Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2012-2013 - Sở GD & ĐT Hà Nội (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC	
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Môn thi : Toán
Năm học: 2012 – 2013
Ngày thi : 21 tháng 6 năm 2012
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2,5 điểm)
Cho biểu thức Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36.
Rút gọn biểu thức (với x 0, x16).
Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên.
Bài II (2,0 điểm) Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
	Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?
Bài III (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình 
Cho phương trình : (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 
Bài IV (3,5 điểm) 
 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh
Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C.
Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và . Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
Bài V (0,5 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = .
........................................Hết........................................
Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh:............................................................ Số báo danh:...............................
Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2:
ĐÁP AN - THANG ĐIỂM (DỰ KIẾN)
Câu
Nội dung
Bài I
(2,5 đ)
1) Với x = 36, ta có : A = 
0,75
2) Với x , x ¹ 16 ta có :
B = = 
1,25
3) Biểu thức B (A – 1) = = là số nguyên 
	Û x – 16 = ±1 hay x – 16 = ±2 Û x = 15 hay x = 17 hay x = 14 
hay x = 18
0,25
0,25
Bài II
(2,0đ)
Gọi số giờ người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là x ( giờ ,
 đk x > 12/5 ) 
 số giờ người thứ hai hoàn thành công việc một mình là x + 2 giờ 
0,5
Trong 1 giờ : người thứ nhất làm được : 1/x công việc 
 Người thứ 2 làm được : 1/ x + 2 công việc 
0,25
Ta có phương trình : 
0,5
Giải phương trình : x = 4 thỏa mãn đk của ẩn 
0,5
Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ và 
 người thứ hai làm xong công việc trong 6 giờ
0,25
Bài III
(1,5 đ)
1) 	 Û Û Û 
0,75
2) 	D = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + 1 > 0, "m
	Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt "m
0,25
Ta có : x1 + x2 = = 4m – 1 và x1.x2 = = 3m2 – 2m 
0,25
Do đó, theo bài ra ta có Û (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 7
	Û (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 7 Û 10m2 – 4m – 6 = 0 
Û m = 1 hay m = 
0,25
Bài IV
(3,5 đ)
Góc chắn cung 
 và vì cùng chắn cung . 
Vậy 
A 
B 
C 
M 
H 
K 
O 
Q 
P 
E 
1.25
Xét 2 tam giác MAC và EBC có hai cặp cạnh EB = MA, AC = CB và góc giữa = vì cùng chắn cung 
 nên 2 tam giác đó bằng nhau. 
 ta có CM = CE và vì chắn cung .
Vậy tam giác MCE vuông cân tại C.
0,5
0,5
Xét 2 tam giác PAM và OBM 
Theo giả thuyết ta có . Mặt khác ta có vì cùng chắn cung vậy 2 tam giác trên đồng dạng. 
	Vì tam giác OBM cân tại O nên tam giác PAM cũng cân tại P. 
Vậy PA = PM.
Kéo dài BM cắt d tại Q. Xét tam giác vuông AMQ có PA = PM
 nên PA = PQ vậy P là trung điểm của AQ nên BP cũng đi qua trung điểm của HK, do định lí Thales (vì HK//AQ).
0,25
0,25
M = với x, y là các số dương và x ³ 2y
Biến đổi M = 
- Từ x ³ 2y suy ra nên (*)
 - Theo BĐT Cô si ta có
Từ (*) và (**) suy ra .Vậy M min = đạt được khi x = 2y.