Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2015-2016 - Sở GD & ĐT Thái Bình (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016
MÔN THI: TOÁN 
(Dành cho tất cả thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3,0 điểm).
Cho biểu thức: 	
Rút gọn biểu thức P.
Tính giá trị của thức P khi 
Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức chỉ nhận một giá trị nguyên.
Bài 2 (2,0 điểm).
Cho phương trình x2 – 2mx + (m – 1)3 = 0	(m là tham số).
Giải phương trình khi m = –1. 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.
Bài 3 (1,0 điểm).
Giải phương trình: 
Bài 4 (3,5 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi M là trung điểm của cạnh HC.
Chứng minh AE.AB = AF.AC.
Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.
Chứng minh HAM = HBO 
Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM.
Bài 5 (0,5 điểm). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
Hết
Họ và tên thí sinh: ..
SỞ GD-ĐT THÁI BÌNH
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016
DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM 
MÔN TOÁN CHUNG
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
1a
0,25
0,5
0,5
0,25
1b
Ta có 
0,25
Thay vào biểu thức 
0,25
Tính được kết quả 
0,25
1c
Đưa được 
0,25
Đánh giá , suy ra 
0,25
Vậy chỉ nhận một giá trị nguyên đó là 1 khi 
0,25
2a
Khi ta có phương trình 
0,5
Giải phương trình ta được hai nghiệm: 
0,5
2b
Tính được 
0,25
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 
0,25
Gọi là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có 
Giả sử thay vào (2) ta được 
0,25
Thay hai nghiệm vào (1) ta được 
Khẳng định hai giá trị vừa tìm được thỏa mãn điều kiện (*), kết luận
0,25
3
Điều kiện: , đưa phương trình trở thành: 
0,25
Đặt ẩn phụ: , phương trình trở thành: 
0,25
Trường hợp: ta có (vô nghiệm)
0,25
Trường hợp: ta có 
0,25
4a
Xét hai tam giác: AEF và ACB có góc A chung
0,25
Ta có suy ra 
(hoặc suy ra )
0,25
Suy ra hai tam giác AEF và ACB đồng dạng
0,25
Từ tỷ số đồng dạng ta có AE.AB = AC.AF
0,25
4b
Xét hai tam giác OHM và OFM có OM chung, OF = OH.
0,25
Có MF = MH (vì tam giác HFC vuông tại F, trung tuyến FM)
0,25
Suy ra (c.c.c)
0,25
Từ đó , MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH
0,25
4c
Xét hai tam giác AHM và BHO có 
0,25
Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH có 
0,25
Suy ra 
0,25
Suy ra 
0,25
4d
Gọi K là giao điểm của AM với đường tròn
Ta có , suy ra BO // HK
0,25
Mà , suy ra , suy ra O là trực tâm của tam giác ABM
0,25
5
Giả sử , từ giả thiết suy ra . Ta có bất đẳng thức sau: (luôn đúng).
Vậy ta cần chứng minh: 
0,25
Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì 
hay .
Dấu bằng xảy ra khi 
0,25
Cho các số dương thỏa mãn .Chứng minh rằng: 
5
 Ta có 
0,25
Ta có 
 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
0,25