Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán ( dành cho học sinh thi chuyên toán)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học 2015 – 2016
Môn thi : Toán
( Dành cho học sinh thi chuyên Toán)
Bài 1: ( 2 điểm )
1)Giải phương trình :
2)Giải hệ phương trình:
Bài 2: (2,5 điểm)
1)Cho số nguyên dương n thoả mãn (n,10) = 1. CMR : 
2)Tìm tất cả các số nguyên tố p và số nguyên dương x, y thoả mãn:
3) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên dương x, y, z thoả mãn:
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho 2 số thực dương thoả mãn: 
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) . Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi Q là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC. Gọi E, F là điểm đối xứng của Q qua AB, AC.
CMR: MH.MA = MP.MN
CMR : E, F, H thẳng hàng.
Gọi J là giao điểm của QE và AB. Gọi I là giao điểm của QF và AC. Tìm vị trí của Q trên cung nhỏ BC để nhỏ nhất.
Bài 5: (1,0 điểm)
CMR tồn tại các số nguyên a,b,c sao cho