Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa

BÀI GIẢI TÓM TẮT MÔN TOÁN (môn chuyên)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2004 – 2005
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN ĐẠI NGHĨA
Câu 1 : Cho phương trình x2 + px + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt a1, a2 và phương trình x2 + qx + 1 = 0 có 2 nghiệm b1 , b2 . Chứng minh :
(a1 – b1)(a2 – b2)(a1 + b2)(a2 + b2) = q2 – p2
Giải : 
Theo định lý Viet ta có : a1 + a2 = – p, a1a2 = 1 , b1 + b2 = – q , b1b2 = 1
(a1 – b1)(a2 – b1)(a1 + b2)(a2 + b2) = [(a1a2 – (a1 + a2)b1 + b12][a1a2 +(a1 + a2)b2 +b22]
= (1 + pb1+ b12)(1 – pb2 + b22) = (pb1 –qb1)(–qb2 – pb2 ) = (p – q)b1. (–p – q)b2 = q2 – p2
Câu 2 : Cho các số a,b,c ,x,y,z thỏa : x = by + cz, y = ax + cz, z = ax + by , x + y + z ¹ 0
Chứng minh : 
Giải : 
Cộng vế với vế các đẳng thức ta được : x + y + z = 2(ax + by + cz)
Do x + y + z ¹ 0 nên ax + by + cz ¹ 0.
cộng hai vế của các đẳng thức lần lượt cho ax , by , cz ta được : 
(a + 1)x = ax + by + cz ; (b + 1)y = ax + by + cz ; (c + 1)z = ax + by + cz
Þ 
Câu 3 : 
a)     Tìm x,y thỏa 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + 2 = 0
b)     Cho các số dương x,y,z thỏa x3 + y3 + z3 = 1. 
Chứng minh 
Giải :
a)     5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + 2 = 4(x + y)2 + (x + 1)2 + (y – 1)2 = 0
Þ x + y = 0, x + 1 = 0 , y – 1 = 0 Þ x = –1 , y = 1
 b)
.Chứng minh tương tự :
Þ .
Câu 4 : Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x, y thỏa phương trình x3 – y3 = 1993
Giải : 
x3 – y3 = 1993 Þ (x – y) (x2 + xy + y2 ) = 1993
Do x2 + xy + y2 ³ 0 nên x – y, x2 + xy +y2 là các ước dương của 1993.
Do 1993 là số nguyên tố ,nên ta có các hệ phương trình : 
Các hệ phương trình trên không có nghiệm nguyên nên bài toán đã được chứng minh. 
Câu 5 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) (AB < AC).Đường tròn tâm O1 tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M , tiếp xúc với hai cạnh AB,AC lần lượt tại L và K. Gọi E là giao điểm thứ hai của MK với đường tròn (O).
a)     Chứng minh ME là tia phân giác của góc AMC
b)     Tia phân giác Mx của góc BMC cắt LK tại I. Chứng minh rằng bốn điểm M,I,K,C cùng thuộc một đường tròn .
c)     Chứng minh CI là tia phân giác của góc BCA.
Giải : 
a)     Chứng minh ME là tia phân giác của góc AMC
Ta có góc O1KM = góc O1MK = góc OEM nên suy ra OE // O1K
Mà O1K ^ AC nên OE ^ AC suy ra cung AE = cung CE
Þ ME là tia phân giác của góc AMC.
b)     Chứng minh rằng bốn điểm M,I,K,C cùng thuộc một đường tròn .
Ta có góc IMC = 1/2 góc BMC = 1/2(1800 – góc BAC) = 900 – 1/2 góc BAC = góc AKI
Þ tứ giác MIKC nội tiếp 
c)      Chứng minh CI là tia phân giác của góc BCA
Tứ giác MIKC nội tiếp Þ góc KIC = góc KMC = góc EMC = góc EBC = 1/2 góc ABC
Ta có góc IKC = 900 + 1/2 góc BAC
suy ra góc ICK = 1800 – (1/2 góc ABC + 900 + 1/2 góc BAC) = 1/2 BCA
Þ CI là tia phân giác của góc BCA
Câu 6 : Cho DABC có đường phân giác trong AD với D thuộc đoạn BC sao cho BD = a và CD = b ( a > b) . Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E . Tính AE theo a và b.
Giải : 
Ta có góc EAD = góc EAC + góc CAD = góc ABC + góc DAB = góc ADE
Þ    tam giác EAD cân tại E Þ EA = ED Þ EC = EA – b và EB = EA + a
Mặt khác ta có EA2 = EC.EB (do hai tam giác EAC và EBA đồng dạng )
Ta có phương trình : EA2 = (EA – b)(EA + a)
Þ EA =