Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT 2012-2013 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - Môn Toán

www.MATHVN.com Tào Quang Sơn, GV Trường THCS Tây Vinh – Tây Sơn – Bình Định. 
 www.MATHVN.com 1 
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 2012-2013 
BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 
Đề chính thức 
 Môn thi: TOÁN 
 Ngày thi: 14 / 6 / 2012 
 Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian phát đề ) 
Bài 1: (2điểm) 
Cho biểu thức D = 
1 1
 + −
+ 
 
− + 
a b a b
ab ab
:
a b 2ab1
1 ab
+ + 
+ 
− 
 với a > 0 , b > 0 , ab ≠ 1 
 a) Rút gọn D. 
 b) Tính giá trị của D với a = 
32
2
−
Bài 2: (2điểm) 
a) Giải phương trình: x 1 4 x 3− + + = 
b) Giải hệ phương trình: 2 2
x y xy 7
x y 10
+ + =

+ =
Bài 3: (2điểm) 
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số 21y x
2
= và đường thẳng (d) có hệ 
số góc m và đi qua điểm I ( 0 ; 2 ). 
a) Viết phương trình đường thẳng (d). 
b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m. 
c) Gọi x1 , x2 là hoành độ hai giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị của m để 3 31 2x x 32+ = 
Bài 4: (3điểm) 
Từ điểm A ở ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm). 
Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại D và E ( D nằm giữa A và E, dây DE không đi qua tâm O). Gọi H 
là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K. 
a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn. 
b) Chứng minh: AB2 = AD . AE . 
c) Chứng minh: 2 1 1
AK AD AE
= + 
Bài 5: (1điểm) 
Cho ba số a , b , c khác 0 thỏa mãn: 1 1 1 0
a b c
+ + = . 
Chứng minh rằng 2 2 2
ab bc ac 3
c a b
+ + = 
------------------------------HẾT-------------------------------- 
www.MATHVN.com Tào Quang Sơn, GV Trường THCS Tây Vinh – Tây Sơn – Bình Định. 
 www.MATHVN.com 2 
BÀI GIẢI 
Bài 1: (2điểm) 
a) Rút gọn D : Biểu thức D = 
1 1
 + −
+ 
 
− + 
a b a b
ab ab
:
a b 2ab1
1 ab
+ + 
+ 
− 
 Với ĐK : a > 0 , b > 0 , ab ≠ 1 Biểu thức D có nghĩa 
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
1 1 1 2
:
1 1
2 1 1 12 2 1
: :
1 1 1 1
2 1 1 2
.
1 1 1 1
a b ab a b ab ab a b abD
ab ab
a b a ba b a ab a b
ab ab ab ab
a b ab a
ab a b a
+ + + − −
− + + +
=
− −
+ + ++ + + +
= =
− − − −
+
−
= =
− + + +
b) a = 
32
2
−
= ( )24 2 3 3 2 3 1 3 1+ = + + = + 
 => 
( ) ( ) ( )( ) ( )22 3 1 2 3 1 2 3 2 5 2 3 2 3 3 12 3 1 6 3 2
13 13 135 2 3 5 2 3 5 2 3
D
+ + + − −+
−
= = = = = =
+ + +
 (Vì 3 1+ >0) 
Bài 2: (2điểm) 
a)Giải phương trình: x 1 4 x 3− + + = (1) 
 ĐK: x ≥ 1 (*) 
 PT (1) viết: 
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
1
2
êt: 1 4 2 1 4 9
2 1 4 6 2 1 4 3
3 0 3
2 11 13 0 21 4 3
11 172 :
4
11 17 DK
4
PT vi x x x x
x x x x x x
x x
x xx x x
PT co nghiem x loai
x thoa
− + + + − − =
⇔ − − = − ⇔ − − = −
− ≥ ≤
⇔ ⇔ 
− + =
− − = − 
+
=
−
=
Vậy: PT đã cho có nghiệm: 2
11 17
4
x
−
= 
b) Giải hệ phương trình: 2 22 2
x y xy 7 2(x y) 2xy 14
x y 10x y 10
+ + = + + = 
⇔ 
+ =+ = 
 Cộng vế hai PT của hệ ta có: ( ) ( )2 2 24 0x y x y+ + + − = 
 Đặt: x + y = t. Ta có PT: 2 2 24 0t t+ − = có 2 nghiệm: 1 24; 6t t= = −
 Với 1 4t = ta có hệ: 
7 3
4 4
x y xy xy
x y x y
+ + = = 
⇔ 
+ = + = 
 có nghiệm: 
1 3
3 1
x x
hoac
y y
= = 
 
= = 
 Với 2 6t = − ta có hệ: 
7 13
6 6
x y xy xy
x y x y
+ + = = 
⇔ 
+ = − + = − 
 Hệ vônghiệm. 
www.MATHVN.com Tào Quang Sơn, GV Trường THCS Tây Vinh – Tây Sơn – Bình Định. 
 www.MATHVN.com 3 
 Vậy: Hệ PT đã cho có hai nghiệm: 
1 3
3 1
x x
hoac
y y
= = 
 
= = 
. 
Bài 3: (2điểm) 
a) Đường thẳng (d) có hệ số góc m có dạng tổng quát: y = mx + b. 
 Vì: (d): y = mx + b qua điểm I(0; 2): Nên: 2 = m.0 + b => b = 2. 
 Vậy (d): y = mx +2. 
b)Ta có: (P): 21y x
2
= 
 (d): y = mx +2. 
PT hoành độ giao điểm của (P) và (d): ( )2 21 x mx 2 x 2mx 4 0 1
2
= + ⇔ − − = 
 Vì: a = 1 > 0 và c = - 4 a; c trái dấu ==> PT (1) có hai nghiệm phân biệt ==> (P) cắt (d) tại hai 
điểm phân biệt. 
c) PT (1) luôn có hai nghiệm phân biết x1; x2 phân biệt: 
 Theo Viet ta có: 
1 2
1 2
2
4
x x m
x x
+ =

= −
 Ta có: 
( )( ) ( ) ( )
( )
23 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 3
x x x x x x x x x x x x 3x x
2m 2m 12 8m 24m.
 + = + − + = + + −
 
 = + = +
 
 Vì : 3 31 2x x 32+ = . 
 ==> 38m 24m+ = 32 
( )( )
( )
3 2
2
3 4 0 1 4 0
1 0 1
: 4 0 ô nghiêm
m m m m m
m m
Vi m m v
⇔ + − = ⇔ − + + =
⇔ − = ⇔ =
+ + =
 Vây: m = 1. 
Bài 4: (3điểm) 
 a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn: 
 Xét tứ giác ABOC 
Ta có: 





 

0
0
0
90 ( )
90 ( )
180
ABO gt
ACO gt
ABO ACO
=
=
⇒ + =
==> ABOC nội tiếp trong đường tròn 
Đường kính AO 
( Vì: 
 
 090 ( )ABO ACO gt= = ) (1) 
 Ta lại có: HE = HD (gt) 
==> OH ⊥ ED (Đường kính qua 
trung điểm dây không qua tâm của đ/tròn (O)) 

 090AHO = 
==> H nằm trên đường tròn 
đường kính AO (2) 
1
1
1 1
1
F
E
K
H D A
O
B
C
E
www.MATHVN.com Tào Quang Sơn, GV Trường THCS Tây Vinh – Tây Sơn – Bình Định. 
 www.MATHVN.com 4 
 Từ (1) và (2) ==> 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn. 
b) Chứng minh: AB2 = AD . AE : 
 Xét: àABD v ABE△ △ 
 Ta có: 
BAE (góc chung) 

 
AEB ABD= (cùng chắn cung BD của đ/tròn (O)) 
==> ABD AEB△ ∼△ (gg) 
==> 
AB AD
AE AB
= ==> AB2 = AD.AE. 
c) Chứng minh: 2 1 1
AK AD AE
= + : 
 Ta có: 1 1 AD AE
AD AE AD.AE
+
+ = 
Mà AD + AE = (AH – HD) + ( AH + EH) 
= (AH – HD) + ( AH + HD) (Vì EH = HD) 
= 2AH 
Vậy: 1 1 2AH
AD AE AD.AE
+ = 
Mà: AB2 = AD.AE. (Cmt) 
==> AC2 = AD.AE ( Vì AB, AC là 2 tiếp tuyến đường tròn (O) => AB = AC) 
 Vậy: 2
1 1 2AH
AD AE AC
+ = (3) 
Ta lại có: 2 2AH
AK AK.AH
= (4) 
 Từ D vẽ OE vuông góc với OB tại E, cắt BC tại F. 
 Xét tứ giác ODEH 
 Có: 

 ( )

 ( )
0
0
90
90 ách ve DE
OHD Cmt
OED C
=
=

 
 ( )090OHD OED⇒ = = 
==> ODEH nội tiếp (Qũi tích cung chứa góc) 
==>  
1O HDE= ( chắn cung HE ) 
Mà  
1O BCH= (chắn HB Của đường tròn đường kính AO) 
==> 
 
HDE BCH= 
Hay: 
 
HDF FCH= 
==> Tứ giác CDFH nội tiếp (Qũi tích cung chứa góc) 
 Xét àACK v AHC△ △ 
 Ta có: 
CAH (góc chung) (a) 
Ta có:  1 1H F= (chắn cung CD của CDFH nội tiếp ) 
 Mà:  1 1F B= (đồng vị của ED//AB ( Vì cùng vuông góc với OB)) 
 Và:  1 1B C= ( Vì AB, AC là 2 tiếp tuyến đường tròn (O) => AB = AC) => ABC△ cân tại A) 
1
1
1 1
1
F
E
K
H D A
O
B
C
E
www.MATHVN.com Tào Quang Sơn, GV Trường THCS Tây Vinh – Tây Sơn – Bình Định. 
 www.MATHVN.com 5 
==>  1 1H C= (b) 
 Từ (a) và (b) ==> ( )ACK AHC gg△ ∼ △ 
==> 2 .
AC AK AC AH AK
AH AC
= ⇒ = 
 Thay vào (3) ta có ( )1 1 2AH 5
AD AE AH.AK
+ = 
 Từ (4) và (5) ==> 2 1 1
AK AD AE
= + . 
Bài 5: (1điểm) 
 : 
( )
3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1Vì: 0
a b c a b c a b c
1 1 3 1 1 1 1 1 3 1
a b ab a b c a b abc c
1 1 1 3 1
a b c abc
   
+ + = ⇒ + = − ⇒ + = −   
   
 
⇒ + + + = − ⇒ + − = − 
 
⇒ + + =
 ( )2 2 2 3 3 3 3 3 3ab bc ac abc abc abc 1 1 1Ta có: abc 2c a b c a b c a b
 
+ + = + + = + + 
 
 Thay (1) vào (2) ==> 2 2 2
ab bc ac 3Ta có: abc 3
c a b abc
 
+ + = = 
 
------------------------------HẾT-------------------------------- 
1
1
1 1
1
F
E
K
H D A
O
B
C
E