Đề và đáp án thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Nguyễn Phước Vệ

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2011 – 2012
 Môn thi : 	 TOÁN
 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 Ngày thi : 03/4/2012
Câu 1 (2đ): Thực hiện phép tính:
Câu 2 (4đ):
a/ CMR: 2139+3921 chia hết cho 45
b/ Tìm a,b thuộc N∗ sao cho:
Câu 3 (6đ):
a/ Giải phương trình: 
b/ Tìm k để phương trình  x2-(2+k)x+3k=0  có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 10
c/ Cho biểu thức  với x; y≥0 và x+y=2012.
Tìm GTNN của A
Câu 4 (5đ):
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp (O;R). Các đường cao AD,BE,CF của tam giác cắt nhau tại I.
a/ Chứng minh tâm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
b/ Giả sử BÂC=600. Tính diện tích tứ giác AEOF theo R
Câu 5 (3đ):
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt các cạnh AB,AC của tam giác theo thứ tự ở P,Q. CMR:
a/PQ2+AP.AQ=AP2+AQ2
b/AP/BP+AQ/CQ=1
BÀI GIẢI SƠ LƯỢC:
Câu 1: 
Câu 2:
a) + 2139+3921 chia hết cho 9:
2139+3921=(3.7)39+(3.13)21=321(318.739+1321) chia hết cho 9.
 + 2139+3921 chia hết cho 9:
2139+3921= (2139-139)+(3921+121)=20M+40N (M; N nguyên)
 =20(M+2N) chia hết cho 5
 + (9;5)=1 =>2139+3921 chia hết cho 45.
b) 
Do a nguyên => 
Xét các trường hợp ta được (a=28; b=2); (a=4; b=14)
Câu 3 (6đ):
a/ Giải phương trình: 
ĐK: x≥2;y≥1;z≥0
b/ Tìm k để phương trình  x2-(2+k)x+3k=0  có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 10.
ĐK: r≥0; S>0; P>0
r=k2-8k+4≥0 ó (k-4)2≥12 ó k≥4+2 hoặc k≤4-2
S>0 ó 2+k>0 ó k>-2
P>0 ó 3k>0 ó k>0
KL: 0≤k≤4-2 hoặc k≥4+2
Tìm k sao cho x12+x22=100 ó (x1+x2)2-2x1x2=100 ók2-2k-96=0 ó k1=1+; k2=1-
=> k1=1+ thỏa mãn ĐK.
c/ Cho biểu thức  với x; y≥0 và x+y=2012.
 Tìm GTNN của A
Thêm bớt 2012 với x+y=2012 ta được:
Vì x; y ≥0 => A≥2012 
Vì x + y = 2012 suy ra giá trị nhỏ nhất của A là khi x = 0; y = 2012 hoặc x = 2012; y = 0.
+Cách khác: Giả sử x≥y≥0 
=> 
=> GTNN của A là khi x=0 và y=2012.
Vì x; y vai trò như nhau => GTNN của A là khi x=0 và y=2012 hoặc x=2012 và y=0
Câu 4:
Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
AEIF nội tiếp => FAI=FEI
AEDB nội tiếp => FAI=BED
FEI=BED => EI là phân giác FED.
Tương tự FI là phân giác EFD.
I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Tính diện tích tứ giác AEOF theo R.
Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)=> xAB=ACB
BFEC nội tiếp => AFE=ACB
xAB=AFE => EF//Ax =>OAFE
SAEOF=OA.FE/2
BFEC nội tiếp =>rAFE~rACB (cgc)=> EF/BC=AE/AB=cosBAE=1/2
BAC=600=> sdBC=1200=> BC=R=> EF=
SAEOF=OA.FE/2=R. 
Câu 5:
Kẻ QH vuông góc với AP.
Thế vào PQ2=HP2+HQ2 ta được đpcm.
AP+PQ+AQ=AP+PE+AQ+QF=2AE=AB=AC
 //;\............