Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán (chuyên)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
 (Đề thi gồm: 01 trang)
Câu I (2,0 điểm)
Cho . Tính giá trị của biểu thức:
Cho là hai số thực thỏa mãn .
	Chứng minh rằng .
Câu II (2,0 điểm)
Giải phương trình .
Giải hệ phương trình 
Câu III (2,0 điểm)
Tìm các số nguyên thỏa mãn .
Tìm các số nguyên k để là số chính phương.
Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC.
Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc .
Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh .
Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành.
Câu V (1,0 điểm) Cho là các số dương thỏa mãn điều kiện . 	Chứng minh bất đẳng thức .
----------------------------Hết----------------------------
Họ và tên thí sinh....................................................Số báo danh...........................................
Chữ kí của giám thị 1: ..........................................Chữ kí của giám thị 2: ............................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
 (Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang)
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
I
1
Cho . Tính giá trị của biểu thức:
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25
I
2
Cho là hai số dương thỏa mãn .
	Chứng minh rằng 
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25
II
1
Giải phương trình .
1,00
Pt . ĐK: 
0,25
Đặt (hoặc )
PTTT hoặc 
0,25
TH1. giải ra vô nghiệm hoặc kết hợp với ĐK bị loại
0,25
TH 2. . Giải pt tìm được (TM)
Vậy pt có nghiệm duy nhất 
0,25
II
2
Giải hệ pt 
1,00
ĐK: 
TH 1. (Không TM hệ)
TH 2. . Đưa pt thứ nhất về dạng tích ta được
0,25
. Do nên 
0,25
Thay vào pt thứ 2 ta được 
0,25
Do nên 
Vậy (TMĐK)
0,25
III
1
Tìm các số nguyên thỏa mãn (1)
1,00
Ta có 
Ta thấy 
0,25
Vì nên ta xét các trường hợp sau
+ TH1. 
Với , ta có 
 (t.m)
0,25
+ TH2. 
 (loại)
+ TH3. (loại)
0,25
+ TH4. 
Với , ta có 
Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên là :
0,25
III
2
Tìm các số nguyên k để là số chính phương.
1,00
Đặt 
Ta có 
0,25
M là số chính phương khi và chỉ khi hoặc là số chính phương.
TH 1. .
0,25
TH 2. là số chính phương, đặt 
0,25
Vì nên
 hoặc 
 Vậy hoặc thì là số chính phương
0,25
IV
1
Chứng minh IA là tia phân giác của góc .
1,00
Theo giả thiết 5 điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO
0,25
 (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
0,25
 cân tại A 
0,25
 đpcm
0,25
IV
2
Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh .
1,00
(Do )
0,25
 đồng dạng với 
0,25
 đồng dạng với 
0,25
Tam giác vuông tại M có đường cao MH 
. Do 
0,25
IV
3
Đường thẳng qua M, vuông góc với ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Xác định vị trí của điểm A để AMPN là hình bình hành.
1,00
Ta có 
Do đó AMPN là hình bình hành 
Tam giác đồng dạng với 
0,25
TH 1. 
Đặt .
PTTT 
Do (Loại)
0,25
TH 2. 
Đặt .
PTTT 
0,25
Do 
Vậy A thuộc BC, cách O một đoạn bằng 2R thì AMPN là hbh
0,25
V
Chứng minh bất đẳng thức .
1,00
Ta có . Đặt thì
Do nên . Vậy 
0,25
Chứng minh được thỏa mãn 
Thật vậy, BĐT 
. Do nên BĐT này đúng
0,25
Tiếp theo ta sẽ CM thỏa mãn 
Đặt ta được 
0,25
. BĐT này đúng 
Vậy . Đẳng thức xảy ra .
0,25