Đề thi vòng I, chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2015 - 2016 môn Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU
ĐỀ THI VÒNG I, CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
Môn Toán – ( Thời gian làm bài 150 phút)
---------------------------------------------
Câu 1. (4 điểm)
Rút gọn biểu thức sau: M = .
Tính A = với x = .
Câu 2. (4 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Chứng minh chia hết cho 24, với a, b, c Z.
Câu 3. (4 điểm) 
 a. Với . Chứng minh bất đẳng thức: 
 b. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 
Câu 4. (2 điểm) 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3xy + 3yz + 3zx – xyz trong đó x, y, z là ba số dương thỏa mãn .
Câu 5. (6 điểm)
 1. Cho tam giác ABC có = 20 và = 110 và đường phân giác BE. Từ C kẻ CK vuông góc với EB cắt AB tại K và cắt BE tại M. Trên đoạn EB lấy điểm F sao cho EF = EA. Chứng minh rằng:
a) AF vuông góc với EK.
b) CF = AK và CF là tia phân giác của góc KCB
c) 
 2. Cho hình thoi ABCD, 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường trung trực của AB cắt BD, AC lần lượt tại M, N. Biết MB = a, NA = b. Tính diện tích hình thoi theo a, b.
---------------------------- Hết ------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN VÒNG I – NĂM HỌC 2015-2016
Câu
Hướng dẫn giải
Biểu điểm
1
a) Rút gọn biểu thức M: = .
Biểu thức có nghĩa khi 
0,25
Ta có M = 
0,5
 = 
0,5
 = = 
0,75
b) Ta có 1 – 2x = 1 - = = = 
0,75
Tương tự: 1 + 2x = 
0,25
Từ đó: A = = 
0,5
= = 
0,5
2
a) 
0,5
Do đó = 
0,5
= 
0,25
= 
0,25
= 
0,25
= 
0,25
= 
0,25
b) Đặt a + b – c = x; b + c – a = y; c + a – b = z
0,25
Ta có: x + y + z = a + b – c + b + c – a + c + a – b = a + b + c
0,25
x + y = 2b; x + z = 2a; y + z = 2c
0,25
Theo câu a: 
0,25
= 
0,25
= = 24abc 24
0,5
3
a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi với hai số không âm với 
Bằng cách triển khai 
0,5
Do cho ta áp dụng:
0,25
0,5
Vậy 
0,5
b) Vì x = 1 không thỏa mãn phương trình nên x 1, suy ra:
0,25
0,5
 hay 
0,5
=> x – 1 là ước của 2. Ư(2) = 
0,5
Với x – 1 = - 2 => 
0,5
Với x – 1 = - 1 => 
Với x – 1 = 1 => 
Với x – 1 = 2 => 
Vậy các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình là: 
 , , 
4
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có: 
0,5
Suy ra 
0,25
Do nên (1)
0,25
Ta lại có = (2)
0,25
Chú ý vế phải của (2) không âm, từ (1) và (2) suy ra
 (3)
0,25
Từ (3) và (1) dẫn đến 
 = = 8
0,25
P = 8 
0,25
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 8 đạt được khi x = y = z = 1
5
1. a) Từ giả thiết ta dễ thấy 
BE là đường trung trực của CK (1). Từ đó tính được , (2) và 
0,5
0,5
Từ (1) tính được và (3)
0,5
Ta thấy EK là phân giác ứng với đáy của tam giác cân AEF nên EK vuông góc với AF.
0,5
b) Từ (1) và (2) có 
0,5
Xét tam giác AKE có 
0,5
Từ (1) và (3) ta có (c.g.c), suy ra CF = AK và . Vì , nghĩa là CF là tia phân giác của 
0,5
c) (g.g), nên . Mặt khác do BE là đường phân giác 
0,75
của tam giác ABC nên , suy ra 
0,5
2. 
Gọi H là trung điểm của AB. Dễ thấy: * => => HN = 
* => 
=> => OB = 
0,25
0,25
* vuông => HN + HA = AN 
=> HA do đó HA => AB = 4HA = 
0,25
* vuông => OA + OB = AB => OA + 
0,25
Do đó OA = => OA = và OB = 
Mà diện tích hình thoi ABCD = S = 2OA.OB. Vậy S = 
0,25
Lưu ý: - Hướng dẫn chấm gồm 03 trang;
 - Thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa;
 - Bài hình, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm bài hình.