Đề thi vào lớp 10 năm học 2015 - 2016 môn Toán

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ
( Thời gian làm bài 120 phút – không kể chép đề)
I. TRẮC NGHIỆM:
Hãy chọn chỉ một chữ cái đứng trước phương án đúng để ghi vào bài làm của em
Câu 1: Cho số a > 0, câu nào sau đây sai?
A. là căn bậc hai số học của a
B. Số a có hai căn bậc hai là và 
C. là căn bậc hai âm của a
D. Số a có duy nhất một căn bậc hai
Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ?
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 3: Tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O và . Số đo của là 
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 4: Hệ phương trình không tương đương với hệ phương trình nào sao đây?
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 5: Hai hình trụ có cùng chiều cao, tỷ số hai bán kính đáy là . Tỷ số diện tích xung quanh của chúng là
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 6: Trong các hàm số sau đây, đồ thị của hàm số nào đi qua điểm M(4; 4)?
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 7: Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm , hai dây AB và CD song song với nhau và nằm về hai phía của tâm O lần lượt có độ dài là 6cm và 8cm. Khoảng cách giữa hai dây là 
A. 1cm
B. 3cm
C. 7cm
D. 4cm
Câu 8: Cho tam giác ABC cân tại A có AB= AC= 6cm , . Độ dài đoạn thẳng BC là
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
II. TỰ LUẬN:
Bài 1: (2 điểm)
Rút gọn biểu thức 
Cho a là một số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng biểu thức là một số tự nhiên.
Giải bất phương trình 
Bài 2: (2 điểm)
 1. Cho hàm số có đồ thị là (P) và hàm số có đồ thị là (d). 
a. Tìm m để (d) và (P) tiếp xúc với nhau.
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn .
 2. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu tăng tử số lên 3 đơn vị và giảm mẫu số đi 4 đơn vị thì được một phân số bằng . Tìm phân số ban đầu.
Bài 3: (3 điểm) 
 Cho (O), dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên một nửa cung AB gần về điểm B (M khác B), kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Vẽ MQ và MP lần lượt vuông góc với AN và BN.
Chứng minh 4 điểm A,M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh NQ. NA = NP. NB.
Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giá trị lớn nhất.
Bài 4: (1 điểm)
 Cho và . Chứng minh rằng 
 . 
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
I.TRẮC NGHIỆM
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
Đáp án
D
C
B
A
A
C
C
D
II. TỰ LUẬN
Câu
Ý
Đáp án
Biểu điểm
1
1
0,25 
0,25
2
0,25
0,25
Vì a là số tự nhiên nên là số tự nhiên
0,25
3
0,25
0,25
Vậy bất phương trình có nghiệm là 
0,25
2
1
a. Để (P) và (d) tiếp xúc với nhau thì phương trình là phương trình bậc hai và có một nghiệm kép ó
0,25
0,25
b. Để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn ó 
0,25
 .
0,25
2
Gọi x là tử số của phân số ( x nguyên)
Mẫu số của phân số sẽ là x + 11.
Nếu tăng tử thêm 3 đơn vị thì tử mới là x + 3, và giảm mẫu đi 4 đơn vị thì mẫu mới sẽ là (x + 11) – 4 = x + 7
0,25
Theo bài ra ta có phương trình 
0,25
Trong quá trình giải phương trình cần có thêm điều kiện Giải phương trình ta được x = 9 ( thỏa mãn điều kiện)
0,25
 Vậy phân số cần tìm là 
0,25
3
Vẽ hình
0,25
3
a
Vì 
 (gt)
0,25
Do đó 
0,25
Nên tứ giác AMHQ nội tiếp trong một đường tròn ( quĩ tích cung chứa góc).
0,25
Do đó 4 điểm A,M,H,Q cùng nằm trên một đường tròn.
0,25
b
Vì DANH đồng dạng với DMNQ ( chung , )
0,25
Nên (1)
0,25
Vì DBNH đồng dạng với DMNP ( chung , )
Nên (2)
0,25
Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh
NQ. NA = NP. NB.
0,25
c
Ta có ( MQ là đường cao của DMAN)
 ( MP ^ BN)
Nên 
0,25
Lại có 
( AB ^ MN)
Vậy .
0,25
Mà AB không đổi nên tích MN.AB lớn nhất ó MN lớn nhất ó MN là đường kính ó M là điểm chính giữa cung AB.
0,25
4
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 
.
0,25
Tương tự , .
Cộng ba bất đẳng thức này lại theo từng vế, ta được
 .
0,25
Bài toán được qui về chứng minh
 ( luôn đúng)
Vì theo bất đẳng thức Cauchy thì 
0,25
Vậy bài toán đã được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1.
0,25