Đềthi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Thanh oai
 ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2015 - 2016
Môn thi : Toán Thời gian làm bài: 150 phút 
(Không kể thời gian giao đề)
Bài I: (5,0 điểm)
1) Cho biểu thức: 
a) Rút gọn P
b) Tìm x để A có giá trị nguyên.
2) Tìm số tự nhiên n để chia hết cho 25 
Bài II: (4,0 điểm)
Giải phương trình: 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Bài III: (4,0 điểm).
Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + xz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
P = 
Cho a, b, c dương thỏa mãn: . Tính giá trị biểu thức:
B = 
Bài IV:(6 điểm)
 Cho đường tròn (O,R). từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với đường tròn (D, E là tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt tia AD, AE lần lượt ở B và C.
Chứng minh: DC = EB.
Chứng minh: DA.DB = R2.
Gọi K là điểm trên cung nhỏ DE. Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O,R) cắt AD, AE lần lượt tại M, N. Chứng minh BC2 = 4BM.CN.
Cho OA = 2R.Tìm vị trí của K để BM + CN đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài V: (1 điểm) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án
Điểm
Bài I
a
ĐKXĐ: x > 0, x 
0,25
1)a
Rút gọn = 
 === =
2,0
1)b (2điểm)
Chứng minh A > 0 do và 
Lại có A = = 
0,5
Suy ra: 0 < A < 2,5
A = 1 => = 1 ó ó x = (thỏa mãn ĐK x > 0, x )
A = 2 => = 2 ó ó x = 4 (không thỏa mãn ĐK x > 0, x )
Kết luận
0,5
0,5
0,25
Bài I
2)
 (1điểm)
= = 
02,5
Nếu n lẻ thì Chia hết cho 25 => A chia hết cho 25
0,25
Nếu chẵn thì 9n tận cùng bằng 1, còn 16n tận cùng bằng 6 suy ra tận cùng băng 7 => tận cùng bằng 4 =>A không chia hết cho 25.
Vậy n lẻ thì A chia hết cho 25
0,25
0,25
Bài II
1)
(2điểm)
 ĐK: 
0,25
 ó 
ó 
ó ó 
Giải pt: vô nghiệm
Giải pt: ĐK 1 
 ó ó 
x = 8 (loại) ; x = 3 (chọn)
0,5
0,5
0,5
0,25
Bài II
2)
(2điểm)
Biến đổi phương trình
 x2+2y2 +2xy +3y-4 =0(x2+2xy+ y2) + y2 + 3y - 4 = 0
 (y + 4)(y -1) = -(x+y)20
 - 4 y1 vì y thuộc Z nên y 
KL Có 6 cặp (x;y) thỏa mãn phương trình là
(4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0)
0.5
0.5
0.5
0,5
Bài III
1)
(2điểm)
Từ điều kiện xy + yz + xz = 1 => 1+ x2 = xy + yz + xz + x2 = (x + y)( + z)
Tương tự ; 
Cộng vế các bất đẳng thức 
P = 
Tìm được dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài III
2)
(2điểm)
Từ diều kiện: ó 
 Xét 
Tương tự..
Khi đó B = 
Kết luận.
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài IV
1)
(1,5điểm)
Vẽ hình đúng đến câu a
+ Chứng minh được tứ giác DBCE là hình thang cân
+ Chỉ ra BE = CD
0,25
1,0
0,25
Bài IV
2)
(1,5điểm)
 Áp dụng hệ thức lượng váo tam giác vuông AOB đường cao OD chứng minh được DA.DB = R2.
1,5
Bài IV
3)
(2,5điểm)
Chứng minh (1) 
Chứng minh (2) 
Từ (1) và (2) ta có: 
Chứng minh đồng dạng với (gg) 
Suy ra Hay 
Kết luận....
0,5
0,5
0,5
0, 5
Bài IV
4)
(1,5điểm)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ...
Tính được ; 
Kết luận: min(BM + CN) = Khi K là giáo điểm của AO với đường tròn. 
0,5
0,5
0,5
Bài V
(1điểm)
Nếu y = 0 thì pt trở thành ó x = 2; x = 3
Nếu y = 1 thì pt trở thành ó x = 1; x = 4
Nếu thì 
 Xét x = 3k () thì VT = ...= không chia hết cho 3
Xét x = 3k +1 () thì VT =...= không chia hết cho 9
Xét x = 3k +2 () thì VT = ---= không chia hết cho 3
không có số tự nhiên lớn hơn 2 thỏa mãn bài toán
Kết luận (x;y) = (2;0); (3;0); (4;1); (1;1)
0,25
0,25
0,25
0,25