Đề và đáp án thi Olympic Toán lớp 8 - Năm học 2014-2015

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN: TOÁN – LỚP 8.
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1. 
Tính giá trị biểu thức: 
Phân tích đa thức thành nhân tử. Chứng minh rằng với thì 
 là hợp số.
Câu 2. 
Tìm số tự nhiên a và b thỏa mãn: a – b = .
Câu 3. 
Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
A = .
b) Biết xy = 13 và x2y + xy2 + x + y = 2016. Hãy tính x2 + y2
Câu 4. 
Cho tam giác ABC có C = 600. Đường phân giác, trung tuyến AD (DBC). Lấy M là điểm bất kì thuộc cạnh Bc. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm cảu AM.
Chứng minh I cách đều các điểm A, F, D, M, E.
Tính DIF.
Gọi K là giao điểm AM và EF. Chứng minh KA.KM = KE.KF.
Câu 5. Cho 
Chứng minh rằng: 
-------------------Hết------------------
Đ/á tham khảo:
Câu 1. 
Tính giá trị biểu thức: 
= = = .
b) .
Xét n chẵn và n lẻ suy rachia hết cho 2. Nên là hợp số.
Câu 2. 
 a) Xét 2 Th đưa về phường trình tích.
b) Tìm số tự nhiên a và b thõa mãn: a – b = .
ĐK: b0.
b - 1
 1
-1
a – b - 1
 1
-1
a
4
2
b
2
0(loại)
Vậy (x,y) = (4,2).
Câu 3. 
Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
A = 
Cách1: VT = .
Mặt khác: 
Nên: và Thay vào trên ta được: VT.
Dấu “=”a = b = c.
Cách 2: Đặt a+b-c = x; b+c-a = y; c+a-b = z.
b) 
 Do x2y + xy2 + x + y = 2016
 Ta có: x2 + y2 = 
Câu 4. 
Cho tam giác ABC có C = 600. Đường phân giác, trung tuyến AD (DBC). Lấy M là điểm bất kì thuộc cạnh Bc. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm cảu AM.
Chứng minh I cách đều các điểm A, F, D, M, E.
Tính DIF.
Gọi K là giao điểm AM và EF. Chứng minh KA.KM = KE.KF.
K
D
I
F
E
B
C
A
M
Theo tính chất đườn trung tuyến của tam giác vuông AEM, ADM, AMF và gt AI = IM ta có đfcm.
Góc MID + DIF + FIA = 1800
Hay 2IAD +DIF + (1800 - 2IAF) = 1800
 2IAD + DIF + 1800 – 2IAD – 2DAF = 1800
DIF = 1800 – 2DAF = 600.
Tam giác DIF đều nên tứ giác DEIF là hình thoi EF ID do đó góc IFE = 300.
Góc AFI + góc IFK + góc KFM = 900
Hay Góc AFI + góc KFM + 300 = 900
Góc AFI + góc IFK = 600(1)
Mà góc EAK + góc KAD = 600 (2)
Có góc IAF + góc IFA ( do tam giác IAF cân) (3).
Từ (1)(2)(3) ta có góc EAK = góc KFM (*)
KA.KM = KE.KF
Câu 5. Cho 
Cách 1: Chứng minh rằng: 
Mà: nên ....
Tương tự suy ra đfcm.