Giới thiệu một số thủ thuật cơ bản làm nhanh trắc nghiệm môn toán

GIỚI THIỆU MỘT SỐ THỦ THUẬT CƠ BẢN 
LÀM NHANH TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN 
Biên soạn: Nguyễn Phú Khánh - Nguyễn Chiến 
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan cực trị hàm số 4 2y ax bx c= + + 
4
2
(0; ), ; , ; , 2
2 4 2 4 2 216
b b b b b
A c B C AB AC BC
a a a a a aa
   ∆ ∆    − − − − − ⇒ = = − = −        
 với 2 4b ac∆= − 
Gọi 
 α=BAC , ta luôn có: 
3
3
3
8
8 (1 ) (1 ) 0
8
b a
a cos b cos cos
b a
α α α
+
+ + − = ⇒ =
−
 và 
21
.
4 2
b b
S
a a
= − 
Phương trình đường tròn đi qua ( )2 2, , : . 0,A B C x y c n x c n+ − + + = với 
2
4
n
b a
∆
= − 
1 cực trị: 0ab≥ 3 cực trị: 0ab< 
> 0a : 1 cực tiểu 0a : 1 cực đại, 2 cực tiểu < 0a : 2 cực đại,1 cực tiểu 
Hàm số 4 2y ax bx c= + + có 3 cực trị , ,A Oy B C∈ tạo thành: 
DỮ KIỆN CÔNG THỨC VÍ DỤ 
Tam giác 
vuông cân 
38 0a b+ = ?m để hàm số 4 2( 2015) 5y x m x= + + + có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông 
cân. Với 1, 2015a b m= = + . Từ 3 38 0 8 2017a b b m+ = ⇒ =− ⇒ =− 
Tam giác 
đều 
+ =324 0a b 
?m để hàm số 4 2
9
3( 2017)
8
y x m x= + − có 3 cực trị tạo thành tam giác đều. 
Với 9/8, 3( 2017)a b m= = − . Từ 3 324 0 27 2016a b b m+ = ⇒ =− ⇒ = 

 α=BAC 3 28 .tan 0
2
a b
α
+ = 
?m để hàm số 4 23 ( 7)y x m x= + − có 3 cực trị tạo thành tam giác có một góc 
0120 . Với 3, 7a b m= = − . Từ 38 3 0 2 5a b b m+ = ⇒ =− ⇒ = 
∆ = 0ABCS S + =
3 2 5
032 ( ) 0a S b ?m để hàm số 
4 22 2y mx x m= + + − có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích 
bằng 1 . Với , 2a m b= = . Từ 3 2 5 3032 ( ) 0 1 0 1a S b m m+ = ⇒ + = ⇒ =− 
0( )max S 5
0 332
b
S
a
= − 
?m để hàm số 4 2 22(1 ) 1y x m x m= − − + + có 3 cực trị tạo thành tam giác có 
diện tích lớn nhất. Với 21, 2(1 )a b m= =− − . Từ 2 50 (1 ) 1 0S m m= − ≤ ⇒ = 
∆ = 0ABCr r 
=
   + −    
2
0
3
1 1
b
r
b
a
a
 ?m để hàm số 4 2
3
2
y x mx= − + có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính 
đường tròn nội tiếp bằng 1 . Với 1/2,a b m= =− . Từ 0r 2m⇒ = 
= 0BC m + =
2
0 2 0am b ?m để hàm số 
2 4 2 1y m x mx m= − + − có 3 cực trị mà trong đó có 2BC = 
Với 
2 ,a m b m= =− . Từ 20 2 0 1am b m+ = ⇒ = vì 0m> 
= = 0AB AC n
− + =2 2 4016 8 0a n b b ?m để hàm số 
4 2y mx x m= − + có 3 cực trị mà trong đó có 0,25AC = 
Với , 1a m b= =− . Từ 2 2 4016 8 0 3a n b b m− + = ⇒ = do 0m> 
∈,B C Ox − =2 4 0b ac ?m để hàm số 4 2 1y x mx= − + có 3 cực trị tạo thành tam giác có ∈,B C Ox 
Với 1, , 1a b m c= =− = . Từ 2 4 0 2b ac m− = ⇒ = do 0m> 
Tam giác 
cân tại A 
Phương trình qua 
điểm cực trị: 
∆
=−:
4
BC y
a
 và 
 −  =± +  
3
, :
2
b
AB AC y x c
a
Tam giác có 
3 góc nhọn 
38 0a b+ > ?m để hàm số 4 2 2( 6) 2y x m x m=− − − + + có 3 cực trị tạo thành tam giác có 
3 góc đều nhọn Với 21, ( 6)a b m=− =− − . Từ 38 0 2 2 2a b b m+ > ⇒ > ⇒− < < 
Tam giác có 
tr. tâm O 
2 6 0b ac− = ?m để hàm số 4 2y x mx m= + − có 3 cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ 
O làm trọng tâm. Với 1, ,a b m c m= = =− . Từ 2 6 0 6b ac m− = ⇒ =− do 0m< 
Tam giác có 
trực tâm O 
3 8 4 0b a ac+ − = ?m để hàm số 4 2 2y x mx m= + + + có 3 cực trị tạo thành tam giác có trực tâm 
O . Với 1, , 2a b m c m= = = + . Từ 3 8 4 0 2b a ac m+ − = ⇒ =− do 0m< 
 Thủ Thuật Giải Nhanh Trắc Nghiệm Toán Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Chiến 
∆ = 0ABCR R 3
0
8
8
b a
R
a b
−
= 
?m để hàm số 4 2 2 1y mx x m= + + − có 3 cực trị tạo thành tam giác nội tiếp 
trong đường tròn có bán kính 9/8R = 
Với , 1a m b= = . Từ 
3
0
8
1
8
b a
R m
a b
−
= ⇒ =− do 0m< 
Tam giác 
cùng O tạo 
hình thoi 
2 2 0b ac− = ?m để hàm số 4 22 4y x mx= + + có 3 cực trị cùng gốc tọa độ O lập thành hình 
thoi. 
Với 2, , 4a b m c= = = . Từ 2 2 0 4b ac m− = ⇒ =− do 0m< 
Tam giác, 
tâm O nội 
tiếp 
3 8 4 0b a abc− − = ?m để hàm số 4 22 2y mx x= + − có 3 cực trị lập tam giác có O là tâm đường 
tròn nội tiếp. 
Với , 2, 2a m b c= = =− . Từ 3 8 4 0 1b a abc m− − = ⇒ =− do 0m< 
Tam giác, 
tâm O 
ngọai tiếp 
3 8 8 0b a abc− − = ?m để hàm số 4 2 2 1y mx x m=− + − − có 3 cực trị lập tam giác có O là tâm 
đường tròn ngoại tiếp. 
Với , 1, 2 1a m b c m=− = =− − . Từ 3 8 8 0 0,25b a abc m− − = ⇒ = do 0m> 
Hàm số 4 22y ax bx c= + + có 3 cực trị , ,A Oy B C∈ tạo thành: 
DỮ KIỆN CÔNG THỨC VÍ DỤ 
Tam giác 
vuông cân 
tại A 
+ =3 0a b ?m để hàm số 4 22( 2016) 2016 2017y x m x m= + + + − có 3 cực trị tạo thành tam 
giác vuông cân. Với = = +1, 2016a b m . Từ + = ⇒ =− ⇒ =−3 0 1 2017a b b m 
Tam giác 
đều 
+ =33 0a b ?m để hàm số 4 29 2( 2020) 2017 2016y x m x m= + − + + có 3 cực trị tạo thành 
tam giác đều. Với = = −9, 2020a b m . Từ + = ⇒ =− ⇒ =33 0 3 2017a b b m 

 α=BAC α+ =3 2. tan 0
2
a b 
?m để hàm số 4 23 2( 2018) 2017y x m x= + − + có 3 cực trị tạo thành tam giác có 
một góc 0120 . 
Với 3, 2018a b m= = − . Từ 3 2 0. tan 60 0 1 2017a b b m+ = ⇒ =− ⇒ = 
∆ = 0ABCS S + =
3 2 5
0( ) 0a S b ?m để hàm số 
4 24 2017 2016y mx x m= + + − có 3 cực trị tạo thành tam giác có 
diện tích bằng 4 2 . Với , 2a m b= = . Từ 3 2 50( ) 0 1a S b m+ = ⇒ =− 
∆ = 0ABCR R  = −   
2
0
1
2
a
R b
a b
?m để hàm số 4 2 32 2017 2016y mx x m= − + − có 3 cực trị tạo thành tam giác có 
bán kính ngoại tiếp bằng 1 . Với , 1a m b= =− . Từ 20
1
1
2
a
R b m
a b
 = − ⇒ =  
∆ = 0ABCr r 
=
   + −    
2
0
3
1 1
b
r
b
a
a
?m để hàm số 4 2 32( 5) 2016 2017y x m x m= + + + + có 3 cực trị tạo thành tam 
giác có bán kính nội tiếp bằng 1 . 
Với { }01, 5, 1 2;1 7 4a b m r b m m= = + = ⇒ ∈ − ⇒ =− ∨ =− 
Tiệm cận: Tổng khoảng cách từ điểm M trên đồ thị hàm số ax by
cx d
+
=
+
 đến 2 tiệm cận đạt 
2
min 2
ad bc
d
c
−
= 
Tương giao: Giả sử :d y kx m= + cắt đồ thị hàm số ax by
cx d
+
=
+
 tại 2 điểm phân biệt ,M N . 
Với 
ax b
kx m
cx d
+
+ =
+
 cho ta phương trình có dạng: 2 0Ax Bx C+ + = thỏa điều kiện 0cx d+ ≠ , có 2 4B AC∆= − 
2
2
1
,
k
MN MN
A
+
= ∆ ngắn nhất 
 khi tồn tại min ,k const∆ = 
OMN∆ cân tại O 
2
1 2( )(1 ) 2 0x x k km+ + + = 
OMN∆ vuông tại O 
2 2
1 2 1 2( . )(1 ) ( ) 0x x k x x km m+ + + + = 
Khối đa diện: loại { },n p có D đỉnh, C cạnh, M mặt thì . . 2.n M p D C= = hoặc : 2Euler D M C+ = + 
Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Kí hiệu Thể tích 
Tứ diện đều 4 6 4 { }3,3 3( 2 /12)V a= 
Khối lập phương 8 12 6 { }4,3 3V a= 
Khối bát diện đều 6 12 8 { }3,4 3( 2 /3)V a= 
Khối thập nhị diện (12 ) đều 20 30 12 { }5,3 3(15 7 5) /4V a= + 
Khối nhị thập diện ( 20 ) đều 12 30 20 { }3,5 3(15 5 5) /12V a= + 
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan thể tích khối chóp 
TÍNH CHẤT HÌNH VẼ VÍ DỤ 
Cho hình chóp SABC với các mặt 
phẳng ( ) ( ) ( ), ,SAB SBC SAC vuông 
góc với nhau từng đôi một, diện 
tích các tam giác , ,SAB SBC SAC 
lần lượt là 1 2 3,S ,SS . 
Khi đó: 1 2 3.
2 .S .S
3
S ABC
S
V = 
Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng 
( ) ( ) ( ), ,SAB SBC SAC vuông góc với nhau từng đôi 
một, diện tích các tam giác , ,SAB SBC SAC lần lượt 
là 2 2 215 ,20 ,18cm cm cm .Thể tích khối chóp là: 
A. 3 20.a 
B. 
3 20
.
3
a
 C. 
3 20
.
2
a
 D. 
3 20
.
6
a
1 2 3 3
2 . .
20
3
ABCD
S S S
V a= = ⇒Chọn đáp án A. 
Cho hình chóp S.ABC có SA 
vuông góc với ( )ABC , hai mặt 
phẳng ( )SAB
và ( )SBC vuông góc 
với nhau, 
 
,BSC ASBα β= = . 
Khi đó: 
3
.
.sin 2 . tan
12
S ABC
SB
V
α β
= 
Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt 
phẳng ( )ABC , hai mặt phẳng ( )SAB và 
( )SBC vuông góc với nhau, 3SB a= ,
 45oBSC = , 

 30oASB = . Thể tích khối chóp SABC là: 
A. 
33
.
8
a B. 
3 6
.
8
a C. 
3 2
.
2
a D. 
3 3
.
6
a 
3 3
.
.sin 2 . tan 3
12 8
S ABC
SB a
V
α β
= = ⇒ Chọn đáp án A. 
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy 
ABC là tam giác đều cạnh bằng a, 
cạnh bên bằng b . 
Khi đó: 
2 2 2
.
3
12
S ABC
a b a
V
−
= 
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác 
đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a . Thể tích khối 
chóp S.ABC là: 
A. 
3 3
.
24
a B. 
3 2
.
12
a C. 
3 2
.
24
a D. 
3 3
.
12
a 
3 2
12
SABC
a
a b V= ⇒ = ⇒Chọn đáp án B. 
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC 
có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo 
với mặt phẳng đáy góc α . 
Khi đó: 
3
.
tan
24
S ABC
a
V
α
= 
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy 
bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600. 
Thể tích khối chóp S.ABC là : 
A. 
3 3
.
48
a
 B. 
3
.
24
a
 C. 
3 3
.
24
a
 D. 
3
.
12
a
3 3tan 3
24 24
SABC
a a
V
α
= = ⇒ Chọn đáp án C. 
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC 
có các cạnh bên bằng b và cạnh bên 
tạo với mặt phẳng đáy góc β . 
Khi đó: 
3 2
.
3 .sin cos
4
S ABC
b
V
β β
= 
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên 
bằng 2 và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 030 . 
Thể tích khối chóp S.ABC là : 
A. 3 3 .
4
 B. 3 .
24
 C. 3 3 .
6
 D. 
3
.
4
3 2
.
3 .sin cos 3 3
4 4
S ABC
b
V
β β
= = ⇒ Chọn đáp án A. 
Cho hình chóp tam giác đều 
S.ABC có các cạnh đáy bằng a, 
cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy 
góc β . 
Khi đó: 
3
.
. tan
12
S ABC
a
V
β
= 
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy 
bằng a, mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 030 . 
Thể tích khối chóp S.ABC là : 
A. 
3
.
48
a
 B. 
3
.
24
a
 C. 
3 3
.
24
a
 D. 
3 3
.
36
a
3 3tan 3
.
12 36
SABC
a a
V
β
= = ⇒ Chọn đáp án D. 
Cho hình chóp tứ giác đều 
S.ABCD có đáy ABCD là hình 
vuông cạnh bằng a, và 
SA SB SC SD b= = = = . 
Khi đó: 
2 2 2
.
4 2
6
S ABC
a b a
V
−
= 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là 
hình vuông cạnh bằng a, và 
SA SB SC SD a= = = = . Thể tích khối chóp 
S.ABCD là: 
A. 
3 6
.
6
a
 B. 
3 2
.
2
a
 C. 
3 2
.
6
a
 D. 
3 3
.
3
a
⇒ Chọn đáp án C. 
C 
S 
A 
B 
B 
C A 
S 
C A 
S 
B 
M G 
C A 
S 
B 
M G 
B 
S 
A C 
M G 
B 
S 
A C 
M G 
O 
B 
S 
D A 
C 
M 
 Thủ Thuật Giải Nhanh Trắc Nghiệm Toán Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Chiến 
Cho hình chóp tứ giác đều 
S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc 
tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy 
là α . 
Khi đó: 
3
.
. tan
6
S ABCD
a
V
α
= 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 
bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là 
045 . Thể tích khối chóp S.ABCD là: 
A. 
3
.
12
a
 B. 
3 3
.
6
a
 C. 
3 6
.
2
a
 D. 
3
.
6
a
3 3tan
6 6
SABCD
a a
V
α
= = ⇒ Chọn đáp án D. 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD 
có cạnh đáy bằng a, 
SAB α= , 
với ;
4 2
π π
α
 ∈   
Khi đó: 
3 2
.
tan 1
6
S ABCD
a
V
α−
= 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 
bằng a, 
 060SAB = . Thể tích khối chóp S.ABCD là: 
A. 
3 2
.
12
a B. 
3 2
.
6
a C. 
3 6
.
2
a
 D. 
3
.
6
a 
3 2 3tan 1 2
6 6
SABCD
a a
V
α−
= = ⇒ Chọn đáp án B. 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD 
có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi 
mặt bên và mặt đáy là α với 
0;
2
π
α
 ∈   
. 
Khi đó: 
( )
3
.
3
2
4 .tan
3 2 tan
S ABCD
a
V
α
α
=
+
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên 
bằng 1, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là 045 .Thể 
tích khối chóp S.ABCD là: 
A. 4 3 .
7
 B. 4 3 .
27
 C. 3 .
2
 D. 
4
.
27
.
4 3
27
S ABCDV = ⇒ Chọn đáp án B. 
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC 
có cạnh đáy bằng a. Gọi ( )P
là mặt 
phẳng đi qua A song song với BC 
và vuông góc với ( )SBC , góc giữa 
( )P
với mặt phẳng đáy là α . 
Khi đó: 
3
.
cot
24
S ABCD
a
V
α
= 
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy 
bằng a. Gọi ( )P
là mặt phẳng đi qua A song song 
với BC và vuông góc với ( )SBC , góc giữa ( )P
với 
mặt phẳng đáy là 030 . Thể tích khối chóp S.ABC là: 
A. 
3 3
24
a
 B. 
3 3
8
a
 C. 
3
8
a
 D. 
33
8
a
3 0 3cot 30 3
24 24
SABC
a a
V = = ⇒ Chọn đáp án A
Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm 
các mặt của hình lập phương cạnh 
a. 
Khi đó: 
3
6
a
V = 
Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình 
lập phương cạnh a có thể tích là: 
A. 
3
.
12
a
 B. 
3 3
.
4
a
 C. 
3
.
6
a
 D. 
3 3
.
2
a
⇒ Chọn đáp án C.
Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối 
tâm của các mặt bên ta được khối 
lập phương. 
Khi đó: 
32 2
27
a
V = 
Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt 
bên ta được khối lập phương có thể tích bằng V. Tỷ 
số 
3a
V
 gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau? 
A. 9,5. B. 7,8.
 C. 15,6. D. 22,6. 
32 2
27
a
V =
3 27 2
9,5
4
a
V
⇒ = ≈ ⇒Chọn đáp án A.
GIỚI THIỆU 500 CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN, OXYZ VÀ 300 CÔNG THỨC GIẢI 
O 
C 
S 
A D 
B 
M 
O 
C 
A D 
S 
B 
M 
O 
C 
S 
A D 
B 
M 
x 
N 
C A 
S 
B 
F 
M 
G 
E 
O1 
O3 
O4 O2 
O 
O' 
A B 
C D 
B' 
C' D' 
A' 
B 
D 
A 
S 
C 
S' 
N 
G2 
M 
G1