Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH chuyên tỉnh Hà Nam năm học 2009 – 2010 môn thi: Toán (đề chung)

SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO 
HÀ NAM 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH CHUYấN 
Năm học 2009 – 2010 
MễN THI: TOÁN (ĐỀ CHUNG) 
Thời gian làm bài: 120phỳt( Khụng kể thời gian giao đề) 
Bài 1.(2,0 điểm) 
 Cho biểu thức 
( ) ( )2x 2 +3 x xx x +1
P= +
1 x 1 x
- -
- -
 a) Tỡm điều kiện xỏc định của P. 
 b) Rỳt gọn P 
 c) Tỡm x để P > 0 
Bài 2.(1,5 điểm) 
 Giải hệ phương trỡnh: 
( )
( )
1 2 x + y= 2
2 2 x y=1
ỡ +ù
ớ
+ - ùợ
Bài 3. (2,0 điểm) 
 1) Tỡm toạ độ giao điểm của đường thẳng y= x+6 và parabol y=x2. 
 2) Tỡm m để đồ thị hàm số ( )1 2 3y m x m= + + + cắt trục Ox, trục Oy tại cỏc điểm A 
và B và DOAB cõn( đơn vị trờn hai trục Ox và Oy bằng nhau) 
Bài 4.(3,5 điểm) 
 Cho DABC vuụng đỉnh A, đường cao AH, I là trung điểm của AH, K là trung 
điểm của HC. Đường trũn đường kớnh AH ký hiệu là (AH) cắt cỏc cạnh AB, AC lần lượt 
tại M và N 
 a) Chứng minh DACB và DAMN đồng dạng. 
 b) Chứng minh KN là tiếp tuyến của đường trũn (AH). 
 c) Tỡm trực tõm của DABK. 
Bai 5.(1,0 điểm) 
 Cho , ,x y z là cỏc số thực dương thoả món 1x y z+ + = . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
biểu thức: 1 1 1P
16 4x y z
= + + 
--------Hết------- 
ĐÁP ÁN 
Bài 1.(2,0 điểm) a) P xỏc định 
1 x 0
x 1
1 x 0
x 0
x 0
- ạỡ
ạù ỡ
Û - ạ Ûớ ớ ³ợù ³ợ
 b) Rỳt gọn P 
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
2
x 2 +3 x xx x +1 x x +1 x 4 +4 +3 x xP= + = +
1 x 1 x 1 x1 x 1 x
x +4 4P= +
1 x1 x 1 x
x
x
- - - -
- - -- +
-
=
-- -
 c) P > 0 =>
( )
4 0
1 x 1 x 0
1 1 1 x 0
0 0
x x
x x
ỡ >ù - ỡ - >ù
ùù ạ Û ạ Û > ³ớ ớ
ù ù³ ³ợù
ù
ợ
Bài 2.(1,5 điểm)Giải hệ phương trỡnh: 
( )
( )
( )
( ) ( )( )
1 2 x + y= 2 3 2 2 x = 2 1 x = 2 1 x = 2 1
1 2 2 1 y= 2 y= 2 12 2 x y=1 1 2 x + y= 2
ỡ ỡ ỡ+ + + - ỡ -ù ù ù ùÛ Û Ûớ ớ ớ ớ
+ - + -ù+ - +ù ù ù ợợợ ợ
Bài 3. (2,0 điểm) 
 1) Toạ độ giao điểm của đường thẳng y= x+6 và parabol y=x2. là nghiệm của 
phương trỡnh: 2x =x+6 hay 2x x 6=0- - 
Giải phương trỡnh ta cú 1x = 2- ; 2x =3 suy ra tung độ giao điểm tương ứng là 1y =4 ; 2y =9 
Nờn toạ độ cỏc giao điểm là: A(-2;4), B(3;9) 
 2) Đồ thị hàm số ( )1 2 3y m x m= + + + cắt trục Oy tại cỏc điểm B(0;2m+3) và cắt 
trục Ox tại điểm 2 3A ;0
1
m
m
+ổ ử-ỗ ữ+ố ứ
với mạ-1 
Để DOAB cõn thỡ OA= OB 
2 32 3 2 3 2 3
1 1
mm m m
m m
++
Û - = + Û = +
+ +
1) 32m 3 0 m=
2
-
+ = Û khi đú AºBºO khụng tồn tại DOAB 
12) 1
1
)m 1 1 m 0
)m 1 1 m 2
m
a
b
=
+
+ = Û =
+ = - Û = -
Vậy m=0; m=-2 là giỏ trị cần tỡm. 
Bài 4.(3,5 điểm) 
Hỡnh 1 
K
N
M
I
H CB
A
a) AH^BC(gt);   0HMA HNA 90= = ( gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) 
Áp dung hệ thức canh và đường cao trong tam giỏc vuụng 
Trong D AHB và DAHC cú AH2 = AM.AB=AN.AC 
 Suy ra: AM AN
AC AB
= lại cú gúc A chung nờn DACB~DAMN(c.g.c) 
b) I là trung điểm của AH nờn I là tõm của đường trũn(AH) => IM=IH 
DHNC vuụng tại N cú K là trung điểm của HC => KH=KC=KN 
Lại cú KI chung nờn DKNI=DKHI(c.c.c) =>  KNI KHI= mà  0KHI 90= nờn 0KNI 90= 
Hay KN là tiếp tuyến của đường trũn (AH). 
c) trong tam giỏc AHC cú KI là đường trung bỡnh nờn KI//AC mà AC^AB =>KI^AB; 
mặt khỏc AH^KB nờn I là trực tõm của DKAB. 
Bai 5.(1,0 điểm) 
 Cho , ,x y z là cỏc số thực dương thoả món 1x y z+ + = . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
biểu thức: 1 1 1P
16 4x y z
= + + 
Theo BĐT Bu-nhi-a-cụp-xki 
( ) ( ) ( ) ( )( )
22 2
2 2 21 1 1 1 1 1P . .
16 4 16 4
x y z x y z
x y z x y z
ổ ửổ ửổ ử ổ ử ổ ửỗ ữ= + + + + = + + + +ỗ ữỗ ữ ỗ ữ ỗ ữỗ ữỗ ữố ứố ứố ứ ố ứố ứ
2 21 1 1 1 1 49. . . 1
4 2 1616 4
x y z
x y z
ổ ử ổ ử³ + + = + + =ỗ ữ ỗ ữỗ ữ ố ứố ứ
Vậy 49Pmin=
16
khi đú 1 1 1: : :
16 4
x y z
x y z
= = và 1x y z+ + = 
1 2 4; ;
7 7 7
x y zÛ = = = 
 SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO 
HÀ NAM 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH CHUYấN 
Năm học 2009 – 2010 
MễN THI: TOÁN (ĐỀ CHUYấN) 
Thời gian làm bài: 150phỳt( Khụng kể thời gian giao đề) 
Bài 1.(2,5 điểm) 
 1) Giải phương trỡnh: 2
1 1 2
x 3x +2 x 2
- =
- -
 2) Giải hệ phương trỡnh: 
1x + =7
x y
x =12
x y
ỡ
ù +ù
ớ
ù
ù +ợ
Bài 2.(2,0 điểm) 
 Cho phương trỡnh: x 6x 3 2m 0- - + = 
 a) Tỡm m để x 7 48= - là nghiệm của phương trỡnh. 
 b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x=x1; x=x2 thoả món: 
 1 2
1 2
x x 24
3x x
+
=
+
Bài 3. (2,0 điểm) 
 1) Cho phương trỡnh: ( )22x 2 2m 6 x 6m+ - - + 52 = 0 ( với m là tham số, x là ẩn số). 
Tỡm giỏ trị của m là số nguyờn để phương trỡnh cú nghiệm hữu tỷ. 
 2) Tỡm số abc thỏa món: ( )2abc a b 4c= + 
Bài 4.(3,5 điểm) 
 Cho DABC nhọn cú  C A< . Đường trũn tõm I nội tiếp DABC tiếp xỳc với cỏc cạnh 
AB, BC, CA lần lượt tại M, N, E; gọi K là giao điểm của BI và NE. 
 a) Chứng minh 

0 CAIB 90
2
= + . 
 b) Chứng minh năm điểm A, M, I, K, E cựng nằm trờn một đường trũn. 
 c) Gọi T là giao điểm của BI và AC, chứng minh: KT.BN=KB.ET. 
 d) Gọi Bt là tia của đường thẳng BC và chứa điểm C. Khi hai điểm A, B và Bt cố 
định; điểm C chuyển động trờn tia Bt và thoả món giả thiết, chứng mỉnh rằng cỏc đường 
thẳng NE luụn đi qua điểm cố định. 
ĐÁP ÁN 
Bài 1.(2,0 điểm) 
 1) 2
1 1 2(Đk : x 2; x 1)
x 3x +2 x 2
- = ạ ạ
- -
2 2
1 2
1 x 1 2x 6x +4 2x 5x +2 =0
=25 16=9>0 3
ph ỡnh
5 3 5 3 12(lo i) ; x (Tho )
4 4 2
Û - + = - Û -
D - ị D =
+ -
= = = =
ương tr có hai nghiệm : 
x ạ ả mãn
 2) Đặt 1
x y+
=t ta cú 
x + t=7
x.t =12
ỡ
ớ
ợ
nờn x; t là hai nghiệm của phương trỡnh: 
2 7 12 0X X- + = giải ra ta cú 1 23; 4X X= = nờn 
1) 
x =3 x =3 x =3
1 1 11 =4 x y = y =
x+y 4 4
ỡ ỡ ỡ
ù ù ùÛ Ûớ ớ ớ
+ -ù ù ùợ ợợ
2) 
x =4 x =4 x =4
1 1 11 =3 x y = y =
x+y 3 3
ỡ ỡ ỡ
ù ù ùÛ Ûớ ớ ớ
+ -ù ù ùợ ợợ
Vậy hệ cú hai nghiệm: 1 1 2 2
11 11x 3; y , x 4; y
4 3
- -ổ ử ổ ử= = = =ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
Bài 2.(2,0 điểm) 
 Cho phương trỡnh: x 6x 3 2m 0- - + = 
 a) Để x 7 48 2 3= - = - là nghiệm của phương trỡnh 
2 3 12 6 3 3 2m 2 3 3 3 3 2m
4 2m m 2
Û - - - - + = 0 Û - - + - + = 0
Û - + = 0 Û =
 b) Đặt x t(t 0)= ³ thỡ phương trỡnh cú dạng: 2t 6t 2m- - 3+ = 0 (2) 
Để phương trỡnh cú hai nghiệm: thỡ 50 6 12 8m 0 m
2
D ³ Û + - ³ Û Ê 
Theo hệ thức Vi-et thỡ 1 2
1 2
t t 6
t .t 3 2m
ỡ + =ù
ớ
= - +ùợ
 để pt(1) cú hai nghiệm thỡ 
1 2
1 2
t t 0 33 2m 0 m
2t .t 0
ỡ + ³ù Û - + ³ Û ³ớ
³ùợ
để 1 2
1 2
x x 24
3x x
+
=
+
thỡ 
( )22 2 1 2 1 21 2
1 2 1 2
t t 2t .tt t 24 24 6 6 4m 24
t t 3 t t 3 36
36 12m=12 12m=-24 m=2(Tho m n)
+ -+ + -
= Û = Û =
+ +
Û - Û - Û ả ã
Vậy m=2 là giỏ trị cần tỡm. 
Bài 3. (2,0 điểm) 
 1) ( )22x 2 2m 6 x 6m+ - - + 52 = 0 cú nghiệm hữu tỷ với m nguyờn 
( )2x 2m 6 x 3m 26Û + - - + = 0cú nghiệm hữu tỷ với m nguyờn 
( ) ( )
( )( )
2 2 2 2
2 2
2m 6 12m 104 k k Z 4m -24m +36 12m 104 k
4m -12m + 9 k 77 2m 3 k 2m 3 k 77
Û D = - + - = ẻ Û + - =
Û - = Û - - - + =
1)
2m 3 k=1
m 21(Tho m n)
2m 3 k=77
- -ỡ
Û =ớ - +ợ
ả ã 
2) 
2m 3 k= 1
m 18(Tho m n)
2m 3 k= 77
- - -ỡ
Û = -ớ - + -ợ
ả ã 
3) 
2m 3 k=11
m 6(Tho m n)
2m 3 k=7
- -ỡ
Û =ớ - +ợ
ả ã 
4) 
2m 3 k= 11
m 3(Tho m n)
2m 3 k 7
- - -ỡ
Û = -ớ - + = -ợ
ả ã 
Vậy cú 4 giỏ trị của m thoả món đề bài: 1 1 2m 21 1; 37x x= ị = = - ; 
2 1 2m 18 2; 40x x= - ị = = ; 3 1 2m 6 2; 8x x= ị = = - ; 2 1 2m 3 5; 7x x= - ị = = 
 2) Tỡm số abc thỏa món: ( )2abc a b 4c= + 
Vỡ ( )2abc a b 4c= + nờn abc chia hết cho 4. Suy ra c là chữ số chẵn. Mặt khỏc 
( )2abc a b 4c= + nờn ( )24 a b+ cú chữ số tận cựng là 6 => ( )2a b+ cú tận cựng là 4, 9(1) 
Do abc 1000;c 2 .Suy ra ( )2 1000a b 125 a b 11
8
+ Ê = => + Ê (2) 
Từ (1) và (2) suy ra a+b=8; 7; 3; 2 
1) a+b=8 suy ra abc 256c= nờn abc 512= khụng thoả món. 
2) a+b=7 suy ra abc 196c= 
nếu c=2 => abc 392= khụng thoả món. 
nếu c=4 => abc 784= khụng thoả món 
nếu c=6 => abc 1000> khụng thoả món 
3) a+b=3 suy ra abc 36c= 
nếu c=2 => abc 100< khụng thoả món. 
nếu c=4 => abc 144= khụng thoả món 
nếu c=6 => abc 216= thoả món 
nếu c=8 => abc 288= khụng thoả món 
4) a+b=2 suy ra abc 16c= 
 nếu c=8 => abc 128= khụng thoả món 
nếu c=6 => abc 100< khụng thoả món. 
Vậy số cần tỡm là 216. 
Bài 4.(3,5điểm) 
  
  
0
0 0
a) Trong AIB cú AIB 180 ABI IAB
A B C180 90
2 2 2
D = - -
= - - = -
. 
T
E
N
M
K
I
CB
A
Hỡnh 2 
b) Vỡ CE=CN (t/c tiếp tuyến) nờn DCEN cõn tại C =>   

0 0 C2CEN 180 C CEN 90
2
= - ị = - 
Nờn tứ giỏc AIKE nội tiếp.(1) 
Mặt khỏc   0IEA IMA 90= = vỡ (I) tiếp xỳc với AB và AC nờn tứ giỏc AMIE nội tiếp(2) 
Từ (1) và (2) => năm điểm A, M, I, K, E cựng nằm trờn một đường trũn. 
c) Vỡ năm điểm A, M, I, K, E cựng nằm trờn một đường trũn. 
Nờn  TEK TIA= => DTEK~DTIA(g.g)=> TE TI
TK TA
= (3) 
Tương tự DBIM~DBIA(g.g)=> BM BI
BK BA
= (4) 
Do AI là phõn giỏc của gúc BAT nờn BI TI
BA TA
= (5) 
Từ (3), (4), (5) => BM TE Hay KT.BM KB.ET
BK TK
= = . Mà BN=BM nờn KT.BN KB.ET= 
c) Vỡ năm điểm A, M, I, K, E cựng nằm trờn một đường trũn nờn  0AKB 90= . Do A, B và 
tia Bt cố định => tia BK cố định và AB ;ABt khụng đổi mà 
ABtBK AB.cos
2
= nờn K cố 
định. Nờn cỏc đường thẳng NE luụn đi qua điểm K cố định.