Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2015-2016 - Sở GD & ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TOÁN - Ngày thi: 10/6/2015
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm). 
a. Giải phương trình: .
b. Rút gọn biểu thức: .
c. Giải hệ phương trình: .
Câu 2 (2,0 điểm). 
a. Rút gọn biểu thức: (với ).
b. Cho phương trình: (1) (x là ẩn số, m là tham số). 
Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Tìm m biết .
Câu 3 (1,5 điểm). 
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 8m. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích thửa ruộng tăng thêm 90m. Tính diện tích của thửa ruộng đã cho ban đầu.
Câu 4 (3,5 điểm). 
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ một đường thẳng đi qua A và không đi qua O, cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt M, N (M nằm giữa A và N). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, C là hai tiếp điểm). Đường thẳng BC cắt AO tại H. Gọi I là trung điểm của MN. Đường thẳng OI cắt đường thẳng BC tại E. 
 a. Chứng minh tứ giác AHIE là tứ giác nội tiếp.
 b. Chứng minh .
 c. Tính theo R độ dài đoạn thẳng AO biết diện tích tứ giác ABOC bằng .
Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn:
.
------HẾT------
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh:........................................
Họ và tên, chữ ký:
Cán bộ coi thi 1:................................................................................
Cán bộ coi thi 2:................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TOÁN - Ngày thi: 10/6/2015
 (Hướng dẫn chấm này gồm 03 trang)
I. Hướng dẫn chung
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do hội đồng chấm thống nhất.
5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm.
6. Tuyệt đối không làm tròn điểm. 
II. Hướng dẫn chi tiết
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(2.0
điểm)
a. (0.5 điểm)
.
0.5
b. (0.75 điểm)
0.25
0.25
.
0.25
c. (0.75 điểm)
0.25
0.25
.
0.25
Cách 2: +) Học sinh rút một ẩn theo ẩn còn lại
0.25
 +) Học sinh thế vào phương trình còn lại và tìm ra giá trị cụ thể của 1 ẩn
0.25
 +) Học sinh thế vào và tìm đúng ẩn thứ 2 và kết luận nghiệm
0.25
Câu 2
(2.0
điểm)
a. (1.0 điểm)
0.25+0.25
0.25
.
0.25
b. (1.0 điểm)
Ta có: .
Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
0.25
Theo hệ thức Vi-ét có: .
0.25
Khi đó: .
0.25
.
0.25
Câu 3
(1.5
điểm)
Gọi chiều rộng của thửa ruộng đã cho ban đầu là là x (đơn vị: m, đk: ).
0.25
Khi đó chiều dài của thửa ruộng đã cho ban đầu là .
Diện tích của thửa ruộng đã cho ban đầu là .
0.25
Chiều rộng của thửa ruộng khi tăng thêm 3m là .
Chiều dài của thửa ruộng khi tăng thêm 2m là .
Diện tích của thửa ruộng sau khi tăng chiều dài và chiều rộng là .
0.25
Theo đề bài ta có phương trình: 
0.25
 (tmđk).
0.25
Vậy diện tích của thửa ruộng ban đầu là (m).
0.25
Câu 4
(3.5
điểm)
Vẽ hình đúng (ý a) cho 0.5 điểm
0.5
a. (1,0 điểm)
Do AB và AC là hai tiếp tuyến của nên ta có: và AO là tia phân giác của góc BAC. Suy ra tam giác BAC cân tại A. 
0.25
Do đó AH đồng thời là đường cao của tam giác BAC hay AHBC. Suy ra .
0.25
Do tam giác OMN cân tại O, có OI là đường trung tuyến nên OI MN hay .
0.25
Xét tứ giác AHIE có .
Do đó AHIE là tứ giác nội tiếp (vì có hai đỉnh liên tiếp H và I nhìn cạnh AE dưới cùng một góc).
0.25
2. (1.0 điểm)
Xét hai tam giác vuông HEO và IAO có góc O chung nên # .
0.25
.
0.25
Do AB là tiếp tuyến của nên .
Xét tam giác vuông BOA có đường cao BH. Suy ra .
0.25
Vậy ta có .
0.25
3. (1.0 điểm)
Ta có .
0.25
Theo giả thiết suy ra 
0.25
Trong tam giác vuông BAO có 
.
Vậy .
0.5
Câu 5 (1,0 điểm)
Cách 1:
0.5
Do x, y là các số nguyên nên có hai khả năng xảy ra:
Khả năng 1: ,
Khả năng 2: .
Vậy các cặp số nguyên cần tìm là và .
0.5
Cách 2: 
Rõ ràng không thỏa mãn hệ thức trên. Chia cả hai vế cho ta được: .
0.5
Vì x nguyên nên để y nguyên thì phải là ước nguyên của 1. Có hai khả năng xảy ra:
Khả năng 1: ,
Khả năng 2: .
Vậy các cặp số nguyên cần tìm là và .
0.5
--------Hết--------