Đề và đáp án học sinh giỏi lớp 9 môn Toán

PHÒNG GD-ĐT ĐÔNG HÀ
Câu 1: (1đ)
 Cho 3 số x, y, z khác không thoả mãn . 
 Chứng minh rằng trong 3 số x, y, z luôn tồn tại 2 số đối nhau.
Câu 2: (1đ) Cho n Î N*. Chứng minh rằng : 
Câu 3: (1đ) Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Câu 4: (1đ) Chứng minh rằng : không chia hết cho 125, n N. 
Câu 5:(1,5đ) a) Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương.
 b) Cho a + 1 và 2a + 1 (a Î N) đồng thời là hai số chính phương. 
 Chứng minh rằng a chia hết cho 24.
Câu 6: (1,5đ)Tìm nghiệm nguyên của các phương trình: 
 a) b) 
Câu 7: (3đ) Cho tam giác đều ABC với tâm O. Gọi M là điểm bất kì bên trong tam giác ABC. Kẻ 
a) Chứng minh rằng: MH + MK + MI = h ( h là chiều cao của tam giác ABC).
b) Đường thẳng MO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại A’, B’, C’. 
 Chứng minh rằng: .
---------------Hết----------------
ĐÁP ÁN
Câu 1: Từ 
 Vậy trong 3 số x, y, z luôn tồn tại 2 số đối nhau. 
Câu 2 :
Với n = 1, ta có : (đúng)
Với n ³ 2, ta có : 
 Mặt khác: 
 Vậy (đpcm)
Câu 3: 
Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : 
 (1)
 (2)
 (3)
Từ (1), (2), (3) Þ (vì x + y + z = 1)
 Þ 2A ³ 2 Þ A ³ 1
 Vậy Min A = 1 Û 
Câu 4: 
 Giả sử tồn tại n Î N sao cho 125 Þ P 5
 Þ 
 Þ k lẻ
 Đặt k = 2m + 1, m Î N ta có : 2n = 5(2m + 1) – 1 Þ n = 5m + 2
 Khi đó :
 không chia hết cho 125, trái với điều giả sử.
 Vậy không chia hết cho 125, với mọi n N.
Câu 5:
a) Đặt , với a Î N (1) 
 Từ (1) Þ a chẵn Þ Þ (2)
 Mặt khác: (3) 
 Từ (2) và (3) Þ n chẵn Þ n = 2m, (m Î N)
 pt (1) (*)
 Vì nên từ (*) Þ 
Với m = 1 Þ n = 2 Þ 
Với m = 3 Þ n = 6 Þ 
 Vậy thì là số chính phương.
b) Đặt a + 1 = k2, 2a + 1 = m2 , (k, m Î N)
 Vì 2a + 1 lẻ nên m2 lẻ Þ m lẻ Þ m = 2t + 1, (t Î N) 
 Þ 2a + 1 = (2t + 1)2 Þ a = 2t(t + 1) là số chẵn 
 Þ a + 1 lẻ Þ k2 lẻ Þ k lẻ Þ k = 2n + 1, (n Î N) 
 Do đó từ a + 1 = k2 Þ a = (k – 1)(k + 1) = 4n(n + 1) 8 (1)
Mặt khác: k2 + m2 = a + 1 + 2a + 1 = 3a + 2 
 hay (2)
Từ (1) và (2) Þ , (vì (3; 8) = 1)
 Vậy a chia hết cho 24.
Câu 6: a) (1)
 Ta có Þ 
 Do đó từ (1) Þ (*)
 Vì x2 và x2 + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên từ (*) Þ
 Þ 
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm nguyên là : (0 ; 1), ( ; -1)
b) (1) 
 Từ (1) Þ 2x > 1 Þ x > 0 Þ 
Xét y là số chẵn : Ta có : 
 (vì y chẵn)
 Do đó từ pt(1) Þ Þ x = 1 Þ y = 0
Xét y là số lẻ : đặt y = 2m + 1, (m Î N) .Ta có : 
 Do đó từ pt(1) Þ Þ x = 2 Þ y = 1
 Vậy pt đã cho có 2 nghiệm nguyên : (1; 0), (2; 1) 
Câu 7: 
Chứng minh: 
a) Ta có: 
 (đpcm)
b) Từ O kẻ 
 Theo kết quả câu a ta có: 
 OH’ + OK’ + OI’ = h
 Mà O là tâm của tam giác đều ABC nên:
Ta có: MH // OH’ nên: (1)
 OK’ // MK nên: (2)
 IM // OI’ nên: (3)
Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta có: 
 (vì OH’ = OK’ = OI’)
 Vậy (đpcm)
--------------Hết--------------