Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2005 - 2006 môn: Toán học

 	SÔÛ GIAÙO DUÏC_ÑAØO TAÏO	 KÌ THI TUYEÅN SINH VAØO LÔÙP 10 CHUYEÂN TOAÙN 
 	THÖØA THIEÂN_HUEÁ	Naêm hoïc 2005-2006
 * * * * * 	Moân : TOAÙN 
 	ÑEÀ CHÍNH THÖÙC	Thôøi gian laøm baøi :150 phuùt (khoâng keå thôøi gian giao ñeà )
 Baøi 1:(3 ñieåm)
 a/ Cho a,b laø caùc soá thöïc khoâng aâm tuøy yù. 
 Chöùng toû raèng : + . Khi naøo coù daáu ñaúng thöùc ?
 b/ Xeùt u, v, z, t laø caùc soá thöïc khoâng aâm thay ñoåiù coù toång baèng 1.
 Haõy tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa S = +++ 
 Baøi 2: (2 ñieåm)
 Cho tam giaùc vuoâng DEH coù ñoä daøi hai caïnh goùc vuoâng laø DE = 5cm vaø EH =12cm.
 a/ Tính ñoä daøi baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp cuûa tam giaùc vuoâng DEH . 
 b/ Trong tam giaùc vuoâng DEH coù hai ñöôøng troøn coù cuøng baùn kính r, tieáp xuùc ngoaøi nhau 
 vaø tieáp xuùc vôùi caùc caïnh tam giaùc vuoâng DEH nhö hình döôùi. Tính ñoä daøi cuûa r .
 Baøi 3:(2 ñieåm)
 a/ Tìm taát caû caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : 2x + 9y = 2005 (*).
 b/ Chöùng minh raèng : x.y 55833 trong ñoù (x,y ) laø nghieäm nguyeân baát kì cuûa (*)
 Baøi 4: (2 ñieåm)
 Vôùi moãi giaù trò cuûa tham soá m, xeùt haøm soá : y = x2 – 2mx – 1 – m2 
 a/ Chöùng toû vôùi giaù trò m tuyø yù, ñoà thò haøm soá treân luoân caét truïc tung taïi moät ñieåm A, caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät B, C vaø caùc giao ñieåm naøy ñeàu khaùc goác toïa ñoä O.
 b/ Ñöôøng troøn ñi qua caùc giao ñieåm A, B, C caét truïc tung theâm moät ñieåm K khaùc A .
 Chöùng minh raèng khi m thay ñoåi, K laø moät ñieåm coá ñònh.
 Baøi 5: (1 ñieåm)
 Coù 8 caùi hoäp, moãi hoäp chöùa 6 traùi banh. Chöùng toû raèng coù theå ghi soá treân taát caû caùc traùi banh sao cho thoûa maõn ñoàng thôøi ba ñieàu kieän sau : 
 1/ Moãi banh ñöôïc ghi ñuùng moät soá nguyeân, choïn trong caùc soá nguyeân töø 1 ñeán 23.
 2/ Trong moãi hoäp, khoâng coù hai banh naøo ñöôïc ghi cuøng moät soá.
 3/ Vôùi hai hoäp baát kì, coù nhieàu nhaát moät soá xuaát hieän ñoàng thôøi ôû caû hai hoäp.
 ------------- Heát --------------- 
Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o	Kú THI TUYÓN SINH LíP 10 chuyªn to¸n
	Thõa Thiªn HuÕ	M«n: to¸n - n¨m häc 2005-2006
	§Ò chÝnh thøc	§¸p ¸n vµ thang ®iÓm
Bµi
ý
Néi dung
§iÓm
1
3,0
1.a
 + +0 . 
 + Daáu ñaúng thöùc a=0 hoaëc b=0
 ++ a+b - 20
 (-)2 0 
 + Daáu ñaúng thöùc a=b
0,50
0,25
0,25
0,25
1.b
Giaù trò nhoû nhaát cuûa S:
 +Duøng caâu a/ S=++++ = 1.(do u+v+z+t=1)
 + Daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ:vaø
vaø vaø . Khi u=1,v=z=t=0 thì u+v+z+t=1vaø S=1 .Vaäy : MinS=1. 
0,50
0,25
0,25
Giaù trò lôùn nhaát cuûa S:
 +Duøng caâu a/ S=++++ = 2.
 + Daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi:
 vaø 
Vaäy : MaxS=2
0,50
0,25
2 
2,0
2.a(1ñ)
 Caâu a 
 + DH = 13 + dt(DEH)= 30
 + Goïi I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp. Ta coù :
 dt(DEH)= dt(IDE)+ dt(IEH)+ dt(IDH)
 + Goïi R laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn noäi tieáp.Ta coù : 30 = R.5+R.12 +R.13R=2 (cm) 
0,25
0,25
0,25
0,25
2.b(1ñ)
Caâu b 
 + Goïi J laø taâm ñöôøng troøn coù tieáp xuùc vôùi caïnh DH. 
 Khoaûng caùch töø J ñeán caùc caïnh DH, HE, ED laàn löôït laø : r; r; 3r .
 + dt(DEH)= dt(JDH) +dt(JHE)
 +dt(JED) 
 30 =r.13+ r.12 +3r.5 r== 1,5 (cm)
0,25
0,25
0,50
3
2,0
3.a(1ñ)
 + Ta coù: 2005 chia 9 ñöôïc 55 vaø dö 7, neân:
 Suy ra: (503;111) laø moät nghieäm.
 + 2x+9y=2005 2x+9y=2.503 + 9.1112(x-503)=9(111-y).
 + Vì (2;9) =1 neân toàn taïi soá nguyeân t ñeå x-503=9t hay x=503 +9t .
 + Nghieäm cuûa phöông trình : x=503 +9t , y=111-2t ; t laø soá nguyeân tuyø yù . 
0,25
0,25
0,25
0,25
3.b(1ñ)
 + 55833 – xy= 55833 –(503 +9t).( 111-2t) = 18t2 +7t .
 + Khi t 0 thì 18t2 +7t 0 
 + Khi t -1 thì 18t2 +7t = t(18t+7) > 0.
 + Vì vaäy vôùi moïi soá nguyeân t ñeàu coù : 55833 xy . Daáu ñaúng thöùc t=0 x=503 ;y=111
0,25
0,25
0,25
0,25
4
2,0
4.a(1ñ)
 + Ñoà thò haøm soá caét truïc tung taïi A( 0; -1-m2) . A ôû phía döôùi truïc hoaønh .
 + Xeùt phöông trình : x2 - 2mx – 1 - m2= 0 .
 Do = 1 +2 m2 >0 neân phöông trình luoân coù hai nghieäm:x1;x2.
 + Ñoà thò haøm soá luoân caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät B(x1;0), C(x2;0). 
 +Vì : x1.x2 < 0 neân B, C khaùc O vaø O ô û giöõa B, C .
0,25
0,25
0,25
0,25
4.b(1ñ)
 + K ôû phía treân truïc hoaønh .
 + Hai tam giaùc vuoâng OBA vaø OKC ñoàng daïng cho : OB.OC = OA.OK .
 + OB.OC=== = OA .
 + Do ñoù OK=1 . K( 0;1). K laø moät ñieåm coá ñònh .
0,25
0,25
0,25
0,25
5
1,0
+ ÔÛ hình döôùi, moãi ñöôøng töôïng tröng cho moãi hoäp, caùc ñieåm ôû treân ñöôøng töôïng tröng cho caùc banh.
 + Coù ñuùng 8 ñöôøng; moãi ñöôøng chöùa ñuùng 6 giao ñieåm vaø coù taát caû 23 giao ñieåm .
 + Moãi caùch ñaùnh soá 23 giao ñieåm, töø 1 ñeán 23, cho ta moät caùch ghi soá treân caùc banh ôû 8 hoäp thoûa caùc ñieàu kieän baøi toaùn .
Ví duï : 
Hoäp I : 1 3 4 5 6 7
Hoäp II : 1 8 9 10 11 12
Hoäp III : 1 13 14 15 16 17
Hoäp VI : 2 3 8 13 18 19
Hoäp V : 2 4 9 14 20 21
Hoäp VI : 2 5 10 15 22 23
0,25
0,25
0,25
0,25
Baøi 3: Caùch 2:
a) . Maø 2005 leû, neân 9y phaûi laø soá leû, suy ra y laø soá leû: .
Vaäy: nghieäm cuûa phöông trình laø: .
b) .
Vôùi , ta coù: .
Do ñoù: 
 	SÔÛ GIAÙO DUÏC_ÑAØO TAÏO	 KÌ THI TUYEÅN SINH VAØO LÔÙP 10 CHUYEÂN TOAÙN 
 	THÖØA THIEÂN_HUEÁ	Naêm hoïc 2005-2006
 * * * * * 	Moân : TOAÙN 
 	ÑEÀ DÖÏ BÒ	Thôøi gian laøm baøi :150 phuùt (khoâng keå thôøi gian giao ñeà )
 BAØI 1:(3 ñieåm)
 a/ Chöùng toû raèng: a3 – b3 + c3 + 3abc = (a-b+c)(a2 + b2 + c2 + ab + bc - ca), vôùi moïi soá thöïc a,b,c. 
 b/ Chöùng minh neáu d, e, f laø caùc soá nguyeân thoaû: d + e + f = 0 thì d= e = f= 0
 b/ Tìm caùc soá höûu tæ p, q, r ñeå coù ñaúng thöùc : = p + q +r .
 BAØI 2:(2 ñieåm)
 Xeùt heä phöông trình : (m laø tham soá)
 a/ Giaûi heä khi cho m=1 .
 b/ Chöùng minh raèng neáu m>1 thì heä ñang xeùt khoâng theå coù nghieäm thoaû ñieàu kieän xy .
 BAØI 3: (2 ñieåm)
 Tam giaùc nhoïn ABC coù tröïc taâm H; AH caét BC taïi D. 
 a/ Chöùng toû neáu caùc ñöôøng troøn noäi tieáp cuûa caùc tam giaùc BDH vaø ADC cuøng baùn kính thì hai tam giaùc BDH vaø ADC baèng nhau .
 b/ Cho BC = 221cm; HD = 65cm. Tính ñoä daøi baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp cuûa tam giaùc ADC, bieát caùc tam giaùc BDH vaø ADC baèng nhau .
 BAØI 4: (2 ñieåm)
 a/ Tìm caùc soá nguyeân döông x , y, z thoaû caùc ñieàu kieän sau : x < y < z vaø ++=1 .
 b/ Chöùng toû raèng coù theå tìm ñöôïc 2005 soá nguyeân döông ñoâi moät khaùc nhau maø toång taát caû caùc 
 nghòch ñaûo cuûa chuùng baèng 1 .
 BAØI 5: (1 ñieåm)
 Vôùi a, b, c laø caùc soá thöïc döông. Ñaët :
	A =;	B= ;
	C =;	D=.
 Chöùng minh raèng : A + B C + D
 ------------- Heát --------------- 
 	SÔÛ GIAÙO DUÏC_ÑAØO TAÏO	 KÌ THI TUYEÅN SINH VAØO LÔÙP 10 CHUYEÂN TOAÙN 
 	THÖØA THIEÂN_HUEÁ	Naêm hoïc 2005-2006
 * * * * * 	Moân : TOAÙN 
 	ÑEÀ DÖÏ BÒ	ÑAÙP AÙN – THANG ÑIEÅM 
BAØI 1 (3ñ)
 Caâu a 
 + Khai trieån veá phaûi. 
 + So saùnh keát quaû vôùi veá traùi .
Caâu b
 +Ñaët x=,Ta coù x3=2 ; d+ex+fx2=0 (1) ; dx+ex2+2f=0 (2) .
 + Khöû x giöõa (1) , (2) : x(e2-df)=2f2-de vaø 2(e2-df) 3 =(2f2-de)3 (3) .
 + Do d,e,f laø caùc soá nguyeân neân töø (3) cho :e2-df= 0 vaø 2f2-de = 0 (Duøng phaûn chöùng )
 +Töø ñoù : e3=2f3 , suy ra e=f= 0 vaø d=0.
Caâu c
 + Duøng a/ vôùi a= 1;b =; c= : 9 = (1 - + )( 3 + 3) 
 hay : = (1 +)
 + Do ñoù : = (3-3 )( (1 +)) = -1 + - .
 + Caâu b cho thaáy chæ coù : p = -1 ; q = 1 ; r = -1 .
BAØI 2(2ñ)
 Caâu a 
 + (1) – (2) : (3+m)(x-y) = (x-y)(x+y) x=y hoaëc x+y= 3+m.
 + Vôùi x=y ta coù : 3x –mx = x2 x=0 hoaëc x= 3-m .
 Vôùi m = 1 , tröôøng hôïp naøy heä coù nghieäm : (x;y) = (0;0) ; (2;2) 
 + Vôùi x+y=3+m=4 ,ta coù : 3x –(4-x) = x2 x2 -4x +4= 0 x=2 
 + Nghieäm cuûa heä phöông trình khi m=1 : ( x= 0 , y = 0 ) ; ( x= 2 , y = 2 ) .
 Caâu b
 + Neáu heä coù nghieäm (x;y) maø xy thì : x+y= 3+m.
 + (1) + (2) : (3-m)(x+y) = (x+y) 2 – 2xy . Suy ra xy = m(m+3)
 + x ,y laø caùc nghieäm cuûa : t2 – (3+m)t +m(m+3) = 0 (3) 
 + Khi m > 1 thì = (3+m)(3-3m) <0 .Voâ lí .
BAØI 3(2ñ)
Caâu a
 + Hai tam giaùc BDH vaø ADC laø hai tam giaùc vuoâng ñoàng daïng .
 + Khi chuùng coù baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp baèng nhau thì tæ soá ñoàng daïng laø 1 .
 + Do ñoù chuùng baèng nhau .
Caâu b
 + CD=HD = 65 
 + BD= 156 ; BH = 169 
 + dt(BDH) = 5070 ; cv(BDH)=390
 + Baùn kính noäi tieáp tam giaùc ADC baèng baùn kính noäi tieáp tam giaùc BDH vaø cuøng baèng : 26 (cm)
BAØI 4: (2 ñieåm)
Caâu a
 +Töø x , y, z laø caùc soá nguyeân döông thoaû : x < y < z vaø ++=1 cho 1 < x < 3 . Töø ñoù x=2
 + Suy ra : += 2(y+z)=yz (y-2)(z-2)=4 .
 + Do y,z nguyeân döông vaø 2<y<z neân y-2=1 vaø z-2=4.
 + Vaäy : x=2 ;y=3 ;z=6 .
Caâu b
 + Ta coù : + + = 1 vaø 
 + 1 = +(++)+=++++
 +==++ ; 1 =++++ + +
 + Thöïc hieän qui trình treân theâm 1001 laàn ta coù ñaúng thöùc thoaû baøi toaùn .
BAØI 5: (1 ñieåm)
 + A + B = 
 + Chöùng minh : + + (*)
 + (*)1-2ab +a2b2 (ab -1) 2 0 .
 + Suy ra : A + B C + D .