Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lâm Đồng năm học: 2003 - 2004 môn thi: Toán (lớp 10 chuyên toán)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN 
LÂM ĐỒNG
Năm học: 2003 - 2004
¾¾¾¾¾
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN (Lớp 10 chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài I: (6 điểm) 
Cho a > 0, chứng minh nếu ta có thì ta cũng có a + . 
Giải hệ phương trình: 
Cho phương trình: x4 – (m2 – 4)x2 – (m2 + 3) = 0. (1) (x là ẩn, m là tham số)
Chứng minh: phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Bài II: (7 điểm)
120
Người ta muốn dùng các thanh sắt có độ dài bằng nhau để xếp thành mạng ô vuông hình chữ nhật như hình vẽ (1). Nếu chiều dài hình chữ nhật gồm 120 thanh và chiều rộng hình chữ nhật gồm 20 thanh thì phải dùng bao nhiêu thanh sắt để tạo thành mạng như trên.
20
Hình vẽ (1)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y = . 
Cho phương trình bậc hai (x là ẩn, m là tham số): 
 (m+2)x2 + 2(3m – 2)x + m + 2 = 0.(m –2) (*). 
Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 và x2 thỏa: . 
4. Với mỗi số thực m và số nguyên dương n ta định nghĩa (m¬ n) như sau: 
 (m¬ n) . Hãy tính ( ¬2003) : ( ¬2003)
Bài III: (7 điểm)
	1. Cho tam giác ABC, AM trung tuyến (MỴ BC).
 a. Chứng minh : AB + AC > 2AM
 b. I là một điểm thuộc đoạn BM (I¹B, I¹M), qua I kẻ đường thẳng song song với AM cắt 
 AB, AC lần lượt tại E và D. Chứng minh IE+ ID = 2AM . 
Trên đường tròn (O) lấy dây cung AB cố định, M là một điểm tùy ý trên cung AB
	 ( với M¹A, M¹B) . Gọi K là trung điểm của đoạn MB. Chứng minh đường thẳng qua K và vuông góc với AM luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên cung AB.
Họ và tên thí sinh: .................................Số báo danh: .................Chữ ký Giám thị 1: . 
ĐÁP ÁN Môn TOÁN (Lớp 10 chuyên Toán)
Bài I: (6 điểm) 
Chứng minh: a + . (2điểm)
	+/ Từ đề bài => .	(0,5điểm)
	+/ => .	(0,5điểm)
	+/ => 	(0,5điểm)
	+/ => a +	(0,5điểm)
Giải hệ phương trình: (2điểm) 
 +/ Điều kiện: x + y ¹ 2 và x – y ¹ – 3.	 (0,5điểm)
 	+/ Đặt U = và . Ta có hệ: . 	 (0,5điểm)
	+/ Tìm được U = V = 1 	 (0,5điểm)
	+/ Giải hệ ta có x = 3 và y = 2.	 (0,5điểm)
Chứng minh: phương trình luôn có nghiệm với mọi m. (2điểm)
	+/ Đặt x2 = X (X ³ 0) Ta có phương trình: X2 – (m2 – 4)X –(m2 + 3) = 0.(2) (0,5điểm)
	+/ Nhận xét phương trình (2) có nghiệm. 	 (0,5điểm)
	+/ Nhận xét phương trình (2) có nghiệm trái dấu	 (0,5điểm)
	+/ Từ nghiệm dương của phương trình (2) => phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Bài II: (7 điểm) 	 (0,5điểm)
Số thanh sắt (1,5điểm): mỗi ý cho 0,5điểm
 +/ Có 121 cột, mỗi cột có 20 thanh suy ra số thanh xếp theo cột dọc: 121.20 = 2420
 +/ Có 21 dòng, mỗi dòng có 120 thanh suy ra số thanh xếp theo cột dọc: 21.120 = 2520.
 +/ Số thanh sắt phải dùng: 2420 + 2520 = 4940.
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y = . (2điểm)
*/ Giá trị lớn nhất: (1điểm)
	+/ Ta có y. 	(0,5điểm)
	+/ Khi x = –1 thì y đạt GTLN là 3 	(0,5điểm)
*/ Giá trị nhỏ nhất: (1điểm)
	+/ Ta có y.	(0,5điểm)
	+/ Khi x = 1 thì y đạt GTNN là –1. 	(0,5điểm)
Phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa: .(2điểm) 
 	+/ Biến đổi hệ thức đã cho thành 	(0,5điểm)
	+/ Vậy: hay phương trình (1) có nghiẹm kép là 1. 	(0,5điểm)
	+/ Thế x = 1 vào phương trình suy ra m = 0. 	(0,5điểm)
	+/ Kiểm tra m = 0 phương trình (1) có nghiệm kép vậy chọn m = 0.	 (0,5điểm)
4. Với mỗi số thực m và số nguyên dương n ta định nghĩa (m¬ n) như sau: (1,5điểm) 
 +/ ( ¬2003) . 	(0,5điểm)
 +/ ( ¬2003) .	(0,5điểm)
	 +/ ( ¬2003) : ( ¬2003) = – 4005. 	(0,5điểm)
M
A
B
C
N
I
E
D
Bài III: (7 điểm)
	1. (4điểm)
Chứng minh : AB + AC > 2AM (1,5đ)
+/ Lấy N đối xứng với A qua M.=> NC = AB. 	(0,75điểm)
+/ AB + AC = CN +AC > MN = 2AM	(0,75điểm)
Chứng minh EI + ID = 2AM . (2,5 điểm)
A
B
M
K
P
A/
+/ Từ IE // AM suy ra: .	(0,75điểm)
+/ Từ ID // AM suy ra: .	(0,75điểm)
+/ Suy ra: 	 (0,5điểm)
O
+/ Vậy IE + ID = 2AM. 	 (0,5điểm)
Chứng minh đi qua một điểm cố định.(3điểm)
	+/ Gọi A/ đối xứng A qua tâm O.=> A/B cố định. 	 (1điểm)
	+/ Suy ra KP // MA/ (với P là chân đường vuông góc của K xuống AM) (1điểm)
	+/ Mà KM = KB suy ra PK đi qua trung điểm của A/ B suy ra đpcm (1điểm)