Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông chuyên Hùng Vương năm học 2015-2016 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2015-2016
Môn Toán
(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
------------------------
Câu 1 (1,5 điểm) 
a) Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn và là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Câu 2 (2,0 điểm) 
 a) Rút gọn biểu thức: 
 b) Tìm m để phương trình: có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 3 (2,0 điểm) 
a) Giải phương trình: 
b) Giải hệ phương trình: 
Câu 4 (3,5 điểm) 
Cho đường tròn (O; R) và dây cung cố định. Điểm A di động trên cung lớn sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác và cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.
a) Chứng minh KA là phân giác trong góc và tứ giác BHCK nội tiếp.
b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó theo R.
c) Chứng minh AK luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
-------------- HẾT--------------
Họ và tên thí sinh: ............................................................................. Số báo danh: ...............
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
 NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
· Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi, cán bộ chấm thi cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lô-gic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
· Thí sinh làm bài theo cách khác với Hướng dẫn mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của Hướng dẫn chấm.
· Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II. Đáp án-thang điểm
Câu 1 (1,5 điểm) 
a) Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn và là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Nội dung
Điểm
a) (0,5 điểm)
Ta có với mọi số nguyên m thì chia cho 5 dư 0 , 1 hoặc 4.
+ Nếu chia cho 5 dư 1 thì 
 nên không là số nguyên tố.
0,25
+ Nếu chia cho 5 dư 4 thì 
 nên không là số nguyên tố.
Vậy hay n chia hết cho 5.
0,25
b) (1,0 điểm)
Để phương trình (1) có nghiệm nguyên x thì theo y phải là số chính phương
0,25
Ta có 
chính phương nên 
0,25
+ Nếu thay vào phương trình (1) ta có : 
+ Nếu 
+ Nếu 
0,25
+ Với thay vào phương trình (1) ta có: 
+ Với thay vào phương trình (1) ta có: 
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên : 
0,25
Câu 2 (2,0 điểm) 
 a) Rút gọn biểu thức: 
 b) Tìm m để phương trình: có 4 nghiệm phân biệt.
Nội dung
Điểm
a) (1,0 điểm)
0,25
0,25
0,25
 Vậy 
0,25
b) (1,0 điểm)
Phương trình 
0,25
Đặt phương trình (1) trở thành:
Nhận xét: Với mỗi giá trị thì phương trình: có 2 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệtphương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt. 
0,25
0,25
Vậy với thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
0,25
Câu 3 (2,0 điểm) 
a) Giải phương trình: 
b) Giải hệ phương trình: 
Nội dung
Điểm
a) (1,0 điểm)
Điều kiện: (*).
Ta có: 
0,25
Đặt (Điều kiện:), phương trình trở thành 
0,25
0,25
+Với không thỏa mãn điều kiện (**).
+ Với ta có phương trình:
thỏa mãn điều kiện (*). Vậy phương trình có nghiệm 
0,25
b) (1,0 điểm)
0,25
Từ phương trình (1) ta có 
0,25
0,25
+ Trường hợp 1: 
Với không thỏa mãn phương trình (2).
+ Trường hợp 2: thay vào phương trình (2) ta có:
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm 
0,25
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung cố định. Điểm A di động trên cung lớn sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác và cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.
a) Chứng minh KA là phân giác trong góc và tứ giác BHCK nội tiếp.
b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó theo R.
c) Chứng minh AK luôn đi qua điểm cố định.
Nội dung
Điểm
a) (1,5 điểm)
Ta có (vì cùng chắn cung của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB)
Mà (tính chất đối xứng) suy ra (1)
 (vì cùng chắn cung của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFC)
 (tính chất đối xứng) suy ra (2) 
0,5
 Mặt khác (cùng phụ với ) (3). Từ (1), (2) , (3) suy ra 
hay KA là phân giác trong của góc 
0,25
Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của BE với AC và CF với AB.
Ta có nên . Trong tam giác vuông ABP 
có hay .
0,25
Tứ giác APHQ có (đối đỉnh).
0,25
Ta có , (theo chứng minh phần a).
Mà suy ra 
nên tứ giác BHCK nội tiếp.
0,25
b) (1,5 điểm)
Gọi (O’) là đường tròn đi qua bốn điểm B, H,C, K. Ta có dây cung nên bán kính đường tròn (O’) bằng bán kính R của đường tròn (O).
0,5
Gọi M là giao điểm của AH và BC thì MH vuông góc với BC, kẻ KN vuông góc với BC (N thuộc BC), gọi I là giao điểm của HK và BC. 
Ta có 
 (do HM HI; KNKI ).
0,25
Ta có KH là dây cung của đường tròn (O’; R) suy ra (không đổi)
nên lớn nhất khi và 
0,25
Giá trị lớn nhất 
0,25
Khi HK là đường kính của đường tròn (O’) thì M, I, N trùng nhau suy ra I là trung điểm của BC nên cân tại A. Khi đó A là điểm chính giữa cung lớn 
0,25
c) (0,5 điểm)
Ta có suy ra 
 nên tứ giác BOCK nội tiếp đường tròn.
0,25
Ta có OB=OC=R suy ra hay KO là phân giác góc 
 theo phần (a) KA là phân giác góc nên K ,O, A thẳng hàng hay AK đi qua O cố định
0,25
Câu 5 (1,0 điểm) 
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Nội dung
Điểm
Ta có 
0,25
Đặt thì và 
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có 
Tương tự: 
0,25
Từ (1); (2); (3) ta có Đẳng thức xảy ra hay Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 
0,25
-------------- HẾT --------------