Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên Quốc học môn Toán (Chuyên Tin) - Năm học 2017-2018 - Sở GD & ĐT Thừa Thiên Huế (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỪA THIÊN HUẾ
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC
NĂM HỌC 2017-2018
Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2017
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TIN)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1,5 điểm) 
Cho biểu thức: với a > 0, a ¹ 1.
Chứng minh rằng 
Tìm tất cả các giá trị của a để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Câu 2: (1,5 điểm)
Cho parabol và đường thẳng 
Tìm điều kiện của b sao cho với mọi số thực parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt. 
Gọi A là giao điểm của và (d) có hoành độ bằng 1, B là giao điểm của (d) và trục tung. Biết rằng tam giác OAB có diện tích bằng 2, tìm a và b.
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho phương trình (x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 thỏa mãn .
Giải phương trình: .
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn và hai đường kính vuông góc với nhau, M là điểm thuộc cung CD không chứa A của (M không trùng với hai điểm C và D). Đường thẳng AM cắt CD tại N. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN. Đường thẳng cắt đường tròn tại K.
Chứng minh tam giác INC vuông cân tại I. Từ đó suy ra ba điểm thẳng hàng.
Tính tỉ số 
Tìm vị trí của điểm sao cho tích có giá trị lớn nhất. 
Câu 5: (2,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên không âm thỏa mãn 
Bên trong hình vuông cạnh bằng 1, lấy 9 điểm phân biệt tùy ý sao cho không có bất kỳ 3 điểm nào trong chúng thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm trong số đó tạo thành một tam giác có diện tích không vượt quá .
------- Hết -------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1:Chữ ký của giám thị 2 :...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỪA THIÊN HUẾ
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC
NĂM HỌC 2017-2018
Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2017
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TIN)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
(Nội dung có 04 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(1,5 điểm)
Cho biểu thức: với a > 0, a ¹ 1.
a) Chứng minh rằng 
0,75
Ta có 
Do a > 0, a ¹ 1 nên: 
0,25
Nên 
0,25
Do nên: Þ 
0,25
Với những giá trị nào của a thì biểu thức nhận giá trị nguyên?
0,75
Ta có do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1.
0,25
Khi đó 
0,25
 hoặc . 
0,25
2
(1,5 điểm)
Cho parabol và đường thẳng 
Tìm điều kiện của b sao cho với mọi số thực , parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt. 
0,5
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là: 
(1) là phương trình bậc 2 có 
0,25
Với mọi , parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt
 với mọi 
 với mọi với mọi .
Điều kiện của b để với mọi , parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt là 
0,25
Gọi A là giao điểm của và (d), B là giao điểm của (d) và trục tung. 
Biết rằng điểm A có hoành độ bằng 1 và tam giác OAB có diện tích bằng 2. Tìm a, b.
1,0
Ta có 
Hoành độ của điểm A thỏa phương trình (1), tức là 
0,25
(d) cắt trục tung tại điểm . Gọi là chân đường cao kẻ từ A của tam giác AOB. Ký hiệu là diện tích của tam giác OAB. Khi đó
 hoặc 
0,25
Với từ (2) ta có 
0,25
Với từ (2) ta có 
Vậy hoặc 
0,25
3
(2,0 điểm)
a) Cho phương trình (x là ẩn số). Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 thỏa mãn .
1,0
Phương trình có nên có 2 nghiệm 
0,25
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi 
0,25
0,25
 (thỏa mãn)
0,25
Giải phương trình: .
1,0
Điều kiện: .
Phương trình trở thành 
0,25
Đặt , ta có phương trình 
0,25
Với ta có (thỏa điều kiện)
0,25
Vớita có (thỏa điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm 
0,25
4 
(3,0 điểm)
Cho đường tròn và hai đường kính vuông góc với nhau, M là điểm thuộc cung CD không chứa A của (M không trùng với hai điểm C và D). Đường thẳng AM cắt CD tại N. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN. Đường thẳng cắt đường tròn tại K.
Chứng minh tam giác INC vuông cân tại I. Từ đó suy ra ba điểm thẳng hàng.
1,0
Ta lại có: (cùng chắn của ).
 (cùng chắn của ).
0,25
Do đó . Suy ra vuông cân tại I.
0,25
Vì vuông cân tại I nên . 
0,25
Mà và hai điểm B, I nằm cùng phía đối với đường thẳng OC nên hai tia CB và CI trùng nhau. Vậy thẳng hàng.
0,25
Tính tỉ số 
1,0
Gọi E, F là các giao điểm của đường thẳng OI với đường tròn (O).
Ta có: (đối đỉnh),
 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ),
Do đó đồng dạng với (g-g)
0,25
0,25
0,25
Vậy 
0,25
Tìm vị trí của điểm sao cho tích có giá trị lớn nhất. 
1,0
Theo câu b) ta có: 
0,25
Do đó: lớn nhất lớn nhất nhỏ nhất.
0,25
Kẻ tại H. Ta có ( không đổi).
0,25
Do đó nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi Lúc đó và 
0,25
5
(2,0 điểm)
 Tìm tất cả các số nguyên không âm thỏa mãn 
0,5
Ta có
0,25
Không mất tổng quát, giả sử nên . Do đó chỉ có hai trường hợp xảy ra là
0,25
hoặc .
0,25
Vậy các bộ số thỏa yêu cầu bài toán là: 
0,25
Bên trong hình vuông cạnh bằng 1, lấy 9 điểm phân biệt tùy ý sao cho không có bất kỳ 3 điểm nào trong chúng thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm trong số đó tạo thành một tam giác có diện tích không vượt quá .
1,0
Chia hình vuông đã cho thành 4 hình vuông nhỏ cạnh bằng .
0,25
Trong 9 điểm đã cho, có ít nhất 3 điểm nằm trong một hình vuông nhỏ (có thể ở trên biên). Giả sử có 3 điểm A, B, C ở trong hình vuông nhỏ MNPQ.
0,25
Không mất tổng quát, giả sử A, B, C thì có thể xem theo hàng ngang từ trái sang phải, A ở giữa B và C (hình vẽ).
Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với MN cắt BC tại D. 
Vẽ BH và CK vuông góc với AD (H, K thuộc AD).
0,25
Ta có
 .
0,25
------- Hết -------