+ + ≥ + + và 
( ) ( ) 22 2
1 1 2 2
4 6 62 3 3 3 2 3 3 3 x xx x x x
+ ≥
+ ++ + + + − +
, 
suy ra 
2
2
4 6 3 2 2 ( ),
3 4 6 6
x xP f x x
x x
+ +≥ + = ∈
+ +
ℝ , suy ra 
( )
( )
( )( )
( ) ( )
4 2
2
2 3 3 32 2 2 2 2
3 3 94 3 4 6 16 54
4 4 162 2 4 34 3( )
3 4 6 3 4 6 6 3 4 6 3. 4 6 6 4 6 6 6 2 4 6 3
x x x x x
xxf x
x x x x x x x x x x x x
    
+ + + + + +    
   ++   
′ = − =
 + + + + + + + + + + + + +  
, suy ra 3 3( ) 0 0
4 2
f x x x x′ = ⇔ = − ∨ = ∨ = − . 
 Lập BBT hàm số f(x), ta suy ra ( ) (0) 3,f x f x≥ = ∀ ∈ℝ , suy ra 3P ≥ , đẳng thức xảy ra khi 
và chỉ khi x = 0. 
 Vậy minP = 3 . 
 Bài toán 2: www.mathvn.com 
 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn 2xy yz zx xyz+ + = . Hãy tìm GTNN của biểu thức 
2 2 2
1 1 13x y zP
y z x xy yz zx
 
= + + + + + 
 
. 
 Cách giải 1: 
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
Biên soạn: Tôn Thất Hiệp facebook.com/mathvncom 4 
 Theo giả thiết 1 1 12 2xy yz zx xyz
x y z
+ + = ⇔ + + = . Đặt 
1 1 1
, ,a b c
x y z
= = = , ta có a + b + c = 2 
và 
( )
2 2 2
3b c aP ab bc ca
a b c
= + + + + + . 
 Ta chứng minh bổ đề: Với a, b, c và a1, b1, c1 là sáu số dương ta luôn có 
( )22 2 2
1 1 1 1 1 1
a b ca b c
a b c a b c
+ +
+ + ≥
+ +
 (5). 
 Chứng minh: Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương ta có: 
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. . .
a b c
a a b b c c
a b c a b c a b ca b c a b c a b c
a b c a b c a b c
+ + ≤
+ + + + + +
+ + + + + +
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2
a b c
a a b b b c
a b c a b c a b ca b c a b c a b c
a b c a b c a b c
     
     
          + + +               + + + + + +          + + + + + +     
     ≤ + + =
Từ đó suy ra BĐT (5) đúng, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
1 1 1
a b c
a b c
= = . Áp dụng BĐT (5) ta 
có: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2
2 2 2 2 2 2
b c a a b cb c a
a b c ab bc ca ab bc ca
+ +
+ + = + + ≥
+ +
 (6) 
 Bây giờ ta chứng minh ( )( ) ( )2 2 2 2 2 23a b c a b c ab bc ca+ + + + ≥ + + (7). 
 Thậy vậy, ta có 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 2 3 2 3 2 2 2 2(7) 2 0a ac b ba c ca ab bc ca a a c b b a c c b⇔ + + + + + ≥ + + ⇔ − + − + − ≥ 
BĐT này luôn đúng với mọi a, b, c dương, nên BĐT (3) đúng, suy ra 
( )2 2 2 2 2 223 a b c ab bc ca+ + ≥ + + (4). Từ (6) và (7) suy ra 
( )
( )
( )22 2 2 2 2 22 2 2
2 2 2
3 3
22
a b c a b cb c a
a b c a b c
+ + + +
+ + ≥ =
+ +
, 
suy ra 
( ) ( ) ( )2 2 2 23 33 6
2 2
a b c
P ab bc ca a b c
+ +
≥ + + + = + + = , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
2
3
a b c= = = 
 Vậymin 6P = . 
 Cách giải 2: (phương pháp phân tích bình phương) www.mathvn.com 
 Ta có 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 213 ( )
2
b c a b c aP ab bc ca a b c a b c a b c a b a c c b
a b c a b c
   = + + + + + = + + + + + − + + + + + − − + − + − =    
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 212 4
2
b a c b a c
a b a c c b
a b c
  + + +  = + + − + − − + − + −      
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
Biên soạn: Tôn Thất Hiệp facebook.com/mathvncom 5 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 214 2 4
2
a b c b a c
a b a c c b
a b c
  
− − −   = + + + − + − − + − + −        
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 216
2
a b a c b b a c c
a b c
 
− − − − − −
= + + + 
  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 216
2
a b b c c b c a a c a b
a b c
 
− + − + − +
= + + + 
  
. 
Suy ra 6P ≥ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2
3
a b c= = = . 
 Vậymin 6P = . 
 Nhận xét 1: (về BĐT (5)) 
 Khi áp dụng BĐT (5) ta có thể điều chỉnh sao cho số mũ ở tử của vế lớn của BĐT (5) tăng dần 
cho đến khi ta được BĐT vừa đủ mạnh, trong việc tìm GTNN của một bài toán cụ thể nào đó. 
 Lưu ý: 
 a) Về biểu thức và phương pháp S.O.S (phương pháp phân tích bình phương) 
 1. Hàm phân thức đối xứng chuẩn, hàm phân thức nửa đối xứng ba biến: 
 a) Hàm phân thức đối xứng F(a, b, c) đối với ba biến a, b, c được gọi là hàm phân thức đối 
xứng chuẩn, nếu F(x,x,x) = 0 với mọi x. 
 b) Hàm phân thức đối xứng S(a, b, c) đối với ba biến a, b, c được gọi là hàm phân thức nửa đối 
xứng nếu S(a, b, c) = S(a, c, b) với mọi a, b, c. Hàm phân thức đối xứng S(a, b, c) đối với ba biến 
a, b, c được gọi là hàm phân thức nửa đối xứng chuẩn, nếu S(x,x,x) = 0 với mọi x. 
 2. Biểu thức dạng S.O.S 
 Ta công nhận các định lý và hệ quả dưới đây. www.mathvn.com 
 Định lý : (dạng biểu diễn S.O.S đối với lớp hàm đa thức) 
 Cho F(a, b, c) là hàm đa đối xứng chuẩn theo ba biến F(a, b, c) đối với ba biến a, b, c, khi đó ta 
có 
 F(a, b, c) = (b – c)2S(a, b, c) + (c – a)2S(b, c, a) + (a – b)2S(c; a; b) , , ,a b c R∀ ∈ 
 Hệ quả: (dạng biểu diễn S.O.S đối với hàm phân thức) 
 Cho hàm phân thức ( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
M a b c M b c a M c a bF a b c
N a b c N b c a N b c a
= + + với M(a, b, c), N(a, b, c) là 
hai đa thức nửa đối xứng ba biến và nếu có hàm đa thức đối xứng G(a, b, c) ba biến sao cho mọi 
số thực 
dương x thì số ( , , ) ( , , ) 0F x x x G x x x− = . Khi đó tồn tại hàm số đối xứng nửa ba biến S(a, b, c) 
sao cho đồng nhất thức sau là đúng: 
2 2 2M(a,b,c) M(b,c,a) M(c,a,b)+ + -G(a,b,c) = (b - c) S(a,b,c)+ (c - a) S(b, c, a)+ (a - b) S(c; a; b)
N(a,b,c) N(b,c,a) N(b,c,a) 
 b) Một số đẳng thức thường được sử dụng trong phân tích bình bình phương. 
2 2 22 ( )a b ab a b+ − = − , 
2( )2a a a b
b b ab
−
+ − = , ( )3 3 2( )( )a b ab a b a b a b+ − + = + − 
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
, ( ) a b c b a cb c a a b c
a b c a b c
− − −
+ + − + + = + + ,
( ) ( ) ( )( )
2
2 2
2 2
2
2
a b
a b a b
a b a b
−
+ − + =
+ + +
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
Biên soạn: Tôn Thất Hiệp facebook.com/mathvncom 6 
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 21
3 6
a b c
ab bc ca a b a c c b
+ +
 + + = − − + − + −
 
,
( ) ( ) ( )2 2 23 3 3 3
2
a b c
a b c abc a b a c c b+ +  + + − = − + − + −
 
,
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
2 2 2
3
2 2 2 2
a b b c c aa b c
b c c a a b c b c a a b a c b c b a
− − −
+ + − = + +
+ + + + + + + + +
, 
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2 22 2 2 2
41 1 8 a b a b ab
a b a b a b a b
− + +
+ − =
+ +
, ( )
( )
( ) ( )
2
2 22 2 2 2
1 2 a b
a b a b a b a b
− −
− =
+ + + +
, 
( )
( )
( ) ( )
2
3 23 3 3 3
31 4 a b
a b a b a b a b
− −
− =
+ + + +
, 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 22 2 2 2
3 33 3 3 3
4 21 1 16 a b a b ab a b a b a b ab
a b a b a b a b
 
− + + + + + +
 + − =
+ +
 c) Biểu thức P trong bài toán 1 là biểu đối xứng theo ba biến a, b, c, nên ta liên tưởng đến 
phương pháp phân tích bình phương, nếu các phương pháp khác hầu như không sử dụng được 
trong việc tìm giá trị GTLN hoặc GTNN của P. 
 Bài toán 3: 
 Cho các số thực a, b, c thỏa ( ) ( )( ) 0a b c b a c abc+ + + ≠ . Hãy tìm GTNN của biểu thức 
2 2 2
a b cQ
a b b c c a
     
= + +     + + +     
. 
 Cách giải 1:(phương pháp phân tích bình phương) 
 Ta có 
2 2 2 2 2 2
a b c a b cQ
a b b c c a a b b c c a
           
= + + ≥ + +                      + + + + + +           
. Từ đó ta có 
thể tìm min của biểu thức 
2 2 2
a b cQ
a b b c c a
     
= + +     + + +     
, với a, b, c là các số thực dương. 
 Không mất tính tổng quát ta giả sử { }ax ; ;a m a b c= Ta có 
( )
( )
( ) ( )
( )
( )2 22 2 2
2 2
3 1 1 1 2 2
4 4 4 4
a b a b b c b ca b cQ
a b b c c a a b b ca b b c
        
− − − −     
− = − + − + − = + + + +             + + + + +      + +                  
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( )
( )( )( )
2 2 2 2
2 2 2 2
12
4 2
c a c a a b b c c a a b b c a c
c a a b b c a cc a a b b c c a
   
− − − − − − − −
+ + = + + +   
+ + + ++ + + +      
. 
Suy ra 
( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )( )
2 2
2 2
3 1
4 2 2 24 4
b c c a b c c aa b a b b c a c a b a bQ
b c a c a b b c a c b c a c a ba b a b
− − − −
− − − − −
− 
− ≥ + + ≥ + − = + + + + + + + + + +
( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
2
24
b b c c aa b
a b b c a ca b
− −
−
= +
+ + ++
(áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm, 
( )( ) ( )( )b c a c b c a c− − ≥ − − − và 0a b≥ > ) suy ra 3 0
4
Q − ≥ hay 3
4
Q ≥ , với { }ax ; ;a m a b c= , 
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 
 Vậy 3min
4
Q = . 
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
Biên soạn: Tôn Thất Hiệp facebook.com/mathvncom 7 
 Cách giải 2: (phương pháp hàm số) 
 Ta có 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
a b cQ
a b b c c a b c a
a b c
     
= + + = + +     + + +           
+ + +     
     
. 
 Vì 1b c a
a b c
   
=   
   
, nên trong ba số dương bx
a
= ,
cy
b
= , 
a
z
c
= ắt phải có hai số (cùng lớn 
hơn hoặc bằng 1) hoặc (cùng nhỏ hơn hoặc bằng 1). 
 Không mất tinh tổng quát ta giả sử ( 1x ≥ và 1y ≥ ) hoặc ( 1x ≤ và 1y ≤ ). Ta có 
( ) ( ) ( )
22 2 2
2 2 2 2
1 1 (1 ) (1 ) 2(1 )(1 ) 2 2 1
1 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 1 1 1 1
x y x y
x y x y x y x y xy xy x y xy
  + + + + + 
+ = ≥ = = ≥  + + + + + + + + + + − − − +   
Suy ra 
22 2 2 21 1 1 1 1 1 ( )
1 1 1 1 1 1 1
zQ f z
x y z xy z z z
        
= + + ≥ + = + =        + + + + + + +        
, với z > 0. 
 Ta có ( ) ( ) ( )2 3 3
1 2 1( )
1 1 1
zf z
z z z
−
′ = − =
+ + +
, suy ra ( ) 0 1f z z′ = ⇔ = . Lập bảng biến thiên (BBT) 
hàm số f(z), ta suy ra ( )3( ) (1) , 0;
4
f z f z≥ = ∀ ∈ +∞ , suy ra 3
4
Q ≥ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ 
khi 1x y z= = = hay a b c= = . 
 Vậy 3min
4
Q = . 
 Bài toán 4: 
 Cho a, b, c là các số thực thỏa a2 + b2 + c2 = 3. Hãy tìm GTNN và giá trị lơn nhất (GTLN) của 
R, với 
3 3 3
2 2 21 1 1
a b cR
b c a
= + +
+ + +
. www.mathvn.com 
 Lời giải: 
 Vì 
3 3 3
2 2 21 1 1
a b c
R
b c a
≤ + +
+ + +
, nên ta chỉ cần tìm GTLN của R khi , , 0; 3a b c  ∈   , 
thỏa a2 + b2 + c2 = 3. 
 Không mất tính tổng quát ta giả sử c b a≥ ≥ thì 1; 3c  ∈   , [ ]0;1a ∈ và 30; 2b
 
∈  
 
. 
 Ta có 
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 4 4 4
a b c a b cR
b c a b a c c a b a c b
= + + = + +
+ + + + + + + + +
, 
suy ra 
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 32 2 2 2 2 23 3 2 2 23 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3
2 2 2
b c a c c ca bR c c c
c c c c c c
− − − − − −
≤ + + = + + ≤ + + , 
suy ra 
( )32 23 3 3 3
2
c
R c
c
−
≤ + , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0. 
 1) Ta tìm điều kiện của c để ( )
3
2
2
3 3 3
3 3 3
2
c
c
c
−
+ ≤ , điều này tương đương với 
( ) ( )( ) ( )( )
3
2
2 2 2 2 2 2
3 3 273 3 3 3 2 0 3 27 13 0 3
2 13
c
c c c c c c c
c
−
+ ≤ ⇔ − − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≥ ≥ . 
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
Biên soạn: Tôn Thất Hiệp facebook.com/mathvncom 8 
 Như vậy 3 3R≤ , với 2 273
13
c≥ ≥ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3, 0c b a= = = . 
 2) Với 2 271
13
c≤ < thì 2 2 212 2
13
a b b< + ≤ (vì 0 ≤ a ≤ b), suy ra 2 6
13
b > . Do đó: 
( )
3 3
3 33 3 3 3
2 2 2 2 2
3 27
32 131 13 27 5,12 3 3
4 136 191 1 1 1 1 0 11
13
a b cR
b c a
   
   
    
= + + < + + = + + < <  + + + + +  +
, suy ra 3 3R < . 
 Tóm lại, 3 3R ≤ , đẳng thức xảy ra khi 3, 0c b a= = = . 
 Từ đó suy ra 3 3 3 3R− ≤ ≤ với a, b, c là các số thực thỏa a2 + b2 + c2 = 3. 
 Vậy min 3 3R = − , đạt được khi 3, 0c b a= − = = và max 3 3R = , đạt được khi 
3, 0c b a= = = . 
 Nhận xét 2: (về bài toán 4) 
 Khi a, b, c là các số thực dương thì ta có 3 2min
2
R = . 
 Cách 1: 
 Áp dụng BĐT (1) ở cách giải 1 của bài toán 1 và BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
9
1 1 1 1 1 1 1 1 1
a b c a b c
R
a b b c c a a b b c c a a b b c c a
+ +
= + + ≥ =
+ + + + + + + + + + + + +
mà
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 6
2 2 2
a b b c c a
a b b c c a + + + + + ++ + + + + ≤ + + = nên 
9 2 3
6 2
R ≥ = , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1a b c= = = . 
 Vậy 3 2min
2
R = . 
 Cách 2: Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương ta có 
4 2 4 2 4 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 2 1 2 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1
a a b b b c c c a a b b c c aR
a b b c c a
       + + + + + +
= + + + + + − + +       
       + + +       
( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 32
4 2 4 2 4 2 2
a b b c c a
a b c  + + + + + +≥ + + − + + = 
 
. 
 Cách 3: Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có 
3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3
2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1
2
a a b b b c c c a a b c
b b c c a aR
     + + + + + +
+ + + + + + + + −     
+ + + + + +     
= 
( )2 2 2
3
3 3
2 32 2
2 2
a b c+ + −
≥ = . 
 Bài toán 5: 
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
Biên soạn: Tôn Thất Hiệp facebook.com/mathvncom 9 
 Cho ba số thực không âm a, b, c sao cho c = min{a; b; c} và ( )( )2 2 2 2 0a c b c+ + ≠ . Hãy tìm 
GTNN của biểu thức 2 2 2 2
1 1S a b c
a c b c
= + + + +
+ +
. 
 Lời giải: 
 Vì c = min{a; b; c}, và a, b, c ≥ 0 nên 2 22 2 2 2
2 2
1 1 1 1
4 4
c ca c b c
a ac b bc
+ ≥ + =
+ +
+ + + +
( )2 2 2
1 1 8
2 2
a b cc c
a b
= + ≥
+ +   + +   
   
, suy ra ( )2 4
8 8 ( )S a b c t f t
ta b c
≥ + + + = + =
+ +
, với 
0t a b c= + + > . Ta có 5
32( ) 1f t
t
′ = − + , ( ) 0 2f t t′ = ⇔ = , Lập BBT hàm số f(t) , ta suy ra 
( ) 5( ) 2
2
f t f≥ = , suy ra 5
2
S ≥ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0, 2c a b= = = . 
 Vậy 5min
2
S = . 
 Nhận xét 3: (về bài toán 5) 
 Từ hướng giải của bài toán 5, chúng tôi đề xuất ba bài toán sau: 
 Bài toán 5.1: 
 Cho ba số thực a, b, c sao cho c = min{a; b; c} ≥ 1. Hãy tìm GTNN của biểu 
thức. ( ) ( ) ( )2 2 2
9 36 1
2 4 2 45 1
S a b c
a b b a c
= + + + + −
+ + + −
. 
 Đáp số: 5min
2
S = , đạt được khi và chỉ khi a = b = 2, c = 1. 
 Bài toán 5.2: 
 Cho ba số thực không âm a, b, c sao cho ( )( )( )2 2 2 2 2 2 0a c b c a b+ + + ≠ . Hãy tìm GTNN của 
biểu thức 2 2 2 2 2 2
1 1 1128 5S a b c
a b b c c a
 
= + + + + + + + + 
. 
 Đáp số: min 25S = , đạt được khi và chỉ khi 8, 0a b c= = = hoặc các hoán vị của nó. 
 Bài toán 5.3: 
 Cho ba số thực không âm a, b, c sao cho ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 0a c b c a b+ + + ≠ . Hãy tìm GTNN của 
biểu thức ( )3 3 3 3 3 3 121 1 1 125
a b c
S
a c b c a b
+ +
= + + +
+ + +
. www.mathvn.com 
 Đáp số: 16min
25
S = , đạt được khi và chỉ khi 50,
2
c a b= = = hoặc các hoán vị của nó. 
 Bài toán 6: 
 Cho a, b, c dương thỏa a2 + b2 + c2 = 3. Tìm GTNN của biểu thức 
( ) 1 1 18 5T a b c
a b c
 
= + + + + + 
 
. 
 Cách giải 1: (phương pháp phân tich bình phương) 
 Ta có ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 13 3 1 1 1
2
a b c a b c a b c a b c + + = + + − − − + = − − + − + −
 
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
Biên soạn: Tôn Thất Hiệp facebook.com/mathvncom 10 
 Mặt khác 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 22 2 2 1 2 1 2 1 21 1 1 3 3 a a a a b b b b c c c ca b c
a b c a b c
 
− − + − − − + − − − + −
 + + − − − + = + + +
  
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 21 1 1
3 3
a b c
a b c
a b c
 
− − −
= + + + − + + + 