Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn môn Toán - Năm học 2011-2012 - Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn
 Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012
 Đề CHíNH THứC
	 Môn : Toán 
 (dùng chung cho thí sinh thi vào chuyên tin)
 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian phát đề
 Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2011
Câu I (2,5 điểm)
1. Giải phương trình: 
2. Chứng minh rằng: 
Câu II: (2 điểm) Giải phương trình:
(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x
Câu III (1,5 điểm)
Tìm các số nguyên x,y thõa mãn: 
Câu IV : (3 điểm)
	Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho DE = BD + CE. Tia phân giác góc BDE cắt cạnh BC tại I. CMR :
Tam giác DIE vuông
Đường thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V: (1 điểm)
Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a+b =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 
 --------------- Hết---------------
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh: ............................................ Số báo danh....................
Chữ ký giám thị 1: ............................................ chữ ký giám thị 2:............................ 
Giải đề thi môn toán 
Vào Chuyên tin Lam sơn 2011 – 2012
Câu 1 :
a)Giải phương trình 
Û 
Û 
Û 
Đặt t = x2 (t0)
Ta có phương trình; t2 + 12t – 13 = 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt t1=1 ; t2 = -13 (loại)
 t1=1 x2 = 1x= ± 1
b)Chứng minh rằng: 
VT 	= 
 	= 
= = VP
Vậy : (đpcm)
Câu 2: 
Giải phương trình : (x-1)(x-2)(x+3)(x+6)=12x
C1. 
* Với x = 0 không phải là nghiệm phương trình 
* Với x ≠ 0 , chia hai vế phương trình cho x2 ta có phương trình : 
Đặt t = 
ta có phương trình : (t +2)(t – 2) = 12 t2 – 4 =12 t2 = 16t = ± 4
Với t = 4 ta có phương trình ;
x2- x - 6 = 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = 3 ; x2= -2
Với t = - 4 ta có phương trình 
x2+7x -6 =0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt
Câu 3:
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: (x, y)
(x-1)(x+1-y)-(x-1)(2y2-1)=1
(x-1)(x+1-y-2y2+1)=1
Vậy cặp số nguyên thỏa mãn là : (2,1) ; (0 ;1)
Câu 4 :
a) 
Điểm M t/m MD = BD, ME = CE
Dựng đường trũn tõm (O) đường trũn đi qua M, B và C. 
ị D DBO = D DMO (ccc) ị Tia DO là p/g gúc BDM. Tg tự EO là tia p/g gúc CEM. ị O là tõm đường trũn bàng tiếp D ADE. ị (O) tiếp xỳc với AB, AC và DE tại B, C và M. ị OB ^ AB, OC ^ AC, OM ^ DE.
éDOE = éECI ( cựng bằng ẵ cung BC). suy ra tứ giỏc IOCE nội tiếp . 
Mà gúc ECO = 900 nờn gúc EIO = 900
 Vậy gúc DIE vuụng.
b) Áp dụng phần a) ta luụn cú DI đi qua điểm cố định là O Tõm đường trũn tiếp xỳc với AB ,AC tại B và C 
Câu 5:
C2. Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a + b =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 
* Ta cú : (a – b)2 ≥ 0 " a, b dấu bằng Û a = b = ẵ
a2 + b2 ≥ 2ab Û (a + b)2 ≥ 4ab Û 
 dấu bằng Û a = b = ẵ 	(1)
* Ta lại cú : (a – b)2 ≥ 0 " a, b dấu bằng Û a = b = ẵ
ị (a2 + b2 – 2ab)2 ≥ 0 " a, b dấu bằng Û a = b = ẵ
Û a4 + b4 + 4a2b2 + 2a2b2 – 4a3b – 4ab3 ≥ 0
Û a4 + b4 + 4a2b2 + 2a2b2 + 4a3b + 4ab3 ≥ 8a3b + 8ab3
Û (a2 + b2 + 2ab)2 ≥ 8ab(a2 +b2)
Û [(a + b)2]2 ≥ 8ab(a2 +b2)
Û thay a + b = 1 ta cú :
Û dấu bằng Û a = b = ẵ	(2)
* Ta lại cú : (a – b)2 ≥ 0 " a, b dấu bằng Û a = b = ẵ
Û a2 + b2 ≥ 2ab Û 2(a2 + b2) ≥ a2 + b2 + 2ab Û 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 
thay a + b = 1 ta cú: 2(a2 + b2) ≥ 1 Û a2 + b2 ≥ ẵ dấu bằng Û a = b = ẵ (3)
Tương tự : (a2 – b2)2 ≥ 0 " a, b dấu bằng Û a = b = ẵ
Û a4 + b4 ≥ 2a2b2 Û 2(a4 + b4) ≥ a4 + b4 + 2a2b2 
Û a4 + b4 ≥ dấu bằng Û a = b = ẵ	(4)
Cộng vế (1), (2), (4) ta cú T ≥ 64 + 6.4 + 2011.
Û dấu bằng Û a = b = ẵ
C2. Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a + b =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 
Áp dụng bất đẳng thức cụsi và bất đẳng thức Bunhiacopxiki
 T 
 Dấu bằng xảy ra khi a = b = ẵ
Hết