Đề và đáp án thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (1,5 điểm): Cho biểu thức: 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm để 
Câu 2 (1,5 điểm): Cho hệ phương trình: (với là tham số).
a) Giải hệ phương trình trên khi 
b) Tìm để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn hệ thức: 
Câu 3 (3,0 điểm):
a) Cho ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Câu 4 (3,0 điểm): Cho đoạn thẳng có độ dài bằng Trên đoạn lấy điểm sao cho Tia vuông góc với tại điểm gọi là một điểm bất kỳ thuộc tia ( không trùng với ). Từ điểm kẻ đường thẳng vuông góc với cắt hai đường thẳng và lần lượt tại 
a) Tính giá trị theo 
b) Xác định vị trí điểm để tam giác có diện tích nhỏ nhất .
c) Chứng minh rằng khi điểm thay đổi trên tia thì đường tròn đường kính luôn 
có một dây cung cố định.
Câu 5 (1,0 điểm): Cho dãy gồm số: 
Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số bất kỳ trong dãy và viết thêm vào dãy một số có giá trị bằng vào vị trí của hoặc Cứ làm như thế đối với dãy mới thu được và sau lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số. Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó.
-----------Hết-----------
Ghi chú:	- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
	- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.. Số báo danh:...
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(05 trang)
I) Hướng dẫn chung:
1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định.
 	2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch 
	hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo.	
3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả.
4) Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó.
II) Đáp án và thang điểm:
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
Câu 1
(1,5 đ)
Cho biểu thức: 
a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức .
Điều kiện: Từ đó: 
0,25
Biến đổi: 
0,25
và 
0,25
Từ đó: 
0,25
b) (0,5 điểm) Tìm để .
Biến đổi: 
0,25
 (thỏa mãn điều kiện). Vậy để thì 
0,25
Câu 2
(1,5 đ)
Cho hệ phương trình: (với là tham số)
a) (0,5 điểm) Giải hệ phương trình trên khi .
Thay ta được hệ: 
0,25
Kết luận: với thì hệ có nghiệm duy nhất: 
0,25
b) (1,0 điểm) Tìm để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn hệ thức: 
Dùng phương pháp thế, ta có:
0,25
Nên hệ luôn có nghiệm duy nhất: 
0,25
Thay vào hệ thức: 
Ta được: 
0,25
 . 
Kết luận: để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn hệ thức: 
 thì 
0,25
Câu 3
(3,0 đ)
a) (1,5 điểm) Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Chứng minh:
 , . (1)
Thật vậy: (đúng)
 Dấu 
0,25
Áp dụng BĐT (1) ta có: 
 Dấu .
0,25
0,25
Tương tự có: 
0,25
. Do 
0,25
Vậy .
0,25
b) (1,5 điểm ) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Có: 
 (1)
0,25
Vì , nên từ và chẵn.
0,25
Giả sử lẻ và 
0,25
Vì là số chính phương, nên và cũng là hai số chính phương.
0,25
Do 
0,25
Khi , có .
Vậy có hai cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 
0,25
Câu 4
(3,0 đ)
Cho đoạn thẳng có độ dài bằng . Trên đoạn lấy điểm sao cho . Tia vuông góc với tại điểm , gọi là một điểm bất kỳ thuộc tia ( không trùng với ). Từ điểm kẻ đường thẳng vuông góc với cắt hai đường thẳng và lần lượt tại , .
a) (1,0 điểm) Tính giá trị theo .
Ta có: (Cùng bù với góc ); 
0,25
 và đồng dạng với nhau(g-g)
0,25
0,25
Do 
0,25
b) (1,0 điểm) Xác định vị trí điểm để tam giác có diện tích nhỏ nhất .
 nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất.
0,25
Ta có: ( Theo chứng minh phần a)
 Dấu .
0,5
 nhỏ nhất bằng khi thuộc tia sao cho .
0,25
c) (1,0 điểm) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia thì đường tròn đường kính luôn có một dây cung cố định.
Gọi giao điểm của đường tròn đường kính với đường thẳng AC là M, N ( M nằm giữa A và B) M, N đối xứng qua DE.
0,25
Ta có: Hai tam giác và đồng dạng (g-g)
 (1)
 Hai tam giác và đồng dạng (g-g)
 (2)
0,25
T ừ (1) v à (2) suy ra 
 (Do )
0,25
 là hai điểm cố định. 
Vậy đường tròn đường kính luôn có dây cung cố định.
0,25
Câu 5
(1,0 đ)
Cho dãy gồm số: 
Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số bất kỳ trong dãy và viết thêm vào dãy một số có giá trị bằng vào vị trí của hoặc Cứ làm như thế đối với dãy mới thu được và sau lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số. Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó.
Với hai số thực bất kỳ ta luôn có:
 (*)
0,25
Với dãy số thực bất kỳ , ta xét “Tích thêm ”:
Áp dụng cách biến đổi dãy như trong đề bài kết hợp với nhận xét (*), ta nhận thấy “Tích thêm ” không thay đổi với mọi dãy thu được.
0,25
Với dãy đã cho ban đầu của bài toán, “Tích thêm ”:
0,25
Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy còn lại chỉ còn một số là thì “Tích thêm ” đối với dãy cuối là: 
Vậy ta có: 
Bài toán được giải quyết; và sau lần biến đổi dãy theo đúng yêu cầu của bài toán ta thu được số .
0,25
-----------------------Hết----------------------