Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán THPT chuyên (Có đáp án) - Năm học 2010-2011 - Sở GD & ĐT Bắc Ninh

UBND tỉnh bắc ninh
Sở giáo dục và đào tạo
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên
Năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 09 tháng 07 năm 2010
Bài 1 (1,5 điểm): 
Cho hàm số có đồ thị là (P).
 1/ Chứng minh hàm số f(x) nghịch biến với mọi x thuộc R.
 2/ Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (P) với đường thẳng .
 3/ Vẽ đồ thị (P).
Bài 2 (2,0 điểm): 
Cho phương trình: .
 1/ Giải phương trình khi m = 1.
 2/ Tìm m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm.
Bài 3 (2,0 điểm): 
	1/ Cho hai số dương x, y thỏa mãn: . Tính .
 2/ Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: . 
Bài 4 (3,0 điểm): 
 	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Kẻ các đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi S là diện tích của tam giác ABC và S’ là diện tích của tam giác A’B’C’. 
 1/ Chứng minh rằng AO vuông góc với B’C’.
 2/ Chứng minh , trong đó P là chu vi tam giác A’B’C’ .
 3/ Chứng minh hệ thức: .
Bài 5 (1,5 điểm):
 1/ Hai số 22010 và 52010 được viết liên tiếp nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu chữ số.
 2/ Cho tam giác ABC có đường phân giác trong BE hợp với cạnh AC một góc 450 (góc ). Vẽ đường cao AD của tam giác ABC. Chứng minh góc bằng 450 . 
--------------------- Hết --------------------
(Đề này gồm có 01 trang)
Họ và tên thí sinh: ..Số báo danh: .....
Hướng dẫn chấm thi môn toán 
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2010 – 2011
- Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm 
- Việc chi tiết hoá điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong hội đồng chấm. 
- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm để lẻ đến 0,25 điểm.
Bài
ý
Nội dung
Điểm
1
(1,5 điểm)
1
+ Với x< 0 , ta cú , hàm số nghịch biến khi x < 0
+ Với x 0, ta cú , hàm số nghịch biến khi x 0
Vậy hàm số nghịch biến với mọi x thuộc R.
0,25
0,25
2
PT hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng là: 
. PT cú cỏc nghiệm: 
Vậy tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng là:
y
0,25
0,25
3
+ Đồ thị đi qua cỏc điểm:
x
+ Vẽ đỳng đồ thị cho 0,25 đ
xy
0,25
0,25
2
(2 điểm)
1
+ Với m = 1, ta cú pt: 
+ PT cú nghiệm x = 0 và x = 2.
0,25
0,25
0,25
0,25
2
+ 
Do 2 vế của phương trỡnh khụng õm nờn:
P. trỡnh (*) 
Pt (1) cú 
+ Nếu m < 1 thỡ pt (1) cú 2 nghiệm cũn pt (2) vụ nghiệm. Nờn pt đó cho cú đỳng 2 nghiệm.
+ Nếu m = 1 thỡ pt cú đỳng 2 nghiệm (phần 1)
+ Nếu m > 1 pt (1) cú nờn vụ nghiệm, cũn pt (2) cú 2 nghiệm đối nhau.
Vậy với thỡ pt đó cho cú đỳng 2 nghiệm.
0,25
0,25
0,25
0,25
3
(2 điểm)
1
+ Ta cú 
+ Đặt , ta cú: 
 ; 
 và 
0,25
0,25
0,25
0,25
2
+ Vỡ x, y là cỏc số nguyờn dương, và vai trũ x, y như nhau. Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử 
Dễ thấy x >2 (1)
+ Mặt khỏc (2)
Từ (1) và (2) ta cú x = 3 và x = 4
Với x = 3 thay vào pt đó cho ta tỡm được y = 6
Với x = 4 thay vào pt đó cho ta tỡm được y = 4
Vậy pt đó cho cú cỏc nghiệm (x ; y) = (3 ; 6), (6 ; 3) , (4 ;4).
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(3 điểm)
1
+ Vẽ tiếp tuyến At tại A, cựng phớa AC so với AB. 
Ta cú: 
+ Mặt khỏc: (do tứ giỏc BC’B’C nội tiếp)
 B’C’//At .
+ Mà AOAt (t.c tiếp tuyến) 
 AOB’C’
0,25
0,25
0,25
0,25
2
+ Tương tự ta cú OBA’C’ và OCA’B’
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Ta cú: 
Mà 
Tương tự: và: 
 (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
5
(1,5 điểm)
1
Giả sử 22010 cú k chữ số và 52010 cú p chữ số thỡ số chữ số phải tỡm là k + p
Ta thấy: 10k – 1 < 22010 < 10k
 10p-1 < 52010 < 10p
 10k + p – 2 < 102010 < 10k+p
 k + p – 2 < 2010< k + p k + p – 1 = 2010 k + p = 2011
Vậy hai số 22010 và 52010 viết liờn tiếp nhau thỡ cú 2011 chữ số.
0,25
0,25
0,25
2
+ Qua E vẽ EM AC (M thuộc BC). 
Vỡ 
+ Dễ thấy ABE = MBE (g-c-g) 
 EA = EM 
 AEM vuụng cõn tại E
 + Mặt khỏc tứ giỏc ADME nội tiếp đường trũn đường kớnh AM 
 (đpcm)
0,25
0,25
0,25
============Hết===========