Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

1
1. Hình chóp tam giác 
Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2002). Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có độ dài cạnh 
AB a= . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích của tam giác AMN, 
biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). 
Gợi ý: 
Gọi O là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC, ta có 
3 3
, , .
2 2 6
a a aOA OB OC OG= = = = 
Đặt 0.SG z= > Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, 
tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song 
song với SG (xem hình vẽ). Khi đó 
3 3
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0; .
2 2 2 6
a a a aA B C S z
   
−   
      
      
3 3
; ; , ; ; .
12 4 2 12 4 2
a a z a a zM N
   
−   
   
Tính được 15 .
6
a
z = Suy ra 
2 10
.
16AMN
aS = 
x
y
z
G O
S
A
B
C
Bài 2. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2007). Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB 
và điểm C trên nửa đường tròn đó sao cho AC R= . Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S 
sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, 
SC. Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp . .S ABC 
Gợi ý: 
Ta có , 3.AC R BC R= = Đặt 0.SA z= > 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho ,O C≡ tia Ox chứa A, 
tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và 
song song với SA (xem hình vẽ). Khi đó: 
( ) ( ) ( ) ( )0;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , ;0; .C A R B R S R z Khi đó tính 
được 
8 3 4 2
; ;
9 9 9
R R RH
 
 
 
 và 2 2 2;0; .
3 3
R RK
 
 
 
Thể tích khối chóp .S ABC là: 
3
.
6
.
12S ABC
RV = 
2Rx y
z
A
S
B
C
K
H
Bài 3. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có 
giao tuyến là đường thẳng ∆ . Trên ∆ lấy hai điểm A,B với AB a= . Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong 
mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và .AC BD AB a= = = Tính bán kính 
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. 
Gợi ý: 
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó 
( );0;0 , (0;0;0), ( ; ;0), (0;0; ).A a B C a a D a 
+ Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm 
( )/ 2; / 2; / 2I a a a và bán kính 3 / 2.=R a 
+ Mặt phẳng (BCD) có phương trình 0.x y− = 
+ Khoảng cách từ A đến (BCD) là 
( ) 2,( ) .
2
ad A BCD = 
P
Q
a
a
a
y
z
x
A
B
D
C
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
www.DeThiThuDaiHoc.com
2
Bài 4. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2006). Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác 
đều cạnh a, 2SA a= và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc 
của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM. 
Gợi ý: 
+ Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như 
hình vẽ, lúc đó 
3 3
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0;2 .
2 2 2 2
a a a aA B C S a
      
−      
      
+ Tìm được tọa độ các điểm M, N là 3 2 2; ;
10 5 5
a a aM
 
 
 
 và 
3 2 2
; ; .
10 5 5
a a aN
 
− 
 
+ Thể tích khối chóp A.BCNM là 
3
.
3 3
.
50A BCNM
aV = 
a
2a
z
x
y
N
O
S
C
B
A
M
Bài 5. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối A năm 2011). Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân 
tại B, 2AB BC a= = , hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung 
điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và 
(ABC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. 
Gợi ý: 
+Đặt 0.SA z= > Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó: 
( ) ( ) ( )2 ;0;0 , 0;0;0 , 0;2 ;0 ,A a B C a ( );0;0 , (2 ;0; ).M a S a z 
+ Tìm được điểm ( ); ;0 .N a a 
+ Vectơ pháp tuyến của (SBC) là ( );0;2 .SBCn z a= −





+Vectơ pháp tuyến của (ABC) là ( )0;0;1 .ABCn =





+ Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o 
tìm được ( )2 3 2 ;0;2 3 .z a S a a= ⇒ 
+ Suy ra 3 3SBCNMV a= và 
2 39( , ) .
13
ad AB SN = 
z
yx N
M
C
B
A
S
Bài 6. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại 
B, 3 , 4BA a BC a= = , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết 2 3SB a= và  30 .oSBC = 
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. 
Gợi ý: 
+ Kẻ ,SO BC⊥ khi đó ( )SO ABC⊥ . Tính được 
3, 3 , .SO a OB a OC a= = = 
+ Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó: 
( ) ( ) ( ) ( )3 ;3 ;0 , 3 ;0;0 , ;0;0 , 0;0; 3 .A a a B a C a S a− 
+ Tính thể tích khối chóp S.ABC là 3
.
2 3.S ABCV a= 
+ Phương trình mặt phẳng (SAC) là: 
3 4 3 3 0.x y z a− + + − = 
+ Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là 
( ) 6 7,( ) .
7
ad B SAC = 4a 3a
z
y
x
S
A
B
C
O
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
www.DeThiThuDaiHoc.com
3
Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AD = 3a, 
AB = 2a, AC = 4a,  oBAC 60= . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên AC và CD. Đường 
thẳng HK cắt đường thẳng AD tại E. Chứng minh rằng BE vuông góc với CD và tính thể tích khối tứ diện 
BCDE theo a. 
Giải: 
60 o 
4a 
2a 
3a 
E 
A 
B 
C 
D 
x
z 
y 
H 
K 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với A trùng với gốc tọa 
độ O. 
A(0;0;0), B(2a;0;0), ( )2 ;2 3;0C a a , D(0;0;3a) 
.cos60
o
AH AB a= = . Suy ra tọa độ của 3; ;0
2 2
a a
H
 
  
 
( )2 ;2 3; 3DC a a a= −


 suy ra ( )2;2 3; 3u = − là một vecto chỉ 
phương của DC nên phương trình đường thẳng DC là: 
2
2 3
3 3
x t
y t
z a t
=

=

= −
. Vì K thuộc DC nên ( )2 ;2 3 ;3 3K t t a t− . 
Ta có ( )2 2 ;2 3 ;3 3BK t a t a t= − −


 
13
. 0
25
a
BK DC t= ⇔ =



 



. Vậy 26 26 3 36; ;
25 25 25
a a a
K
 
  
 
Vì E thuộc trục Az nên E(0;0;z). 3; ;
2 2
a a
EH z
 
= −  
 




; 
27 27 3 36
; ;
50 50 25
a a a
HK
 
=   
 




Vì E, H, K thẳng hàng nên ;EH HK



 



 cùng phương, do đó suy ra 4
3
a
z = − . Vậy E(0;0; 4
3
a
− ). 
4
2 ;0;
3
a
EB a
 
=  
 




 và ( )2 ;2 3; 3DC a a a= −


 nên EB


 .DC


 = ( )42 .2 0.2 3 3 0
3
a
a a a a+ + − = 
Vậy BE vuông góc với CD. 
A12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng 
(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 
60o. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. 
Giải: 
60o 
O H 
C 
A 
B 
S 
x 
y 
z 
Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz 
như hình vẽ. 
Ta có: 0; ;0
2
a
A
 
 
 
, 0; ;0
2
a
B
 
− 
 
, 
3
;0;0
2
a
C
 
  
 
6
a
OH =
2 2 7
3
a
CH CO OH⇒ = + = 
21
.tan60
3
o a
SH CH⇒ = = 
21
0; ;
6 3
a a
S
 
⇒ −  
 
• 
3
.
1 7
.
3 12
S ABC ABC
a
V SH S= = 
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
www.DeThiThuDaiHoc.com
4
• ( )0; ;0AB a= −


 ; 2 210; ;
3 3
a a
SA
 
= −  
 



; 
3
; ;0
2 2
a a
BC
 
=   
 




; 
2 2 2 221 7 3 24
; ; ; ;
6 2 3 3
SA BC a a a SA BC a
 
   = − ⇒ =     
 


 


 

 



 và 37; .
2
SA BC AB a  = − 


 


 



. 
Suy ra: ( ) 3
2
; . 7 3 42
; .
2 824;
SA BC AB a a
d SA BC
aSA BC
 
 
= = =
 
 


 


 





 


 . ☺ 
B12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chóp vuông góc của A trên 
cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a. 
Giải: 
KO
A
B
C
S
x
y
z
H
Gọi K là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) thì K là tâm 
của tam giác ABC. 
Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như 
hình vẽ. 
Ta có: 0; ;0
2
a
A
 
− 
 
, 0; ;0
2
a
B
 
 
 
, 
3
0; ;0
2
a
C
 
  
 
. 
3
3
a
CK =
2 2 33
3
a
SK SC CK⇒ = − =
3 33
0; ;
6 3
a a
S
 
⇒   
 
3 33
0; ;
3 3
a a
SC
 
= −  
 



; ( )0; ;0AB a=


 
. 0AB SC AB SC= ⇒ ⊥



 


( )AB SC AB ABH
AB OH
⊥ 
⇒ ⊥⊥ 
. 11
4
SK OC a
OH
SC
⇒ = = . 
Giải: 
( ) 21 5. ,( )
3 3
ABCD ACD ACD
a
V S d B ACD S= ⇒ = . Từ đây tính được 2 5;
3 3
A
a a
CD h= = . 
O 
A 
C 
D 
B 
x 
y 
z 
Gọi O là trung điểm của CD. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. 
Ta có: 50; ;0
3
a
A
 
  
 
, ;0;0 , ;0;0 , ; ;
3 3 3
a a a
C D B x y
     
     
     
 với y > 0 
Từ giả thiết BC = BD = a ta giải ra được 0;
3
a
x y= = . 
Vậy 0; ;
3 3
a a
B
 
 
 
. 
2 2
2 2
; 0; ;
3 3
a a
BC BD
 
  = −    
 



 



. 
( )( ) 0;0;1ACDn = ; ( )( ) 0;1; 1BCDn = − . 
Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). 
Ta có: ( )( ) ( )
2 2 2 2 2 2
0.0 0.1 1.( 1) 1
cos cos ; 45
20 0 1 . 0 1 1
o
ACD BCDn nα α
+ + −
= = = ⇒ =
+ + + +
 
. 
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
www.DeThiThuDaiHoc.com
5
Toán học & Tuổi trẻ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a và  oABC 30= . 
Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy một góc 60o. Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên 
mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 
Giải: 
B 
A 
C 
S 
y 
x
z 
H 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O 
trùng điểm A. 
A(0;0;0), ( )3 ;0;0 , 0; ;0 , ; ;
2 2
a a
B C S x y z
   
       
 với 
0; 0; 0x y z> > > ( ); ; ;0H x y với H là hình chiếu vuông 
góc của của S trên (ABC). 
( )1 0;0;1n =



 là vectơ pháp tuyến của (ABC) và 
2
3 3
; 0; ;
2 2
a a
n AB AS z y
 
 = = −    
 


 


 


 là vectơ pháp tuyến 
của (SAB). 
3 ; ;0;
2 2
a a
n AC AS z x
  = = −    


 


 


 là vectơ pháp tuyến của (SAC). 
• ( ) 1 2 2 2
2 2
1 2
. 1
cos ( ),( ) 3
2
n n y
SAB ABC z y
n n z y
= ⇔ = ⇔ =
+


 




 

 (1) 
• ( ) 1 3 2 2
2 2
1 3
. 1
cos ( ),( ) 3
2
n n x
SAC ABC z x
n n z x
= ⇔ = ⇔ =
+


 




 

 (2) 
Từ (1), (2) ta có x y= . Nên ( ); ;0H x x . Vì H thuộc BC nên 3 ; ;0 , ; ;0
2 2 2
a a a
BC CH x x
   
= − = −       



 



 cùng 
phương, suy ra ( )
32
3 2 1 3
22
a
x
x a
x
aa
−
= ⇔ =
+
−
 thay vào (1), ta được ( )
3
2 1 3
a
z =
+
. 
• ( )
( ) 32
.
3 31 1 3 3
. . .
3 3 8 322 1 3
S ABC ABC
aa a
V SH S∆
−
= = =
+
. ☺ 
A
B
C
S
x
y
z
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng 
với điểm A. 
Ta có A(0;0;0), B(8a;0;0), C(0;6a;0), S(x;y;z) với z>0 
SA=7a 2 2 2 249x y z a⇔ + + = (1) 
SB=9a ( )2 2 2 28 81x a y z a⇔ − + + = (2) 
SC=11a ( )22 2 26 121x y a z a⇔ + − + = (3) 
Giải hệ (1), (2) và (3), ta được S(2a;-3a;6a). 
Suy ra đường cao của hình chóp S.ABC là 6
S
h z a= = . 
21
. 24
2
ABC
S AB AC a= = . 
3
.
48
S ABC
V a= 
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
www.DeThiThuDaiHoc.com
6
2. Hình chóp tứ giác 
Bài 1. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 
a, góc  60 ,oBAD = SA vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD và .SA a= Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt 
phẳng (P) đi qua 'AC và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại ', 'B D . Tính thể tích khối chóp 
. ' ' 'S AB C D . 
Gợi ý: 
Gọi O là giao điểm của AC và DB. 
Vì tam giác ABD đều nên 3, .
2 2
a aOB OD OA= = = 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy 
chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song 
song với SA (xem hình vẽ). Khi đó: 
3 3
;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 , 0; ;0 ,
2 2 2 2
a a a aA B C D
      
− −      
      
3
' 0;0; , ;0; .
2 2
a aC S a
  
  
   
x y
z
O
CD
A B
S
Tìm được 3' ; ;
6 3 3
a a aB
 
 
 
 và 3' ; ; .
6 3 3
a a aD
 
− 
 
Thể tích khối chóp . ' ' 'S AB C D là: 
3 3 3
. ' ' ' . ' ' . ' '
1 1 1 3 1 3 3
, ' . ' , ' . ' . . .
6 6 6 6 6 6 18S AB C D S AB C S AC D
a a aV V V SA SC SB SA SC SD   = + = + = + =   


 


 


 

 


 



Bài 2. (Trích đề ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 
, 2,AB a AD a SA a= = = và SA vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 
AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng 
(SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB. 
Gợi ý: 
+Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho ,O A≡ tia Ox chứa B, tia 
Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0;0;0 , ;0;0 , ; 2;0 , 0; 2;0 , 0;0; ;A B a C a a D a S a 
2 20; ;0 , ; ; .
2 2 2 2
a a a aM N
   
   
   
( ) ( ) ( )20;0; , ; 2;0 , 0; ; , ;0; .2aAS a AC a a SM a SB a a
 
= − = − 
 



 


 


 


Vectơ pháp tuyến của (SAC) là ( )2 2, 2; ;0 .AS AC a a  = − 


 


 
x
z
y
I
N
M D
CB
A
S
Vectơ pháp tuyến của (SBM) là 
2
22
, ; ;0 .
2
aSM SB a
 
  = − −  
 



 


Vì 4 4, . , 0AS AC SM SB a a    = − =   



 


 


 


 nên ( ) ( ).SAC SBM⊥ 
Ta có 2 2 .IC BC IC IA
IA AM
= = ⇒ = −


 


 Từ đây tìm được 2; ;0 .
3 3
a aI
 
 
 
Thể tích khối tứ diện ANIB là 
3 31 1 2 2
, . . .
6 6 6 36ANIB
a aV AN AI AB = = = 



 

 



www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
www.DeThiThuDaiHoc.com
7
Bài 3. (Trích đề ĐH Khối A năm 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD 
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các 
cạnh SB, BC, CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. 
Gợi ý: 
Gọi O là trung điểm AD, khi đó ( ).SO ABCD⊥ Chọn 
hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy 
chứa N và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó: 
( ) 3;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0; ,
2 2 2
3
; ;0 , ; ; .
2 2 4 2 4
a a aA B a N a S
a a a a aP M
    
    
     
  
−   
   
Ta có: 3; ; , ; ;0 .
4 2 2 2
a a a aAM BP a
   
= − = − −   
  




 



Thể tích của khối tứ diện CMNP là 
3 3
.
96CMNP
aV = 
x
z
y
P
M
NO
CD
A
B
S
Bài 4. (Trích đề ĐH Khối B năm 2007). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông 
cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của 
BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. 
Gợi ý: 
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chọn hệ trục tọa độ 
Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz 
chứa S (xem hình vẽ). Đặt SO=z, Khi đó: 
( )2 2 2;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , 0;0; ,
2 2 2
2 2 2 2
;0;0 , ; ;0 , ;0; ,
2 4 4 4 2
2 2 2 2
; ; ; ; ; .
2 2 2 4 2
a a aA B D S z
a a a a zC N I
a a a a zE z M
     
−     
     
     
− −     
     
   
   
   
Ta 
có 3 2 2;0; , 0; ;0 .
4 4 4
a z aMN BD
   
= = −   
   




 



a
z
x y
N
M
E
I
O
CD
A B
S
+ . 0 .MN BD MN BD= ⇒ ⊥




 



+ Khoảng cách giữa MN và AC là 2( , ) .
4
ad MN AC = 
Bài 5. (Trích đề ĐH Khối D năm 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, 
  90 , , 2 .oABC BAD AB BC a AD a= = = = = Cạnh bên SA vuông góc với đáy là 2.SA a= Gọi H là hình 
chiếu của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt 
phẳng (SCD). 
Gợi ý: 
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
www.DeThiThuDaiHoc.com
8
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho ,O A≡ tia Ox chứa B, tia 
Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0;2 ;0 , 0;0; 2 .A B a C a a D a S a Tìm 
được 
2 2
;0; .
3 3
a aH
 
 
 
Phương trình mặt phẳng (SCD) là: 2 2 0.x y z a+ + − = 
Khoảng cách từ H đến (SCD) là ( ), ( ) .
3
ad H SCD = 
a
2a
a
z
x
y
C
D
A
B
S
H
Bài 6. (Trích đề ĐH Khối B năm 2008). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, 
, 3SA a SB a= = và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 
các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng 
SM, DN. 
Gợi ý: 
Gọi O là hình chiếu của S trên AB. Ta có: 
3 3
, , .
2 2 2
a a aSO OA OB= = = 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy 
vuông góc với AB và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi 
đó: 
3 3
;0;0 , ;0;0 , ;2 ;0 , ;2 ;0 ,
2 2 2 2
a a a aA B C a D a       − −       
       
3 30;0; , ;0;0 , ; ;0 .
2 2 2
a a aS M N a
     
− −     
    
2a
a
x
z
y
N
M
CB
A
D
O
S
+ Thể tích của khối chóp S.BMDN là 
3
.
3
.
3S BMDN
aV = 
+ cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN là  5cos( , ) .
5
SM DN = 
Bài 7. (Trích đề ĐH Khối A năm 2009). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và 
D; 2 , ;AB AD a CD a= = = góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o . Gọi I là trung điểm của 
cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp 
S.ABCD theo a. 
Gợi ý: 
Từ giả thiết suy ra ( ).SI ABCD⊥ Đặt 0.SI z= > 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O I≡ , tia Ox chứa D, 
tia Oy vuông góc với AB và tia Oz chứa S (xem hình 
vẽ). Khi đó: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( );0;0 , ;2 ;0 , ; ;0 , ;0;0 , 0;0; .A a B a a C a a D a S z− − 
+ Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 
bằng 60o ta tìm được 3 15 .
5
a
z = 
+ Thể tích khối chóp S.ABCD là 
3
.
3 15
.
5S ABCD
aV = 
2a
2a
a
z
y
x
I
C
BA
D
S
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
www.DeThiThuDaiHoc.com
9
Bài 8. (Trích đề ĐH Khối A năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi 
M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc 
với mặt phẳng (ABCD) và 3.SH a= Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai 
đường thẳng DM và SC theo a. 
Gợi ý: 
Trước hết chứng minh được .DM CN⊥ 
+ 2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 5 5
.
5
aDH
HD DN DC a a a
= + = + = ⇒ = 
+ 
5 3 5
.
2 10
a aDM HM DM DH= ⇒ = − = 
+ 
5 2 5
;. .
10 5
a aHN HC= = 
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O H≡ , tia 
Ox chứa N, tia Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình 
vẽ). Khi đó: 
( )
5 5 2 5
;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 ,
10 5 5
3 50; ;0 , 0;0; 3 .
10
a a aN D C
aM S a
     
−     
     
 
− 
 
a
x y
z
H
N
M
CB
A D
S
+ Thể tích khối chóp S.CDNM là 
3
.
5 3
.
24S CDNM
aV = 
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC là: ( ) 2 57, .
19
ad DM SC = 
Bài 9. (Trích đề ĐH Khối D năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. cạnh 
bên ,SA a= hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, 
4
ACAH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối 
tứ diện SMBC theo a. 
Gợi ý: 
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O H≡ , tia 
Ox song song với tia AB, tia Oy song song với tia 
AD và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó: 
2
2 2 2 2 14
4 4
a aSH SA AH a
 
= − = − = 
 
 do đó 
3 3 3
; ;0 , ; ;0 , ; ;0 ,
4 4 4 4 4 4
3 14
; ;0 , 0;0; .
4 4 4
a a a a a aA B C
a a aD S
     
− − −     
     
  
−   
   
a
a
x
y
z
M
H
DA
B C
S
Ta có 2 2 2SC SH CH a AC= + = = nên tam giác SAC cân tại C do đó M là trung điểm SA. Suy ra 
14
; ; .
8 8 8
a a aM
 
− − 
 
 Thể tích khối chóp S.BMC là 
3
.
14
.
48S BMC
aV = 
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
www.DeThiThuDaiHoc.com
10
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là bình hành, 4 ,AD a= các cạnh bên của hình chóp bằng 
nhau và bằng 6a . Tìm côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp 
S.ABCD lớn nhất. 
Gợi ý: 
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD; M,N lần lượt là 
AB và AD. Từ giả thiết suy ra