Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012

Ngày soạn: 03/9/2011
Buổi 1: CáC DạNG PHƯƠNG TRìNH Và PHƯƠNG PHáP GIảI
Đề bài:
Câu 1 Giải phương trình.
a, + = + 
Câu 2. 	Giải phương trình:
Câu 3: Tìm x , biết : 
 (1)
Câu 4. Giải phương trình
Câu 5.Giải phương trình sau :
Câu 6: Giải phương trình:
Câu 7 giải phương trình
Câu 8. Giải phương trình: 
 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007).
Câu 9.
	Giải phương trình: + + = 14
Câu 10: Giải phương trình:ữ x+1ữ+:ữ 2x-1ữ+2x =3
Câu 11: Giải phương trình	(x+1)4 + (x+3)4 = 16
Câu 12: Giải phương trình 
Hướng dẫn giải:
Câu 1
a, + = + 
Û (+1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) 
Û +=+	
Û (x + 2009)( +- -) = 0 	
Û x + 2009 = 0	
Û x = -2009
Câu 2. 	Giải phương trình:
	= 0 	 
	Vì 	 
Câu 3: . 
 Û 
ị x= 2007	
Câu 4. 
(+1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1)	
 ( x + 100 )( + - - ) = 0	
Vì: + - - 0
Do đó : x + 100 = 0 x = -100
	Vậy phương trình có nghiệm: x = -100	
Câu 5. ĐKXĐ : 
 PT 
x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3
Cả 3 giá trị trên đều thỏa mãn ĐKXĐ .
Vậy PT đã cho có tập nghiệm S = 
Câu 6: Điều kiện xác định:
Ta có :
Phương trình đã cho tương đương với : 
 thoả mãn điều kiện phương trình.
Phương trình có nghiệm : x = 10; x = -2.
Câu 7. Giải phương trình: TXĐ: x ạ -1, -2, -3, -4	
Û 	
Û 
Û 4x2 + 10x = 0	ị x = 0; x = 	
Câu 8. Giải PT: 
Nhân 2 vế với 6 ta được: 
Câu 9
	1/. Xét khoảng x < -2 ,ta có: -3x + 2 = 14x = - 4.
	2/. -2 x < 1, ta có : -x + 16 = 14 x = 2. (loại)
	3/. 1 x < 3, ta có : x + 4 = 14 	 x = 10 (loại).
	4/. x 3 , ta có: 3x – 2 = 14 x = 
 Vậy phương trình trên có nghiệm là x = - 4 và 	x = .
Câu 10:
TH1: nếu xx=-3<-1(là nghiệm )(0,5đ)
TH2: Nếu -1Êx<1/2 thì ta có 
x+1-2x+1+2x=3=> x=1>1/2(loại )
TH3: Nếu x³1/2ta có 
x+1+2x-1+2x=3=> x=3/5<1/2 (loại)
Vậy phương trình đã cho x=-3 
Câu 11 : Đặt y = x + 2 ta được phương trình: 
(y – 1)4 + (y +1)4 = 16 2y4 + 12y2 + 2 = 16 
y4 + 6y2 -7 = 0	 
Đặt z = y2 ta được phương trình: z2 + 6z – 7 = 0 có hai nghiệm là
 z1 = 1 và z2 = -7.	 
y2 = 1 có 2 nghiệm y1 = 1 ; y2 = -1 ứng với x1 = -1 ; x2 = -3.
y2 = -7 không có nghiệm.	 
Câu 12 Đk : x > 2005, y > 2006, z > 2007.
Ta chứng tỏ: 
tương tự : 
Do đó: 
Dấu " = " sảy ra khi 
Ngày soạn: 15/9/2011
Buổi 2:	Biến đổi, rút gọn các biểu thức
và các bài toán liên quan
Bài 1: 
	Cho biểu thức . 
 a) Tỡm cỏc giỏ trị của x để .
 b) Chứng minh rằng với mọi x thoả món .
	c) Tỡm giỏ trị lớn nhất của A. 
Bài 2: Cho biểu thức:
a) Rỳt gọn biểu thức B
b) Tỡm giỏ trị của x để B = 1
c) Tỡm x để B nguyờn.
Bài 3: Cho biểu thức :
a) Tỡm x để C cú nghĩa và chứng minh rằng P .
b) Tỡm x thoả món : 
Bài 4: Cho biểu thức:
	a) Rỳt gọn biểu thức D.
	b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để D nguyờn.
Bài 5: 
Cho biểu thức: 
Rỳt gọn biểu thức .
Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của để biểu thức nhận giỏ trị nguyờn.d 
Bài 6. Cho biểu thức:P = 
a) Rỳt gọn P;
b) Tỡm giỏ trị của a để P < 0
Bài 7: Cho biểu thức
	M = 
Rỳt gọn M
Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của M
HD
Cõu1.a) 
Ta cú . Từ đú giải được
b)Ta cú: 
Do nờn . Vậy 
Cõu 2: 1. đk 
Ta cú: 
= == . Vậy P = 
Ta thấy P = 1 . Vậy với x = 25 thỡ P = 1
2. a. ĐK: x -1 và PT
 . Giải Pt x = 8 (t/m x -1). KL: x = 8
Cõu 3: 1. a) Điều kiện x>0 Ta cú : C= C-1=	Vậy 	
b) 43x + 6 -1 = 0	
(thỏa món) 	
(loại) 	
 (thoó món điều kiện x>0) .	
Cõu 4: 1. Điều kiện để D cú nghĩa: .
 Ta cú: 
Theo cõu a ta cú: . Do đú để D ẻ Z thỡ ta cần ẻ Z Û 
Û x = 1.Vậy với x = 1 thỡ D cú giỏ trị nguyờn.
Cõu 5: 1. Ta cú: , nờn điều kiện để A cú nghĩa là 
. 
. ()
Với là số nguyờn khụng õm, để A là số nguyờn thỡ (vỡ và ). Khi đú: 
Ngày soạn: 20/9/2011
Buổi 3-4-5:	chuyên đề
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương phỏp 1 : Dựng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0
 Lưu ý dựng hằng bất đẳng thức M 0 với" M
Vớ dụ " x, y, z chứng minh rằng :
 x + y + z xy+ yz + zx
 Giải:
 Ta xột hiệu : x + y + z- xy – yz – zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
=đỳng với mọi x;y;z
 Vỡ (x-y)2 0 với"x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
 (x-z)2 0 với"x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
 (y-z)2 0 với" z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
 Vậy x + y + z xy+ yz + zx.	Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
Bài tập
1) chứng minh 
 a) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
  b) x + y + z+3 2 (x + y + z)
2) chứng minh:
a) ; b) c) Hóy tổng quỏt bài toỏn
 3) Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luụn cú :
Phương phỏp 2 : Dựng phộp biến đổi tương đương
Kiến thức:
 	Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đỳng hoặc bất đẳng thức đó được chứng minh là đỳng.
Nếu A < B C < D , với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiờn, hoặc đó biết là đỳng thỡ cú bất đẳng thức A < B .
Chỳ ý cỏc hằng đẳng thức sau:
 	Vớ dụ : Cho a, b, c, d,e là cỏc số thực chứng minh rằng
 a) 	
 b)	
 c)	
Giải:
a) Ta xột hiệu : x + y + z- xy – yz – zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
=đỳng với mọi x;y;z
 Vỡ (x-y)2 0 với"x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
 (x-z)2 0 với"x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
 (y-z)2 0 với" z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
 Vậy x + y + z xy+ yz + zx.	Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xột hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz
= ( x – y + z) đỳng với mọi x;y;z
Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đỳng với mọi x;y;z
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xột hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1
= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Bài tập: 
1. Chứng minh rằng: 
2. cho x.y =1 và xy Chứng minh 
3. Chứng minh rằng : 
 	4. Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng 
5. Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
 	Phương phỏp 3:	Bất đẳng thức Cụ sy 
Kiến thức: 
a/ Với hai số khụng õm : , ta cú: . Dấu “=” xảy ra khi a=b
b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số khụng õm :
Dấu “=” xảy ra khi 
Chỳ ý : ta dựng bất đẳng thức Cụsi khi đề cho biến số khụng õm.
Vớ dụ : Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng: 
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cụsi ta cú :
Tương tự :
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Bài tập : 
1. CMR trong tam giỏc ABC : (*)
2. cho a,b khụng õm.chứng minh: 
3. cho a, b, c dương. Chứng minh
 	Phương phỏp 4	 Bất đẳng thức Bunhiacopski
Kiến thức:
Cho 2n số thực (): . Ta luụn cú:
Dấu “=” xảy ra khi 
Vớ dụ : Chứng minh rằng : 
	Giải: Dựng bất đẳng thức Bunhiacopski
 	Cỏch 1: Xột cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta cú 
 3
 	 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Bài tập:
cho a,b,c > 0. chứng minh 
tỡm số tự nhiờn n nhỏ nhất để cú bất đẳng thức:
Phương phỏp 5: Dựng bất đẳng thức phụ
Kiến thức:
 	a) 
 	b) dấu( = ) khi x = y = 0
 	c) 
 	d)
	Vớ dụ . Cho a, b ,c là cỏc số khụng õm chứng minh rằng 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải: Dựng bất đẳng thức phụ: 
Tacú ; ; 
(a+b)(b+c)(c+a)8abc 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Bài tập
1. chứng minh
1.	Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: 
2. Cho a,b,c>0 thỏa món . Chứng minh 
Phương phỏp 6: Phương phỏp làm trội
Kiến thức: 
 	Dựng cỏc tớnh bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tớnh được tổng hữu hạn hoặc tớch hữu hạn.
 	(*) Phương phỏp chung để tớnh tổng hữu hạn : S = 
 	Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quỏt u về hiệu của hai số hạng liờn tiếp nhau:
 	Khi đú :S = 
 	(*) Phương phỏp chung về tớnh tớch hữu hạn: P = 
 	Biến đổi cỏc số hạng về thương của hai số hạng liờn tiếp nhau: = 
 	Khi đú P = 
Vớ dụ 1: Với mọi số tự nhiờn n >1 chứng minh rằng 
 	Giải: Ta cú với k = 1,2,3,,n-1
 Do đú: 
 	Vớ dụ 2: Chứng minh rằng:
 Với n là số nguyờn
Giải: Ta cú 
Khi cho k chạy từ 1 đến n ta cú
1 > 2
Cộng từng vế cỏc bất đẳng thức trờn ta cú 
Bài tập: 
1.Chứng minh rằng 
2. với mọi số nguyờn dương n. chưng minh
a. 
b. 
Phương phỏp 7: Dựng bất đẳng thức trong tam giỏc
Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giỏc thỡ : a;b;c> 0 
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a 
Vớ dụ : Cho a;b;c là số đo ba cạnh của tam giỏc chứng minh rằng 
1/ a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
2/ abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
Giải
1/Vỡ a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giỏc nờn ta cú
 ị 
 	Cộng từng vế cỏc bất đẳng thức trờn ta cú: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
2/ Ta cú a > ờb-c ù ị > 0
 b > ờa-c ù	ị > 0
 c > ờa-b ù	ị 
 	Nhõn vế cỏc bất đẳng thức ta được
Bài tập:
 	1/ Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giỏc
 	Chứng minh rằng 
 	2/Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giỏc cú chu vi bằng 2
 	Chứng minh rằng 
3. CMR trong tam giỏc ABC : (*)
Phương phỏp 8: Đổi biến số
Vớ dụ1: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng (1)
Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cú a= ; b = ; c =
ta cú (1) 
 ( 
 	Bất đẳng thức cuối cựng đỳng vỡ ( ; nờn ta cú điều phải chứng minh
Bài tập: 
 	1. Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. Chứng minh rằng 
 (1)
2. Cho x , y thỏa món CMR 
3. CMR trong tam giỏc ABC : (*)
Phương phỏp 9: Phương phỏp làm trội
Kiến thức: 
 	Dựng cỏc tớnh bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tớnh được tổng hữu hạn hoặc tớch hữu hạn.
 	(*) Phương phỏp chung để tớnh tổng hữu hạn : S = 
 	Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quỏt u về hiệu của hai số hạng liờn tiếp nhau:
 	Khi đú :S = 
 	(*) Phương phỏp chung về tớnh tớch hữu hạn: P = 
 	Biến đổi cỏc số hạng về thương của hai số hạng liờn tiếp nhau: = 
 	Khi đú P = 
Vớ dụ 1: Với mọi số tự nhiờn n >1 chứng minh rằng 
 	Giải: Ta cú với k = 1,2,3,,n-1
 Do đú: 
 	Vớ dụ 2: Chứng minh rằng:
 Với n là số nguyờn
Giải: Ta cú 
Khi cho k chạy từ 1 đến n ta cú
1 > 2
Cộng từng vế cỏc bất đẳng thức trờn ta cú 
Vớ dụ 3: Chứng minh rằng 
 	Giải: Ta cú 
 	Cho k chạy từ 2 đến n ta cú
 Vậy 
	Phương phỏp 10: 	Dựng quy nạp toỏn học
Kiến thức:
 	Để chứng minh bất đẳng thức đỳng với ta thực hiện cỏc bước sau :
 	1 – Kiểm tra bất đẳng thức đỳng với 
 	2 - Giả sử BĐT đỳng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp )
 	3- Ta chứng minh bất đẳng thức đỳng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dựng giả thiết quy nạp)
 	4 – kết luận BĐT đỳng với mọi 
Vớ dụ1: Chứng minh rằng : (1)
 	Giải: Với n =2 ta cú (đỳng). Vậy BĐT (1) đỳng với n =2
 	Giả sử BĐT (1) đỳng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đỳng với n = k+1
 	Thật vậy khi n =k+1 thỡ (1) 
 	Theo giả thiết quy nạp 
 	k2+2k<k2+2k+1 Điều này đỳng .Vậy bất đẳng thức (1)được chứng minh
Vớ dụ2: Cho và a+b> 0. Chứng minh rằng (1)
Giải: Ta thấy BĐT (1) đỳng với n=1
Giả sử BĐT (1) đỳng với n=k ta phải chứng minh BĐT đỳng với n=k+1
Thật vậy với n = k+1 ta cú 
 (1) 
 (2)
 Vế trỏi (2) 
 (3)
 	Ta chứng minh (3)
 	(+) Giả sử a b và giả thiết cho a -b a 
 	(+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b 
 	Vậy BĐT (3)luụn đỳng ta cú (đpcm)
Vớ dụ 3: Cho . Chứng minh rằng : 
Giải
n=1: bất đẳng thức luụn đỳng
n=k (): giả sử bất đẳng thức đỳng, tức là: 
n= k+1 . Ta cần chứng minh: 
Ta cú: 
 Bất đẳng thức đỳng với n= k+1
V ậy theo nguyờn lý quy nạp: ,
Vớ dụ 4: Cho thoả món . Chứng minh rằng: 	
Giải n=1: Bài toỏn đỳng
n=k (): giả sử bất đẳng thức đỳng, tức là: 
n= k+1 . Ta cần chứng minh: 
Ta cú: 
 (Vỡ )
Bất đẳng thức đỳng với n= k+1
Vậy theo nguyờn lý quy nạp: 
Vớ dụ 5: Cho , . Chứng minh rằng: 
Giải n=1: Bất đẳng thức luụn đỳng
n=k ():giả sử bất đẳng thức đỳng, tức là: 
n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1)
Thật vậy: + 
Vậy (1) được chứng minh
Vớ dụ 6: Cho , . Chứng minh rằng: 
Giải:
n=1: Bất đẳng thức luụn đỳng
n=k ():giả sử bất đẳng thức đỳng, tức là: 
n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1)
Đặt: 
Vậy (1) đựơc chứng minh
Vớ dụ 7: Chứng minh rằng: 
Giải: n=2 
n=k: giả sử bất đẳng thức đỳng, tức là: 
n= k+1:Ta c ú: 
	 (vỡ )
 Bất đẳng thức đỳng với n= k+1
	Vậy 
Vớ dụ 8: Chứng minh rằng: 
Giải: n=1: Bất đẳng thức luụn đỳng
	n=k :giả sử bất đẳng thức đỳng, tức là: 
n= k+1 . Ta cần chứng minh: 
	Ta cú: 
Nờn: 
	Bất đẳng thức đỳng với n= k+1. Vậy: +
Phương phỏp 11: Chứng minh phản chứng
 	Kiến thức:
 	1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đú đỳng , ta hóy giả sử bất đẳng thức đú sai và kết hợp với cỏc giả thiết để suy ra điều vụ lý , điều vụ lý cú thể là điều trỏi với giả thiết , cú thể là điều trỏi ngược nhau .Từ đú suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đỳng
 	2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p q”
Muốn chứng minh (với : giả thiết đỳng, : kết luận đỳng) phộp chứng minh được thực hiờn như sau:
Giả sử khụng cú ( hoặc sai) suy ra điều vụ lý hoặc sai. Vậy phải cú (hay đỳng)
Như vậy để phủ định luận đề ta ghộp tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nú .
 Ta thường dựng 5 hỡnh thức chứng minh phản chứng sau :
 A - Dựng mệnh đề phản đảo : “P Q”
 B – Phủ định rụi suy trỏi giả thiết 
 C – Phủ định rồi suy trỏi với điều đỳng 
 D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trỏi ngược nhau
 E – Phủ định rồi suy ra kết luận :
Vớ dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa món a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0
 	Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0
 	Giải:
 Giả sử a 0 thỡ từ abc > 0 a 0 do đú a 0 và a < 0 cb < 0
 Từ ab+bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0
 Vỡ a 0 b + c < 0
 a 0
 Vậy a > 0 tương tự ta cú b > 0 , c > 0
Vớ dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d thỏa món điều kiện 
 ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng cú ớt nhất một trong cỏc bất đẳng thức sau là sai:
 , 
 	Giải:
 Giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đỳng khi đú cộng cỏc vế ta được
 (1)
 Theo giả thiết ta cú 4(b+d) 2ac (2)
 	Từ (1) và (2) hay (vụ lý)
 	Vậy trong 2 bất đẳng thức và cú ớt nhất một cỏc bất đẳng thức sai
Vớ dụ 3:Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng 
 Nếu x+y+z > thỡ cú một trong ba số này lớn hơn 1
 	Giải :Ta cú (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1
 	=x + y + z – () vỡ xyz = 1 theo giả thiết x+y +z > 
nờn (x-1).(y-1).(z-1) > 0
 	Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ cú một số dương
 	Thật vậy nếu cả ba số dương thỡ x,y,z > 1 xyz > 1 (trỏi giả thiết)
 	Cũn nếu 2 trong 3 số đú dương thỡ (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vụ lý)
 	Vậy cú một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1
Vớ dụ 4: Cho và a.b.c=1. Chứng minh rằng: (Bất đẳng thức Cauchy 3 số)
Giải: Giả sử ngược l ại: 
Xột : 
Cú ==
(Vỡ ) vụ lý. Vậy: 
Vớ dụ 5:
	Chứng minh rằng khụng tồn tại cỏc số a, b, c đồng thời thỏa món (1),(2),(3):
	 (1)
	(2)
	(3)
Giải: Giả sử tồn tại cỏc số a, b, c đồng thời thỏa món (1),(2),(3), lỳc đú:
 	(1’)
 	(2’)
 (3’)
Nhõn (1’), (2’) và (3’) vế với vế ta được: 
 Vụ lý. Vậy bài toỏn được chứng minh
Ngày soạn: 20/10/2011
Buổi 6-7: đồ thị ham số y = a.x + b. quan hệ giữa các đường thẳng và các bài toán liên quan
Câu 1. Cho đường thẳng (m+2)x - my = -1 (1) (m là tham số)
a, Tìm điểm cố định mà đường thẳng (1) luôn đi qua.
b, Tìm điểm cố định của m để khoảng cách từ O đến đường thẳng (1) là lớn nhất.
HD:
a, (m+2)x - my = -1 (1) 
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (1) đi qua điểm cố định M(x0;y0) 
"m là : (m+2)x0 - my0 = -1 "m
Biến đổi được: Û 
Vậy đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định M(-1/2;-1/2)
b, Gọi A là điểm của đường thẳng (1) với trục tung
x = 0 ị y = do đó OA = 
B là giao điểm của đường thẳng (1) với trục hoành
Y = 0 ị x = do đó OB = 
H là khoảng cách từ ) đến đường thẳng (1).
ị = + = m2 + (m + 2)2
	 = 2(m + 1)2 + 2 2
ị 2; max h = Û m = -1
Câu 2: (2,5 điểm) Cho dường thẳng ( m-2) x + (m-1)y = 1 (d) (m là tham số)
Chứng minh rằng đường thẳng luôn luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc O đến đưởng thẳng d là lớn nhất.
HD:
a. Điều kiện để các đường thẳng có phương trình d đi qua điểm cố định N (x0,y0) là : 
(m-2) x0+(m-1)y0 = 1 với mọi m	
Û ( x0+y0) m - (2x0+y0+1) = 0 với mọi m	
Û ị x0=1;y0 = 1.	
Vậy các đường thẳng d luôn đi qua điểm có định N ( 1;-1)	 
A
b, Gọi A là giao điểm của đường
 thẳng d với trục tung , ta có:
x=0 ị y = do đó 
 N
 OA = 
 1
+ Gọi B là giao điểm của 
 H
đường thẳng d với trục hoành.
Ta có :
 B
 -1
0
y = 0 ị x= do đó OB = 	
	+ Gọi H là khoảng cách từ O đến 
đường thẳng d, ta có 
= (m-1)2 + ( m - 2) 2 = 2m2 - 6m +5 = 2(m -)2 + 	
 ị h2 = 2 .
Giá trị lớn nhất h = Û m = .
Câu 3: 
Cho các đường thẳng (D1) , (D2) và (Dm) có phương trình làn lượt là :
(D1): x+2y = 3
(D2) : 2x-y =1 
(Dm) : 2mx +y = m + 1.
1 Chứng tỏ khi m thay đổi (Dm) luôn đi qua một điểm cố định I. Xác định tọa độ điểm I.
2. Xác định m để (D1) , (D2) và ( Dm) đồng quy.
3. Tìm m để (D1) , (D2) và (Dm) cắt nhau tạo thành một tam giác vuông.
HD:
1. Xét (Dm) : 2mx +y = m + 1
 Û m( 2x - 1 ) +y - 1 = 0
Gọi I (x0; y0) là điểm cố định mà (Dm) luôn đi qua. Thế thì: 
 m( 2x0 -1 ) + y0 - 1 = 0 " m 
 Û 
Vậy (Dm) luôn đi qua điểm cố định I(;1) khi m thay đổi.
2. Tọa đọ giao điểm của (D1) và (D2) là nghiệm của hệ phương trình :
ị giao điểm của (D1) và (D2) là ( 1;1)
Vậy (D1), (D2) và (Dm) đồng quy Û (Dm) đi qua điểm (1;1) là giao điểm của (D1) và (D2).
Û 2m+1=m+1 Û m=0.
3. Nhận xét (D1) không vuông góc, không trùng và không song song với (D2) .
ị (D1), (D2),và (Dm) cắt nhau tạo thành tam giác vuông Û (D1) hoặc (D2) vuông góc với (Dm) .
Câu 4:
	Cho các điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)
Chứng minh 3 điểm A, B ,D thẳng hàng; 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
Tính diện tích tam giác ABC.
HD:	
	a.Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b
Điểm A(-2;0) và B(0;4) thuộc đường thẳng AB nên b = 4; a = 2
Vậy đường thẳng AB là y = 2x + 4.	
Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + 4 nên C không thuộc đường thẳng AB A, B, C không thẳng hàng.	
Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + 4 nên điểm D thuộc đường thẳng AB A,B,D thẳng hàng	
	b.Ta có :
	AB2 = (-2 - 0)2 + (0 - 4)2 =20
	AC2 = (-2 - 1)2 + (0 -1)2 =10
	BC2 = (0 - 1)2 + (4 - 1)2 = 10
 AB2 = AC2 + BC2 DABC vuông tại C	
Vậy SDABC = 1/2AC.BC = ( đơn vị diện tích )	
Ngày soạn: 15/11/2011
Buổi 8-9: các dạng hệ phương trình và phương phap giải
Câu 1:
	Giải hệ phương trình
HD
Câu 2. Giải hệ phương trình : 
 HD Đặt : 
Ta có : u ; v là nghiệm của phương trình :
 ; 
 ; 
Giải hai hệ trên ta được : Nghiệm của hệ là : 
(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị. 
Câu 3, Cho hệ phương trình: x + my = m + 1 (1)
 mx + y = 3m – 1 (2)
a). Giải và bình luận hệ phương trình trên.
b). Không giải hệ phương trình cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất.
HD a). Rút x từ (1) thay vào (2) ta được:
( 1-m 2)y = - ( 1-m) 2 
* Nếu m thì y = ; x = 
* Nếu m = 1 hệ đã cho có dạng: x + y = 2 
	x + y = 2 vô số nghiệm. 
* Nếu m = -1 hệ đã cho có dạng: x - y = 0 
	 -x + y = -4 hệ vô nghiệm. 
Kết luận: . . . 
b). Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: ab / - a /b 0 
	 m 
Kết luận: . . . (0,25đ) .
Câu 4: Giải hệ phương trình:
HD
Ta có: 
Từ (1) ta có / 1 ị xy/	
Từ (2) ta có 1- 4xy / 0ị xy [ 	`	
Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi xy = 	
xy = ị z=0. Thay z=0 vào phương trình (2) được x2-1 = 0 
ị x = ± 1.	(0,25 điểm)
+ x= 1 ị y=
+x = -1 ị y = - 	(0,25 điểm)
Vậy hệ dã cho có nghiệm ( x,y,z) là : ( 1, ,0); (-1,- ,0)	
Câu 5. Giải hệ phương trình: x - y2 - yz -z = 0 (1)
 x - y - y2 - z2 = 0 (2)
 x + y - y3 - z = 0 (3)
HD:
Lấy (1)-(2) ta được: -yz+y-z+z2=0
(y-z)(1-z)=0
do đó (I) (y-x)(1-z)=0
 x-y-y2-z2=0
 x+y-y3-z=0
 1-z=0
 x-y-y2-z=0 (II)
 x+y-y3-z=0
 y-z=0
 x-y-y2-z=0 (III)
 x+y-y3-z=0
Giải hệ (II) ta được: 
 x=1, y=0, z=1
 x=1, y=-1, z=1
 x=7, y=2, z=1
Giải hệ (III) ta được: 
 x=y=z=0
x=, y=z=
x=, y=z=
Câu 6: Giải hệ phương trỡnh sau:
HD: + Hiển nhiờn hệ cú nghiệm là x = y = z = 0.	
+ Với xyz 0 thỡ (I) được viết lại: (II) Cộng ba phương trỡnh của hệ (II) theo vế ta được:
	 (*)	
Trừ phương trỡnh (*) cho từng phương trỡnh của hệ (II) theo vế ta lần lượt cú :
 x = 1, y = 2, z = 3. Vậy hệ phương trỡnh cú hai nghiệm (0; 0; 0) và (1; 2; 3).
Câu7. Tỡm nghiệm nguyờn của hệ: 
HD 	Hệ Û
	Đặt ịx, y là nghiệm của phương trỡnh: 	t2 - ut + v = 0 (a)
	Phương trỡnh cú nghiệm Û u2 – 4v ³ 0	(*)	
	Ta cú hệ: 	
	Thế (1) vào (2) ị v = 8 – z(5 - z) = z2 –5z + 8 
	Hệ cú nghiệm Û (a) cú nghiệm Û (*) xảy ra
	ị (5-z)2 – 4(z2 – 5z + 8) ³ 0 Û - 3z2 + 10z – 7 ³ 0	
	Û (z-1)(-3z+7) ³ 0	
	Từ (3) và do z nguyờn ị z = 1; 2	
	+) +)
	Vậy hệ cú 3 nghiệm nguyờn là: (2; 2; 1); (1; 2; 2);	(2; 1; 2)	
Câu 8 Giải hệ ph