Đề thi tuyển sinh vào trường Trung học phổ thông chuyên môn Toán năm 2017 - Đại học Sư phạm Hà Nội

Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội	Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THễNG CHUYấN NĂM 2017
Mụn thi: Toỏn
( Dựng cho mọi thớ thi vào trường chuyờn)
Thời gian : 120 phỳt
Cõu 1( 2 điểm) Cho biểu thức 
 với , . 	1.Chứng minh rằng 
2.Tỡm a,b biết 
Cõu 2( 1 điểm) Giả sử x, y là hai số thực phõn biệt thỏa món 
Tớnh giỏ trị biểu thức 
Cõu 3(2 điểm) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : (với a là tham số 
1.Tỡm tọa độ giao điểm của ( d) và (P) khi 
2. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của a để đường thẳng (d) cắt (P) taị hai điểm phõn biệt cú hoành độ thỏa món 
Cõu 4 (1 điểm) Anh nam đi xe đạp từ A đến C . Trờn quóng đường AB ban đầu ( B nằm giữa A và C).Anh Nam đi với vận tốc khụng đổi a( km/h) và thời gian đi từ A đến B là 1,5 giờ. Trờn quóng đường BC cũn lại anh Nam đi chậm dần đều với vận tốc tại thời điểm t ( tớnh bằng giờ) kể từ B là ( km/h) .Quóng đường đi được từ B đến thời điểm t đú là .Tớnh quóng đường AB biết rằng đến C xe dừng hẳn và quóng đường BC dài 16km.
Cõu 5 (3 điểm) Cho đường trũn (O) bỏn kớnh R ngoại tiếp tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. Cỏc tiếp tuyến của đường trũn (O) tại cỏc điểm B ,C cắt nhau tại điểm P. Gọi D, E tương ứng là chõn đường cỏc đường vuụng gúc kẻ từ P xuống cỏc đường thẳng AB và AC và M là trung điểm cạnh BC.
Chứng minh 
Giả sử B, C cố định và A chạy trờn (O) sao cho tam giỏc ABC luụn là tam giỏc cú ba gúc nhọn
Chứng minh đường thẳng DE luụn đi qua một điểm cố định.
Khi tam giỏc ABC đều . Hóy tớnh diện tớch tam giỏc ADE theo R.
Cõu 6 (1 điểm) Cỏc số thực khụng õm thỏa món 
Chứng minh rằng : 
Họ và tờn thớ sinh:..Số bỏo danh:.
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội	Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THễNG CHUYấN NĂM 2017
Mụn thi: Toỏn
( Dựng riờng cho học sinh chuyờn Toỏn và chuyờn Tin)
Thời gian : 150 phỳt
Cõu 1. (1.5 điểm )
Cho cỏc số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng trong 4 số 
 Cú ớt nhất một số khụng nhỏ hơn 3.
Cõu 2. (1.5 điểm )Giải phương trỡnh :
Cõu 3. (3.0 điểm )
1.Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương a,b,c,d thỏa món 
2.Tỡm tất cả cỏc số thực x sao cho trong 4 số cú đỳng một số khụng phải là số nguyờn.
Cõu 4. (3điểm ) Cho đường trũn (O) bỏn kớnh R và một điểm M nằm ngoài (O) .Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường trũn (O) ( A, B là hai tiếp điểm). Trờn đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khỏc A, C khỏc B). Gọi I; K là trung điểm MA, MC .Đường thẳng KA cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai D.
Chứng minh 
2.Chứng minh tứ giỏc BCDM là tứ giỏc nội tiếp.
3.Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường trũn (O) và N là trung điểm KE đường thẳng KE cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng bốn điểm I, A, N, F cựng nằm trờn một đường trũn.
 Cõu 5. (1.0 điểm )
Xột hỡnh bờn : Ta viết cỏc số 1, 2,3,4,..9 vào vị trớ của 9 điểm trong hỡnh vẽ bờn sao cho mỗi số chỉ xuất hiện đỳng một lần và tổng ba số trờn một cạnh của tam giỏc bằng 18. Hai cỏch viết được gọi là như nhau nếu bộ số viết ở cỏc điểm (A;B;C;D;E;F;G;H;K) của mỗi cỏch là trựng nhau. Hỏi cú bao nhiờu cỏch viết phõn biệt ? Tại sao?
--------------Hết-------------
Họ và tờn thớ sinh:..Số bỏo danh:.
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
Phần hướng dẫn
Vũng 1
Cõu 2
Cõu 2
a) Phương trỡnh hoành độ (d) và (P) là 
b) Với theo Viột
 Với a<0 
Với a>4 
Cõu 4 
Vỡ xe đến C dừng hẳn nờn thời gian xe đi từ B đến C thỏa món do đú quàng đường BC là 
Cõu 5
a)Xột hai tứ giỏc nội tiếp BDPM và CEPM và tam giỏc MBC cõn
b)
Vậy DE đi qua trung điểm PM 
c)
Ta cú A; O,M, P thẳng hàng Tớnh được 
Cõu 6
Vũng 2
Cõu 1. (1.5 điểm )
Giả sử cả bốn số đều nhỏ hơn 3 thỡ 
 Mặt khỏc Trỏi điều giả sử suy ra cú ớt nhất một số khụng nhỏ hơn 3.
Cõu 2. (1.5 điểm )Giải phương trỡnh 
ĐKXĐ 
Cõu 3. (3.0 điểm )
1.Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương a,b,c,d thỏa món 
2.Tỡm tất cả cỏc số thực x sao cho trong 4 số cú đỳng một số khụng phải là số nguyờn.
Hướng dẫn
1.Giả sử trong đú là cỏc số nguyờn tố 
Tượng tự trong đú là cỏc số nguyờn tố 
Ta cú a,d >1 
Vỡ 
Chứng minh tương tự từ giả thiết 
Hoặc
	Vậy 
2.Nếu nguyờn ta cú suy ra đều khụng là số hữu tỷ do vậy một trong hai số khụng là số nguyờn khi đú 
Đặt 
Thử lại đỳng vậy 
Cõu 4. (3điểm ) 
Ta cú IM = IA và KM = KC IK là đường trung bỡnh .
AC = AB ( 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M) và OA = OB = ROM là trung trực của AB . Gọi IK cắt OM tại H .Áp dụng định lý py ta go ta cú cho cỏc tam giỏc vuụng ta cú suy ra ( vỡ IM = IA)
Vậy : 
Nối KO cắt đường trũn tại Q, P.Ta cú KM = KC Suyra
 Ta lại cú KQ.KP = KD.KA 
 Vậy tứ giỏc MDCB nội tiếp.
Gọi L là trung điểm của KD ta cú vỡ AE//KM
Mặt khỏc ta cú nội tiếp
Suy ra (vỡ ) hay nội tiếp cựng thuộc một đường trũn
 Cõu 5. (1.0 điểm )
Ta thấy cú 2 số la 9 và 8 trong dóy 1,2,3,4,..,9 tổng 2 số với 1 bằng 18 ta thấy tại điểm A ( tương tự B,C) khụng thể điền số 1 vỡ nếu trỏi lại thỡ B,F phải điền cặp 8,9 ;tại C,E điền cặp 8,9
Điều này vụ lớ .Tương tự tại D,E,F cũng khụng thể điền số 1 vậy số 1 được điền tại H, G,K
Xột trường hợp số 1 được điền tại G ( tương tự tại H,K) khi đú E điền số 8 ,F điền số 9 ( hoặc ngược lại).Giả sử tại A điền a;C điền c, D điền d, K điền k ,tại H điền k+1, 
tại B điền c +1. khi đú a,d;c; c+1,k,k+1 phõn biệt thuộc 
Khi đú
Vậy a=4;c=5;k=2 cú 3.2=6 (cỏch)
Hàng năm sau khi thi song mỡnh sưu tầm và giải lại cỏc đề thi chuyờn SP, KHTN ,Chuyờn HV và một số tỉnh lưu trữ để làm tư liệu giảng dạy . Phần hướng dẫn trờn vừa sưu tầm vừa bổ sung thờm cú thể chưa chớnh xỏc chưa hay mong cỏc bạn đồng nghiệp tham khảo và bổ sung thờm để làm tài liệu giảng dạy nhộ. 
GV biờn tập và hướng dẫn
Nguyễn Minh Sang;Đinh Văn Hưng
 THCS Lõm Thao-Phỳ Thọ