Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Phan Bội Châu môn Toán - Năm học 2009-2010 - Sở GD & ĐT Nghệ An (Có đáp án)

Đề thi chính thức
Sở GD&ĐT Nghệ An
 Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10
trường thpt chuyên phan bội châu
 năm học 2009 - 2010
Môn thi: toán
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1: (3.5 điểm)
a. Giải phương trình
b. Giải hệ phương trình
Bài 2: (1.0 điểm)
Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên
 .
Bài 3: (2.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC). Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK.
Bài 4: (1.5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.
Bài 5: (2.0 điểm)
a. Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC.
	b. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
------- Hết -------
Họ và tên thí sinh.... SBD..
* Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
* Giám thị không giải thích gì thêm.
Đề thi chính thức
Sở GD&ĐT Nghệ An
 Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trường thpt chuyên
phan bội châu năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Hướng dẫn chấm thi
Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang
Nội dung đáp án
Điểm
Bài 1
3,5 đ
a
2,0đ
0.50đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
 ( thỏa mãn )
0.50đ
b
1,50đ
Đặt 
0.25đ
 Hệ đã cho trở thành 
0.25đ
0,25đ
0,25đ
 (vì ).
0,25đ
Từ đó ta có phương trình: 
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: 
0,25đ
Bài 2:
1,0 đ
Điều kiện để phương trình có nghiệm: (*).
0,25đ
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm nguyên của phương trình đã cho ( giả sử x1 ≥ x2).
Theo định lý Viet: 
0,25đ
 hoặc (do x1 - 1 ≥ x2 -1)
 hoặc 
Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) )
0,25đ
Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25đ
Bài 3:
2,0 đ
Vì BE là phân giác góc nên 
0,25đ
	 (1)
0,50đ
	Vì M, N thuộc đường tròn đường 	kính AB nên 
0,25đ
	 , kết hợp 	với (1) ta có tam giác AME đồng 	dạng với tam giác ANK
0,50đ
0,25đ
	ị AN.AE = AM.AK (đpcm)
0,25đ
Bài 4:
1,5 đ
	Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên 
	Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên 
	.Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp
0,25đ
	Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI 
	đồng dạng với tam giác AOB
	 (1)
0,25đ
	Gọi E, F là giao điểm của đường thẳng AO
	với (O) (E nằm giữa A, O).
K
	Chứng minh tương tự (1) ta được:
	AM.AB = AE.AF 
 = (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R)
	 = AO2 - R2 = 3R2
0,25đ
	 ị AI.AO = 3R2 (2)
0,25đ
Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên
	OA.OK = OB.OC = R2
	 (3)
0,25đ
Từ (2), (3) suy ra OI = OK
Suy ra O là trung điểm IK, mà O là trung điểm của BC
Vì vậy BICK là hình bình hành
0,25đ
Bài 5:
2,0 đ
a,
1,0 đ
	Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC.
	Không mất tính tổng quát, giả sử A và O
	nằm về 2 phía của đường thẳng BC 
0,25đ
	Suy ra đoạn AO cắt đường thẳng BC tại K.
 Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
0,25đ
	Suy ra AH Ê AK < AO <1 suy ra AH < 1	
0,25đ
	Suy ra (mâu thuẫn với giả thiết). Suy ra điều phải chứng minh.
0,25đ
b,
1,0đ
Ta có: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2)
	 = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2	 
0,25đ
mà	a3 + ab2 ³ 2a2b (áp dụng BĐT Côsi )
	b3 + bc2 ³ 2b2c
	c3 + ca2 ³ 2c2a
Suy ra 3(a2 + b2 + c2) ³ 3(a2b + b2c + c2a) > 0
0,25đ
Suy ra 
0,25đ
Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh được t ³ 3.
Suy ra ị P ³ 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4
0,25đ
Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của câu đó