Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2016 - 2017 môn: Toán

PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH
TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: tháng 10 năm 2016
Bài 1 (4.5 điểm).
Chứng minh rằng với hai số thực bất kì ta luôn có: .
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
b) Cho ba số thực không âm sao cho . 
Chứng minh: . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
 	.
Bài 2 (4 điểm).
	a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng 2 lần tích các chữ số bằng số đó.
	b) Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) - xyz
Bài 3 (4 điểm)
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
 	b) Chứng minh rằng với mọi x, y nguyên thì 
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương
Bài 4 (4.5 điểm).	
Cho tam giác ABC có ( là hai độ dài cho trước), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
Bài 5 (3 điểm).
	Cho tam giác ABC cân tại A,. Hai điểm M và N lần lượt trên AC và AB sao cho: và hai đoạn BM và CN vuông góc với nhau. 
Tính diện tích tam giác ABC theo .
Họ tên học sinh: .................................................................; Số báo danh: .......................
Giám thị 2: ......................................................................... Ký tên ......................................
PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH
TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP
(Hướng dẫn chấm và đề thi gồm có 03 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1: 4,5đ
1.1
 2đ
Ta có: 
Vậy: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
0,5
0,5
0,5
0,5
1.2
2.5đ
Theo kết quả câu 1.1, ta có:
mà (giả thiết)
nên: (vì a, b, c không âm nên b + c không âm) 
Nhưng: (không âm)
Suy ra: .
Dấu đẳng thức xảy ra khi: 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
Bài 2:(4 đ)
2đ
Gọi là số tự nhiên cần tìm, >0, , x,y là số tự nhiên.
Ta có phương trình: 2xy=10x+y 2xy-10x-y =0
2x(y-5)-(y-5) =5 (2x-1)(y-5) =5
(2x-1)(y-5) =5.1=1.5 (Do x, y là số tự nhiên , x lớn hơn 0 nên 2x-1 lớn hơn 0...)
 Vậy số tự nhiên cần tìm là 36
0.5
0.5
0.5
0.5
2đ
A= (xy+ yz+ zx) (x+y+ z) – xyz
= xy (x+ y+ z)+ yz (x+ y + z) + zx (x+ y+z)- xyz
= y (x+ y + z) (x+z)+ zx (x+ z) 
= (x+ z) [y(x+ y+ z)+ zx]
= (x+ z ) [x (y+ z) + y ( y+ z)]= (x+ y) (x+ z)(+ z)
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 3:4đ
2đ
 (*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.
Vậy có 2 cặp số nguyên hoặc 
1đ
1đ
2đ
A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 = [(x + y)(x + 4y)]. [(x + 2y)(x + 3y)] + y4 
 = (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4 
 = (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 + y2 ) + y4 
 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4 
 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 
Do x , y Z nên x2 + 5xy + 5y2 Z A là số chính phương
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 4
(4.5 đ)
+ Đặt .
Ta có:
.
Suy ra diện tích của MNPQ là:
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
+ Ta có bất đẳng thức: 
áp dụng, ta có: . 
Dấu đẳng thức xảy ra khi: .
Suy ra: .
Vậy: khi hay M là trung điểm của cạnh AB.
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 5:3
0.25
 + Theo giả thiết: và . Suy ra:
 .
+ Gọi E là giao điểm của BM và CN, theo định lí Ta-lét, ta có: .
Gọi BK là đường cao hạ từ B của tam giác ABC, ta có:
. Vậy: 
0,5
0,5
0,5
0,75
0,5
Hết