Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2017 - Đại học Sư phạm Hà Nội (Có đáp án)

 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC
 ĐỀ CHÍNH THỨC
 ĐỀ THI TUYỂN SINH
 VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2017
 Môn thi: Toán
 ( Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên )
 Thời gian làm bài: 120 phút.
Câu 1 ( 2 điểm ) Cho biểu thức:
với .
Chứng minh .
Tìm biết rằng và 
Câu 2 ( 1 điểm ) Giả sử là hai số thực phân biệt thỏa mãn: .
 Hãy tính .
Câu 3 ( 2 điểm ) Cho parabol (P): và đường thẳng (d): với là tham số.
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) khi 
Tìm tất cả các giá trị của để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn 
Câu 4 ( 1 điểm ) Anh Nam đi xe đạp từ A đến C. Trên quãng đường AB ban đầu (B nằm giữa A và C ) anh Nam đi với vận tốc không đổi là (km/h) và thời gian đi từ A đến B là 1,5 giờ. Trên quãng đường BC còn lại, anh Nam đi chậm dần đều với vận tốc tại thời điểm ( tính bằng giờ ) kể từ B là (km/h). Quãng đường đi được từ B đến thời điểm đó là . Tính quãng đường AB, biết rằng đến C xe dừng hẳn và quãng đường BC dài 16 km.
Câu 5 ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại các điểm B, C cắt nhau tại điểm P. Gọi D,E tương ứng là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống các đường thẳng AB, AC và M là trung điểm cạnh BC.
Chứng minh 
Giả sử B, C cố định và A chạy trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC luôn là tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Khi tam giác ABC là tam giác đều. Hãy tính diện tích tam giác ADE theo R.
Câu 6 ( 1 điểm ) Các số thực không âm thỏa mãn:
Chứng minh , đẳng thức xảy ra khi nào?
 Hướng dẫn giải:
Câu 1 1. Ta có: 
 2. Vậy và .
Câu 2 Ta có: 
 Thay vào ta có 
Câu 3 1. Với ta có pt đường thẳng (d) là: 
 Khi đó ta có pt hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
 Vậy với thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm M(2;4) và N(-1;1). 
 2. Pt hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
 Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt 
 Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
 Với hoặc đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ .
 Theo định lí Vi-ét ta có 
 Theo đề bài ta có: 
 Thay hệ thức Vi-ét vào ta được: 
 Với thì 
 Với thì 
 Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 
 thỏa mãn khi 
Câu 4 Vì tại C xe dừng hẳn nên thời gian để xe đi từ B đến C là 
 Do đó quãng đường BC là 
 Vậy quãng đường AB là 
Câu 5 
1. M là trung điểm BC 
Ta có tứ giác BMPD nội tiếp 
Tương tự tứ giác MCEF nội tiếp 
Tam giác BCP cân tại P 
Từ 
2. ( Cùng chắn cung BC )
Ta có và 
Mà ( Cùng bù góc ) và (Cùng chắn cung PD do BMPD nội tiếp )
Tương tự ME//PD nên MEPD là hbh
Suy ra ED đi qua trung điểm F cố định của MP
3. Tam giác ABC đều thì A,O,M,F thẳng hàng và , M là trung điểm AP
Câu 6 
Nhân cả hai vế pt đầu với 9 rồi trừ cho pt sau ta có 
Đặt 
Vậy khi