Đề thi tuyển sinh khối 10 THPT năm học 2015 - 2016 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gia giao đề)
Câu 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức: với x ³ 0, x ¹ 4.
Rút gọn biểu thức P.
Tìm giá trị của P khi x = .
Câu 2. (1,5 điểm): 
Cho phương trình: x2 + 5x + m – 2 = 0 (m là tham số).
Giải phương trình khi m = -12.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: 
Câu 3. (1,0 điểm)
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 168 m2. Nếu giảm chiều dài đi 1m và tăng chiều rộng thêm 1m thì mảnh vườn trở thành hình vuông. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.
Câu 4. (1,5 điểm)
Cho parabol (P): y = x2 và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1; 2. 
Đường thẳng (d) có phương trình y = mx + n.
Tìm toạ độ hai điểm A, B. Tìm m, n biết (d) đi qua hai điểm A và B..
Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB. (điểm O là gốc toạ độ).
Câu 5. (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (M khác A và B). C là trung điểm của dây cung AM. Đường thẳng d là tiếp tuyến với nửa đường tròn tại B. Tia AM cắt d tại điểm N. Đường thẳng OC cắt d tại E.
Chứng minh: tứ giác OCNB nội tiếp.
Chứng minh: AC.AN = AO.AB.
Chứng minh: NO vuông góc với AE.
Tìm vị trí điểm M sao cho (2.AM + AN) nhỏ nhất.
Câu 6. (0,5 điểm): 
Cho ba số dương a, b, c thay đổi thoả mãn: a2 + b2 + c2 = 3. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
--- HẾT ---
	Họ và tên thí sinh:  Số báo danh: 
ĐÁP ÁN (THAM KHẢO)
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
1
Cho biểu thức: với x ³ 0, x ¹ 4.
Rút gọn biểu thức P.
Tìm giá trị của P khi x = 
2,0
a) Với x ³ 0, x ≠ 4, ta có:
0,25
0,25
0,25
0,25
Vậy với x ³ 0, x ≠ 4 thì .
0,25
b) Ta có: (thoả mãn ĐKXĐ)
Þ 
0,25
Khi đó: 
0,25
Vậy với thì P = . 
0,25
2
Cho phương trình: x2 + 5x + m – 2 = 0 (m là tham số).
Giải phương trình khi m = -12.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: 
1,5
a) Với m = -12, phương trình đã cho trở thành: x2 + 5x -14 = 0
0,25
D = 52 + 4.14 = 81 > 0 Þ 
0,25
Þ phương trình trên có hai nghiệm phân biệt: 
0,25
Vậy với m = -12, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: x1 = -7; x2 = 2.
0,25
b) Phương trình: x2 + 5x + m – 2 = 0 có nghiệm hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác 1
Û (*)
Theo định lí Viet, ta có: .
0,25
 Từ giả thiết: 
Þ x2 - 1+ x1 – 1 = 2(x1 – 1)(x2 – 1)
Û (x1 + x2) – 2 = 2[x1x2 – (x1 + x2) + 1] 
Û -5 – 2 = 2(m – 2 + 5 + 1) Û -7 = 2(m + 4) Û m = (thoả mãn (*)).
Vậy giá trị cầm tìm là m = 
0,25
3
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 168 m2. Nếu giảm chiều dài đi 1m và tăng chiều rộng thêm 1m thì mảnh vườn trở thành hình vuông. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.
1,0
Gọi chiều dài của mảnh vườn là x (m). ĐK: x > 1.
Thì chiều rộng của mảnh vườn là: (m).
0,25
Nếu giảm chiều dài đi 1m và tăng chiều rộng thêm 1m thì mảnh vườn có:
- Chiều dài là x – 1 (m).
- Chiều rộng là (m).
Vì mảnh vườn trở thành hình vuông nên ta có phương trình: 
0,25
Þ 168 + x = x2 – x Û x2 – 2x – 168 = 0 Û (x – 14)(x + 12) = 0 Û 
0,25
Vậy mảnh vườn có chiều dài là 14m, chiều rộng là 168:14 = 12m.
0,25
Cho parabol (P): y = x2 và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1; 2. Đường thẳng (d) có phương trình y = mx + n.
Tìm toạ độ hai điểm A, B. Tìm m, n biết (d) đi qua hai điểm A và B..
Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB. (điểm O là gốc toạ độ).
1,5
a) Ta có: A(xA; yA) Î (P) có hoành độ xA = -1 Þ yA = .(-1)2 = Þ A(-1; ).
0,25
 B(xB; yB) Î (P) có hoành độ xB = 2 Þ yB = .22 = 2 Þ B(2; 2).
0,25
Vì đường thẳng y = mx + n đi qua hai điểm A(-1; ) và B(2; 2) nên ta có hệ:
 .
0,25
Vậy với m = , n = 1 thì (d) đi qua hai điểm A(-1; ) và B(2; 2).
0,25
a) Vẽ (P) và (d) (với m = , n = 1) trên cùng một hệ trục toạ độ như hình vẽ bên.
Dễ thấy (d) cắt Ox tại C(-2; 0) và cắt Oy tại D(0; 1) Þ OC = 2, OD = 1.
0,25
Độ dài đường cao OH của DOAB chính là độ dài đường cao OH của tam giác vuông OCD.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCD, ta có:
Þ Þ (đvđd).
Vậy (đvđd).
0,25
5
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (M khác A và B). C là trung điểm của dây cung AM. Đường thẳng d là tiếp tuyến với nửa đường tròn tại B. Tia AM cắt d tại điểm N. Đường thẳng OC cắt d tại E.
Chứng minh: tứ giác OCNB nội tiếp.
Chứng minh: AC.AN = AO.AB.
Chứng minh: NO vuông góc với AE.
Tìm vị trí điểm M sao cho (2.AM + AN) nhỏ nhất. 
3,5
a) Phần đường kính OC đi qua trung điểm C của AM Þ OC ^ AM Þ .
0,25
BN là tiếp tuyến của (O) tại B Þ OB ^ BN Þ 
0,25
Xét tứ giác OCNB có tổng hai góc đối: 
0,25
Do đó tứ giác OCNB nội tiếp.
0,25
b) Xét DACO và DABN có: chung; 
0,25
Þ DACO ~ DABN (g.g) 
0,25
Þ 
0,25
Do đó AC.AN = AO.AB (đpcm).
0,25
c) Theo chứng minh trên, ta có: 
OC ^ AM Þ EC ^ AN Þ EC là đường cao của DANE (1)
0,25
OB ^ BN Þ AB ^ NE Þ AB là đường cao của DAME (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra O là trực tâm của DANE (vì O là giao điểm của AB và EC).
Þ NO là đường cao thứ ba của DANE.
0,25
Do đó; NO ^ AE (đpcm).
0,25
d) Ta có: 2.AM + AN = 4AC + AN (vì C là trung điểm của AM).
4AC.AN = 4AO.AB = 4R.2R = 8R2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có: 
 4AC + AN ³ 
Þ Tổng 2.AM + AN nhỏ nhất = Û 4AC = AN 
0,25
Û AN = 2AM Û M là trung điểm của AN.
DABN vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên AM = MB
Þ Þ M là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB.
Vậy với M là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB thì (2.AM + AN) nhỏ nhất = .
0,25
5
Cho ba số dương a, b, c thay đổi thoả mãn: a2 + b2 + c2 = 3. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
0,5
Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: 
Với 0 < x < thì (1)
Thật vậy, (1) Û 4x2 + 2 ³ 6x + x3 – x (vì x > 0) Û (x3 – x) – (4x2 - 6x + 2) £ 0 
Û (x – 1)(x2 + x) – 2(x – 1)(2x – 1) £ 0 Û (x – 1)(x2 – 3x + 2) £ 0 
Û (x – 1)2(x – 2) £ 0 (luôn đúng vì (x – 1)2 ³ 0, x – 2 < 0 với 0 < x < )
Dấu bằng xảy ra Û x = 1.
Từ giả thiết: a2 + b2 + c2 = 3 Þ 0 < a2, b2, c2 < 3 Þ 0 < a, b,c < 
Áp dụng bất đẳng thức (1), với 0 < a, b,c <, ta có: 
 (2)
 (3) 
 (4)
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế, ta được:
 (vì a2 + b2 + c2 = 3)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =1.
Vậy Pmin = 9 Û a = b = c =1.