Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 6

SƠ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYấN 
TRƯỜNG THPT GANG THẫP 
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 
Mụn : Toỏn 
Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) 
Cõu 1(2 điểm): Cho hàm số 
1 
2 1 
x 
y 
x 
+ 
= 
- 
a.  Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b.  Tỡm m để đồ thị (C) của hàm số cắt đường thẳng  : 2 y x m D = - +  tại hai điểm A, B phõn biệt sao 
cho  2 AB = 
Cõu 2(1 điểm):  Giải phương trỡnh:  cos s inx sin 2 cos 2 1 x x x + - - = 
Cõu 3(1 điểm): 
a.  Giải bất phương trỡnh : ( ) ( ) 2 2 2 log 2 1 log 2 0 x x x - - - ³ 
b.  Một đồn cảnh sỏt cú 9 người trong đú cú hai trung tỏ An và Bỡnh. Trong một nhiệm vụ cần huy 
động 3 đồng chớ thực hiện ở địa điểm C, 2 đồng chớ thực hiện ở địa điểm D và 4 đồng chớ cũn lại 
trực ở đồn. Hỏi cú bao nhiờu cỏch phõn cụng sao cho hai trung tỏ An và Bỡnh khụng ở cựng khu 
vực làm nhiệm vụ? 
Cõu 4(1 điểm):  Tỡm nguyờn hàm : ( ) 2. 2 1 . I x x dx = - - ũ 
Cõu 5(1 điểm):  Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a. Điểm A’ cỏch đều ba điểm A, B, 
C. Gúc giữa AA’ và mặt phẳng (ABC) là  0 60  . Tớnh theo a thể tớch khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng 
cỏch giữa hai đường thẳng A’B và CC’. 
Cõu 6(1 điểm):  Cho n là số tự nhiờn thỏa món:  2 4 6 2 4 2 2 2 2 2 2 2 ... 2046 
n n 
n n n n n C C C C C 
- - + + + + + =  . Tỡm số hạng 
chứa  4 x  trong khai triển nhị thức Newton:  5 3 
2 
n 
P x 
x 
ổ ử = - ỗ ữ 
ố ứ 
với  0 x >  . 
Cõu 7(1 điểm):  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường trũn ( )  2 2 : 2 C x y x + =  . Tam giỏc ABC 
vuụng tại A cú AC là tiếp tuyến của đường trũn ( ) C  tại A, chõn đường cao từ A của tam giỏc ABC là điểm 
H(2;0). Tỡm tọa độ đỉnh B của tam giỏc biết B cú tung độ dương và diện tớch tam giỏc ABC là 
2 
3 
Cõu 8(1 điểm):  Giải hệ phương trỡnh sau: 
( ) 
( ) 
3 3 2 3 2 4 2  3 
3 4 3 2 
2 2 1 
1 1 1 
x y y x x y y x x 
x x x x y 
ỡ + - + + = - + ù 
ớ 
ù + - + = - + ợ 
Cõu 9(1 điểm): Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giỏc thỏa 
món: ( ) ( )( )  1 a b c a b c b c a + - - + + - =  Chứng minh rằng 
5  2 2 2 
3 3 
a b c a b c + + + + ổ ử ³ ỗ ữ 
ố ứ 
Cảm ơn thầy Đào Trọng Xuõn (trongxuanht@gmail.com)đó gửi đến www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM 
Cõu  Sơ lược đỏp ỏn  Thang 
điểm 
1a  Học sinh tự thực hiện cỏc bước khảo sỏt đỳng: 
TXĐ 
Sự biến thiờn: 
ư  Chiều biến thiờn và cực trị 
ư  Giới hạn và tiệm cận 
ư  Lập BBT 
Vẽ đồ thị hàm số 
1 
1b  Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (C) và D  là: 
( ) 2 
1 
2 
2 1 
1 
2 
2 4 2 1 0 * 
x 
x m 
x 
x 
x mx m 
+ 
= - + 
- 
ỡ ạ ù Û ớ 
ù - + + = ợ 
Để (C) và D  cắt nhau tại A, B phõn biệt thỡ (*) cú hai nghiệm phõn  biệt khỏc 
1 
2 
1 3 1 3 
; ; 
2 2 
m 
ổ ử ổ ử - + 
Û ẻ -Ơ ẩ +Ơ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
Giả sử ( ) ( ) 1 1 2 2 ; 2 , ; 2 A x x m B x x m - + - +  . Khi đú ta cú : 
1 2 
1 2 
2 
2 1 
. 
2 
x x m 
m 
x x 
+ = ỡ 
ù 
ớ + 
= ù ợ 
Từ giả thiết ta cú: 
( ) ( ) ( ) 2 2  2 2 1 1 2 1 2 
1 
2 2 4 1 4 2 2 1 1 ( / ) 
2 
x x x x x x m m m t m - = Û + - = Û - - = Û = 
0,5 
0,5
2 ( ) 
( ) ( ) 
( ) 
sin 2 cos 2 s inx cos 1 0 
2cos 1 s inx cos 0 
1 
cos 
2 
2 sin 0 
4 
2 
3 
4 
x x x 
x x 
x 
x 
x k 
k 
x k 
p 
p 
p 
p 
p 
+ - + + = 
Û - + = 
ộ = ờ 
ờ Û 
ổ ử ờ + = ỗ ữ ờ ố ứ ở 
ộ = ± + ờ 
Û ẻ ờ 
ờ = - + ờ ở 
Z 
0,5 
0,5 
3a  TXĐ: ( ) 2; D = +Ơ 
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 
2 
log 2 1 log 2 0 log 2 1 log 2 
4 1 0 2 3;2 3 
x x x x x x 
x x x 
- - - ³ Û - ³ - 
ộ ự Û - + Ê Û ẻ - + ở ỷ 
Kết hợp với TXĐ bất phương trỡnh cú nghiệm (2;2 3 x ự ẻ + ỷ 
0,25 
0,25 
3b  Để sắp xếp bất kỳ 9 đồng chớ vào cỏc vị trớ như yờu cầu cú  3 2 4 9 6 4 . . 1260 C C C =  cỏch 
Nếu hai trung tỏ cựng ở một vị trớ C cú  1 2 7 6 . C C  cỏch, hai trung tỏ ở cựng vị trớ D cú 
3 
7 C 
cỏch, hai trung tỏ cựng ở lại đồn cú  2 3 7 5 . C C  cỏch. Như vậy cú tổng số 350 cỏch xếp hai 
trung tỏ ở cựng vị trớ. 
Do đú cú 1260 350 910 - =  cỏch phõn cụng sao cho hai trung tỏ An và Bỡnh khụng 
cựng vị trớ làm việc. 
0,25 
0,25 
4  Đặt  2 2 2 2 t x t x tdt dx = - ị = - ị = 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
2 4 2 5 3 
2 
8 
4 3 .2 8 6 2 
5 
8 
2 2 2 2 2 
5 
I t t tdt t t dt t t c 
x x x x c 
= + = + = + + 
= - - + - - + 
ũ ũ 
0,25 
0,5 
0,25
5 
Gọi G là trọng tõm tam giỏc ABC,M là trung điểm AB. Khi đú ta cú A’.ABC là hỡnh 
chúp đều nờn ( ) ' A G ABC ^ 
Gúc giữa AA’ và (ABC) là gúc ã  0 ' 60 A AG = 
Ta cú :  . ' ' '  ' . ABC A B C ABC V A G S = 
2 3 
0 
. ' ' ' 
3 3 3 
' . tan 60 , 
3 4 4 ABC ABC A B C 
a a a 
AG A G AG a S V = ị = = = ị = 
Dựng  ' , ' GH A M H A M ^ ẻ  . Ta cú 
( ) 
( ' ) 
' ' 
' 
AB A GM AB GH 
GH ABB A 
GH A M 
^ ị ^ ỡ 
ị ^ ớ ^ ợ 
Ta cú 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' , ' ', ' ' , ' ' 3 , ' ' 3 d A B CC d CC ABB A d C ABB A d G ABB A GH = = = = 
Do 
2 2 
3 ' . 13 
' , 
6 13 ' 
a A G GM a 
A G a GM GH 
A G GM 
= = ị = = 
+ 
Vỡ vậy ( )  3 13 ' , ' 
13 
a 
d A B CC = 
0,5 
0,5 
6  2 4 6 2 4 2 2 2 2 2 2 2 
0 2 4 2 2 2 
2 2 2 2 2 
... 2046 
... 2048 
n n 
n n n n n 
n n 
n n n n n 
C C C C C 
C C C C C 
- - 
- 
+ + + + + = 
Û + + + + + = 
Do  0 2 4 2 2 2 1 3 5 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ... ... 
n n n n 
n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C 
- - - + + + + + = + + + + + 
Nờn ta cú  1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ... 4096 2 4096 6 
n n n 
n n n n n C C C C C n 
- + + + + + = Û = Û = 
6 6  5 11 6 6  18 5 6 2 2 
6 6 3 3 
0 0 
2 2 
. 2 . 
k k  k 
k k k 
k k 
P x C x C x 
x x 
- 
- - 
= = 
ổ ử ổ ử ổ ử = - = = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ ố ứ 
ồ ồ 
0,25 
0,25
Số hạng tổng quỏt trong khai triển là 
11 
18 6  2 
1 6 .2 
k 
k k 
k T C x 
- - 
+ = 
11 
18 6  2 
1 6 .2 
k 
k k 
k T C x 
- - 
+ =  chứa 
4 x  thỡ 
11 
18 4 4 
2 
k 
k - = Û = 
Số hạng chứa  4 x  cần tỡm là  4 2 4 5 6 .2 T C x = 
0,5 
7 
Đường trũn (C) cú tõm I(1;0) và bỏn kớnh R = 1. Dễ thấy H nằm trờn đường trũn nờn 
AB là đường kớnh của đường trũn. 
Ta cú AB = 2 nờn dựa vào cụng thức diện tớch ta cú 
2 
3 
AC = 
B nằm trờn đường trũn và cú tung độ dương nờn  tọa độ của B là ( ) 2 , 2 B x x x - 
Ta cú  ã  1 tan 
3 
AC 
ABC 
AB 
= =  nờn  3 BH =  . Ta cú ( ) ( ) 2  2  1 2 2 3 
2 
x x x x - + - = Û = 
Vậy 
1 3 
;
2 2 
B 
ổ ử 
ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ 
0,25 
0,25 
0,5 
8 ( ) ( ) 
( ) ( ) 
3 3 2 3 2 4 2  3 
3 4 3 2 
2 2 1 1 
1 1 1 2 
x y y x x y y x x 
x x x x y 
ỡ + - + + = - + ù 
ớ 
ù + - + = - + ợ 
Điều kiện : 
3 2 
1 
1 0 
y 
x x 
³ ỡ 
ớ 
- + ³ ợ 
Từ (1) ta cú 
0,25
( ) 
( ) ( ) ( ) 
( ) 
3 3 2 3 2 4 2  3 
2 
2 3 3 
2 
3 3 
2 2 1 
2 1 1 0 
1 0 1 
x y y x x y y x x 
x x y y x x y y 
x x y y x x y y 
+ - + + = - + 
Û + - - + + - = 
ộ ự Û + - - = Û + = - ở ỷ 
Đặt  3  , 1 a x b y = = -  ta cú  3 3 a a b b + = +  . Do b khụng õm nờn a cũng phải khụng 
õm. Hàm số ( )  3 f t t t = +  đồng biến trờn [ ) 0;+Ơ  nờn ta cú a = b hay ta cú 
3 0, 1 x y x ³ - = 
Thay vào (2) ta cú phương trỡnh: 
( ) 
( ) ( ) 
4 3 2 3 3 3 2 
2 3 
3 2 
3 2 3 2 
3 2 
1 1 1 1 1 
1 
1 1 0 
1 1 1 1 
0 
1 
1 
0( 0) 
1 1 
x x x x x x x x 
x x 
x x x x x 
x x x x 
x 
x 
x vn do x 
x x 
+ - + = + Û - = - - + 
ổ ử - 
Û - = Û - + = ỗ ữ 
+ - + + - + ố ứ 
ộ 
ờ = ờ 
Û = ờ 
ờ 
ờ + = ³ 
ờ + - + ở 
x=0 ta cú y=1, x=1 ta cú y = 2 (thỏa món điều kiện) 
vậy hệ cú hai nghiệm (0 ;1) và (1 ;2) 
0,25 
0,25 
0,25 
9  Đặt  , , , , 0; 1 x a b c y b c a z c a b x y z xyz = + - = + - = + - ị ³ = 
Ta cú  , , 
2 2 2 
x z x y y z 
a b c 
+ + + 
= = = 
Bất đăng thức cần chứng minh trở thành 
( ) ( ) 2 5 5 2 2 2 
3 6 3 6 
x y z xy yz xz x y z x y z xy yz xz x y z + + - + + + + + + + + + + + ổ ử ổ ử ³ Û ³ ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
Theo Cụ si ta cú : 
( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3  3 3 3 
6 6 
x y z xy yz xz x y z 
xy yz xz x y z 
+ + - + + + + - 
+ + ³ = ị Ê 
Ta cần chứng minh 
( ) ( ) 2 2 5 5 1 1 
0 
3 6 2 3 6 2 
x y z x y z x y z x y z + + + + + + + + ổ ử ổ ử ³ - Û - - ³ ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
Đặt  3 , 3 3 1 
3 
x y z 
t do x y z xyz t 
+ + 
= + + ³ = ị ³ 
Xột hàm số 
0,25 
0,25
( ) [ ) 
( ) [ ) 
( ) ( ) 
5 2 
4 
5 2 
3 1 
, 1; 
2 2 
' 5 3 0 1; 
3 1 
1 0 
2 2 
f t t t t 
f t t t t 
f t f hay t t 
= - + ẻ +Ơ 
= - > " ẻ +Ơ 
ị ³ - + ³ 
Vậy ta cú điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra nếu x=y=z=1 nờn a=b=c=1 
0,5 
Cảm ơn thầy Đào Trọng Xuõn (trongxuanht@gmail.com)đó gửi đến www.laisac.page.tl