Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2010 – 2011 môn thi: Toán

 Biên soạn đề, thầy giáo: Nguyễn Văn Lộc 0977056170 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
LẠNG SƠN 
ĐẾ CHÍNH THỨC 
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
NĂM HỌC 2010 – 2011 
Môn thi: TOÁN ( Dành cho lớp chuyên ) 
Thời gian làm bài 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) 
Đề thi gồm 01 trang, 05 câu 
Câu 1 ( 2,0 điểm ). 
 Cho phương trình:  2 22 1 1 0x m x m m      (m là tham số). 
a. Giải phương trình khi 1m  . 
b. Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 
1 2 4.x x  
Câu 2 ( 2,5 điểm ). 
a. Giải phương trinh: 
4
2 2.
2 3
x
x
  
 
b. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình 
       2 21 1 2 1 4 1x y x y xy xy       ố nguyên. 
Câu 3 ( 1,0 điểm ). 
 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 3x y z   . 
 Chứng minh rằng: x y z xy yz zx     . 
Câu 4 ( 3,5 điểm ). 
 Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và 060BAC  . Gọi D và E lần lượt là chân 
đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC. 
a. Chứng minh rằng BCDE là tứ giác nội tiếp. 
b. Chứng minh rằng tam giác IDE đều. 
c. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác 
AHO cân. 
Câu 5 (1,0 điểm). 
 Tỉnh X có 100 mảnh đất thuộc diện long mạch. Người ta chọn một vài miếng 
và chia mỗi miếng thành 10 miếng nhỏ. Tiếp theo, lại chọn một vài miếng trong tổng số 
thu được và lại cắt mỗi miếng thành 10 phần. Quá trình cứ tiếp diễn như vậy, hỏi sau 
hữu hạn bước, có thu được 2010 mảnh đất long mạch hay không? Nếu có, thì sau ít nhất 
bao nhiêu bước? . 
------------Hết---------- 
Họ tên thí sinh ........................................................................... .. SBD ................................... 
 Biên soạn đề, thầy giáo: Nguyễn Văn Lộc 0977056170 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
LẠNG SƠN 
ĐẾ CHÍNH THỨC 
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
NĂM HỌC 2011 – 2012 
Môn thi: TOÁN ( Dành cho lớp chuyên ) 
Thời gian làm bài 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) 
Đề thi gồm 01 trang, 05 câu 
Câu 1 ( 2,0 điểm ). 
 Cho phương trình: 2 3 0,x ax a    (a là tham số). 
a. Giải phương trình với 4a  . 
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm 
x1, x2 mà 1 23 9 0.x x   
Câu 2 ( 2,0 điểm ). 
a. Giải phương trinh: 2 5 2 10.x x x    
b. Tìm tất cả các số nguyên a để hệ phương trình 
1
.
2
ax y
x y a
 

 
 có nghiệm (x; y) thỏa 
mãn x+y cũng là số nguyên. 
Câu 3 ( 2,0 điểm ). 
a. Cho điểm M cố định ở miền trong góc vuông xOy, một đường thẳng d cắt Ox, Oy 
lần lượt tại A, B. Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tam giác tam giác 
OAB nhỏ nhất. 
b. Chứng minh nếu 3 3 3ax by cz  và 
1 1 1
1
x y z
   , với 0xyz  thì: 
2 2 2 3 3 33 ax by cz a b c     . 
Câu 4 ( 3,0 điểm ). 
 Cho đường tròn (O) và một điểm P cố định ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến PA, PB 
(A, B là các tiếp điểm) và một cát tuyến PNM (PM>PN). Gọi C, E theo thứ tự là các 
trung điểm của MN, PO. 
a. Chứng minh năm điểm A, B, C, O, P nằm trên một đường tròn tâm E. 
b. Tia BC cắt O tại D. Chứng tỏ AD//PM. Xác định vị trí của cát tuyến PNM để 
diện tích tam giác PDM đạt giá trị lớn nhất. 
c. Khi cát tuyến PNM di động thì trọng tâm G của tam giác BNM chạy trên đường 
nào? Chứng minh nhận định đó. 
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2011 ; 2012x y  . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
  2 2
2
x y x y
A
xy
 
 . 
------------Hết---------- 
Họ tên thí sinh ........................................................................... .. SBD ................................... 
 Biên soạn đề, thầy giáo: Nguyễn Văn Lộc 0977056170 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
LẠNG SƠN 
ĐẾ CHÍNH THỨC 
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
NĂM HỌC 2012 – 2013 
Môn thi: TOÁN ( Dành cho lớp chuyên ) 
Thời gian làm bài 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) 
Đề thi gồm 01 trang, 05 câu 
Câu 1 ( 2,0 điểm ). 
 Cho phương trình:  2 2 1 0x m x m    (1) (m là tham số). 
a. Giải phương trình khi m = 1. 
b. Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm? Gọi x1, x2 là hai nghiệm 
của phương trình, tìm giá trị của m để 2 2
1 2x x có giá trị nhỏ nhất. 
Câu 2 ( 2,0 điểm ). 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng 
4
4
3
y x   cắt trục hoành tại A, 
cắt trục tung tại B. Gọi H là hình chiếu của O trên AB. 
a. Tính độ dài đoạn thẳng OH. 
b. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên Ox, Oy. 
Chứng minh hệ thức: 3 3 32 2 2AB AD BE  . 
Câu 3 ( 2,0 điểm ). 
 Cho biểu thức:  
3 2
3 2
2 1
, .
2 3 1
n n n
A n N
n n n
  
 
  
a. Rút gọn biểu thức A. Tìm n để A có giá trị nguyên. 
b. Chứng minh biểu thức rút gọn của A luôn là một phân số tối giản. . 
Câu 4 ( 3,0 điểm ). 
 Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD 
với đường tròn (B là tiếp điểm, AC<AD). Gọi E là trung điểm của CD. 
a. Chứng minh: A, B, O, E cùng nằm trên một đường tròn tâm I. 
b. Chứng minh: 2 .AB AC AD . 
c. Giả sử AO > 2R. Dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn tâm O và tâm I. 
Câu 5 (1,0 điểm). 
 Chứng minh 2013 40213 2B   chia hết cho 25. 
------------Hết---------- 
Họ tên thí sinh ........................................................................... .. SBD ................................... 
 Biên soạn đề, thầy giáo: Nguyễn Văn Lộc 0977056170 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
LẠNG SƠN 
ĐẾ CHÍNH THỨC 
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
NĂM HỌC 2013 – 2014 
Môn thi: TOÁN ( Dành cho lớp chuyên ) 
Thời gian làm bài 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) 
Đề thi gồm 01 trang, 05 câu 
Câu 1 ( 2,0 điểm ). 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng   : 2 1d y x m   và 
parabol   2:P y x  . 
a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2). 
b. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt    1 1 2 2; , ;A x y B x y . 
Tìm m để    
2 2
1 2 1 2 25x x y y    . 
Câu 2 ( 2,0 điểm ). 
a. Giải hệ phương trinh: 
3 2
2
1 1
.
2 3
10
1 1
x y
x y
x y
x y

   

  
  
b. Tìm x, y thỏa mãn 1 2 2.x y x y x      
Câu 3 ( 2,0 điểm ). 
a. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, E lần lượt 
là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ nhất. 
b. Với x là số thực. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
2
3 4
1
x
A
x



 . 
Câu 4 ( 3,0 điểm ). 
 Cho đường tròn đường kính AB, C là một điểm trên đường tròn (C khác A và B). 
Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC, Các tia AI, CI lần 
lượt cắt đường tròn tại D, E. 
a. Chứng minh tam giác EAI cân. 
b. Chứng minh: . .IC IE IAID . 
c. Giả sử biết , .BI a AC b  Tính AB theo a, b. 
Câu 5 (1,0 điểm). 
 Chứng minh trong các số có dạng 20142014...2014 có số chia hết cho 2013. 
------------Hết---------- 
Họ tên thí sinh ........................................................................... .. SBD ................................... 
 Biên soạn đề, thầy giáo: Nguyễn Văn Lộc 0977056170 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
LẠNG SƠN 
ĐẾ CHÍNH THỨC 
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
NĂM HỌC 2014 – 2015 
Môn thi: TOÁN ( Dành cho lớp chuyên ) 
Thời gian làm bài 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) 
Đề thi gồm 01 trang, 05 câu 
Câu 1 ( 2,0 điểm ). 
 Cho biểu thức: 
 
 
2 2 1
0
8 2 4 2
x x
P x
x x x x x

   
   
a. Rút gọn biểu thức P. 
b. Tìm giá trị lớn nhất của P. 
Câu 2 ( 2,0 điểm ). 
 Cho phương trình 2 24 4 2 0x x m m     (m là tham số). 
a. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. 
b. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho: 2 21 2 1 24 4 8x x x x    . 
Câu 3 ( 2,0 điểm ). 
a. Giải hệ phương trinh: 
2 2
2
2
3 2
x y x
xy y x y
  

   
b. Giải phương trình:  
2 22 1 12 2 1x x x     
Câu 4 ( 3,0 điểm ). 
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By cùng 
phía với nửa đường tròn. Gọi K là điểm chính giữa cung AB, E là điểm bất kỳ trên đoạn 
thẳng AO (E khác A và O), đường thẳng vuông góc với EK tại K cắt các tia Ax, By lần 
lượt tại D và C. 
a. Chứng minh 2 .DE DK DC . 
b. Chứng minh ADE BKC . 
c. Giả sử DE cắt AK tại M, EC cắt KB tại N. Chứng minh MN vuông góc với AD. 
Câu 5 (1,0 điểm). 
 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
 5 2 2 335 3 63 189x y x y x y    
------------Hết---------- 
Họ tên thí sinh ........................................................................... .. SBD ................................... 
 Biên soạn đề, thầy giáo: Nguyễn Văn Lộc 0977056170 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
LẠNG SƠN 
ĐẾ CHÍNH THỨC 
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
NĂM HỌC 2015 – 2016 
Môn thi: TOÁN ( Dành cho lớp chuyên ) 
Thời gian làm bài 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) 
Đề thi gồm 01 trang, 05 câu 
Câu 1 ( 2,0 điểm ). 
 Cho biểu thức: 
7 12 1 5
. 2 . 1
92 2
x x
P
xx x
     
    
    
a. Tìm x để P có nghĩa và rút gọn biểu thức P. 
b. Tìm x sao cho 5 .P x 
Câu 2 ( 1,5 điểm ). Cho phương trình  2 3 1 0 (1)x m x m     với m là tham số. 
a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 phân biệt với mọi m. 
b. Tính 
 
2
1 2
1 2 1 2
2 x x
S
x x x x


 
 theo m. Tìm m nguyên để S là số nguyên. 
Câu 3 ( 2,0 điểm ). 
a. Giải phương trình: 2 3 6 2x x x    
b. Giải hệ phương trinh: 
2 2
2
2 3
2 3 0
x y
y xy x y
  

    
Câu 4 ( 3,5 điểm ). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, biết 
rằng 060BAC  và AB AC . Kẻ các đường cao BE, CF cắt nhau ở H (các điểm E, F 
thuộc AC, AB tương ứng). Các tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) cắt nhau tại K. 
a. Tính góc BHC . Chứng minh 5 điểm B, H, O, C, K cùng nằm trên một đường tròn. 
b. Lấy các điểm I, J sao cho E là trung điểm của BI và F là trung điểm của CJ. 
Chứng minh rằng I, A, J thẳng hàng.’ 
c. Chứng minh rằng KH vuông góc với IJ và KI KJ . 
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chữ nhật có chiều dài 8, chiều rộng 6. Nêu cách chia hình 
này thành 8 tam giác vuông bằng nhau. Nếu đặt 5 điểm bên trong hình chữ nhật đó, 
chứng minh rằng luôn tồn tại 2 điểm (lấy từ 5 điểm đó) mà khoảng cách giữa chúng 
không vượt quá 5. 
------------Hết---------- 
Họ tên thí sinh ........................................................................... .. SBD ................................... 
 Biên soạn đề, thầy giáo: Nguyễn Văn Lộc 0977056170 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
LẠNG SƠN 
ĐẾ CHÍNH THỨC 
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
NĂM HỌC 2016 – 2017 
Môn thi: TOÁN ( Dành cho lớp chuyên ) 
Thời gian làm bài 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) 
Đề thi gồm 01 trang, 05 câu 
Câu 1 ( 2,0 điểm ). Cho biểu thức: 
2 3 2
: 2
5 6 2 3 1
x x x x
P
x x x x x
     
                
a. Tìm điều kiện để P có nghĩa và rút gọn biểu thức P. 
b. Tìm x để 
5
12
P  
Câu 2 ( 2,0 điểm ). 
a. Cho phương trình:    2 2 3 2 1 0 (1)x m x m     với m là tham số. Tìm m để 
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: 1 2
1 2
1 1
x x
x x
   
b. Cho x, y là các số thực thỏa mãn 1x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2
1 1
1 1T
x y
  
    
  
Câu 3 ( 2,0 điểm ). 
a. Giải hệ phương trinh: 
2 2 2 4
2 4
x y y
x y xy
   

  
b. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E là trung điểm của AB, F là điểm trên cạnh 
BC. Đường thẳng d và d’ lần lượt đi qua E và F, cùng vuông góc với AC. d và d’ 
cắt AD và CD lần lượt tại H và G. Tính diện tích lớn nhất của hình thang EFGH 
khi F chạy trên cạnh BC. 
Câu 4 ( 3,0 điểm ). Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi D là giao 
điểm thứ hai của đường thằng AO với (O). Gọi  là đường thẳng thay đổi đi qua A, cắt 
các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C lần lượt tại M và N. MN cắt đường tròn 
(O) tại điểm thứ hai E. MC cắt BN tại F. 
a. Chứng minh rằng tứ giác BOCD là hình thoi. 
b. Chứng minh rằng tam giác MAB đồng dạng với tam giác ANC và 2 .BC MB CN 
c. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi  thay đổi. 
Câu 5 (1,0 điểm). Cho n là một số nguyên dương. Đặt 47 47nA n   . Chứng minh rằng 
A không là số chính phương với mọi n lẻ. Tìm tất cả các số n để A là số chính phương. 
------------Hết---------- 
Họ tên thí sinh ........................................................................... .. SBD ...................................