Đề thi trại hè Hùng Vương năm học 2014 - 2015 môn: Toán lớp: 10

 SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG 
 NĂM HỌC 2014-2015
Môn: Toán; Lớp: 10
 ĐỀ ĐỀ NGHỊ Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề 
Câu 1. (4 điểm) . 
Giải hệ phương trình: 
Câu 2. (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, J, M lần lượt là trung điểm của AH, EF, BC; P, Q lần lượt là các giao điểm của EF với các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O); MF cắt AD tại L; ME cắt đường thẳng qua F và song song với BC tại K.
Chứng minh MP//CF, MQ//BE.
Chứng minh IJ luôn đi qua điểm cố định khi (O) và BC cố định, A di động trên 
cung 
Tính góc giữa hai đường thẳng IK và EL?
Câu 3. (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn:
 với 
Câu 4. (4 điểm) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; p; n) với p là số nguyên tố thỏa mãn phương trình: 
Câu 5. (4 điểm): Cho tập S = {1;2;3;...;2015}
Tìm k nhỏ nhất với k là số phần tử của một tập con bất kì của S để tập đó chứa 
ít nhất 3 số nguyên liên tiếp.
Tính số tập con gồm 16 phần tử của S thỏa mãn điều kiện có ít nhất 3 số 
nguyên liên tiếp trong tập đó.
----------- Hết ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................
Người phản biện
Trần Thị Kim Diên
SĐT: 0983496088
Người ra đề
Triệu Văn Dũng
SĐT: 0915
SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG 
 NĂM HỌC 2014-2015
Môn: Toán; Lớp: 10
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Nội dung
Điểm
1.
Câu 1. (4 điểm) . 
Giải hệ phương trình: 
4
 ĐKXĐ: ; 
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki cho (1) ta có:
 = 
1
Dấu bằng xảy ra 
(2) (x-y-1)(2x+2y-15) = 0
 (4) hoặc (5)
1
+) Từ (4) và (3) ta được phương trình: 
 (x; y) = () (thỏa mãn) hoặc (x;y)= ()(loại)
1
+) Từ (5) và (3) ta được phương trình: 
 (x; y) = (); ()
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) là
S = {(); (); ()}
1
2
Câu 2. (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, J, M lần lượt là trung điểm của AH, EF, BC. P, Q lần lượt là giao của EF với tiếp tuyến tại B và C của (O). MF cắt AD tại L, ME cắt đường thẳng qua F và song song với BC tại K.
Chứng minh MP//CF, MQ//BE.
Chứng minh IJ luôn đi qua điểm cố định khi (O) và BC cố định, A di động trên 
Tính (IK,EL)?
4
Ta thấy tứ giác BCEF nội tiếp (M) đường kính BC, do đó , suy ra tam giác PFB cân tại P, ta được PB=PF.
Mặt khác, ta có MB=MF nên MP trở thành trung trực của BF
Suy ra hay MP//CF. Tương tự, có MQ//BE (đpcm)
1,5
Ta đi chứng minh IJ đi qua M là điểm cố định:
Nhận thấy tứ giác AFHE nội tiếp (I) đường kính AH, do đó IE=IF=AH/2.
Mà ME=MF=BC/2, suy ra MI là đường trung trực của EF.
Hay MI đi qua J. Vậy IJ luôn đi qua M khi A di động trên (đpcm)
1,5
Ta sẽ chỉ ra như sau:
Do FK//BC nên suy ra 
Theo định lí Pythagore cho các tam giác IEK, IFL ta biến đổi:
Và 
Suy ra , hay .
Vậy /2
1
3
Câu 3. (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thức thỏa mãn:
 với 
4
Giả sử tồn tại đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn bài toán.
Từ GT ta thay x bởi 2y, suy ra:
	 (1) với mọi y thuộc 
*) Nếu P(x)=c (const), suy ra hay c=0, suy ra với mọi x. (thỏa mãn)
1
*) Nếu P(x) khác hằng số, giả sử P(x) có dạng (), so sánh hệ số dẫn đầu 2 vế (1) ta thấy:
Hay 
1
+) Nếu n chẵn, suy ra điểu vô lí vì với mọi n thuộc 
+) Nếu n lẻ, suy ra suy ra n=1.
Suy ra P(x)=ax+b (). Mà từ GT, thay x=y=0 ta được P(0)=0, nên b=0.
1
Thay P(x)=ax vào GT ta có:
 với mọi x,y thuộc ,
 với mọi x,y thuộc (Vô lí)
Vậy là đa thức duy nhất thỏa mãn bài.
1
4.
Câu 4: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x; p; n) với p là số nguyên tố thỏa mãn phương trình:
 = (*)
4
(*) = 
 = 
Gọi d = ( ), d
=> d và d
=> d và d
=> 29 d (1)
1
=> d { 1 ; 29 }
+) Nếu p = 11 =>(2)
Mà > do > 0
Nên kết hợp (1) và (2) suy ra và x+5 =1
(vô lí vì xÎ nên x+5 > 1) => loại
1
+) Nếu p 11, xét 2 trường hợp:
TH1: d = 29 => p = 29 vì p nguyên tố
 => Loại
1
TH2: d = 1, suy ra
 vô lí (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm, hay không tìm được bộ (x;p;n) nào thỏa mãn đề bài với p là số nguyên tố.
1
5
Câu 5. (4 điểm): Cho tập S = {1;2;3;...;2015}
Tìm k nhỏ nhất với k là số phần tử của 1 tập con bất kì của S để tập đó chứa ít nhất 3 số nguyên liên tiếp.
Tính số tập con gồm 16 phần tử của S thỏa mãn có ít nhất 3 số nguyên liên tiếp trong tập đó.
4
Nếu k1344 và T{1;2;4;5;7;8;...;2014;2015} gồm 1344 phần tử, chọn k bất kì thấy không thỏa mãn.
Nếu k1345. Ta chứng minh k=1345 thỏa mãn.
Thật vậy chia S thành 672 bộ {1;2;3};{4;5;6};...;{2011;2012;2013};{2014;2015}.
1
Xét 671 bộ trừ bộ {2014;2015} theo nguyên lí Dirichlet tồn tại +1 = 3 phần tử thuộc tập con 1345 phần tử của S thuộc 1 trong 671 bộ này (đpcm).
Vậy giá trị nhỏ nhất của k= 1345.
1
b) Ta sẽ đi chứng minh bài toán tổng quát.
Gọi A là họ các tập con của S gồm m phần tử không có 3 số nguyên liên tiếp nào (m B. Thật vậy: Xét tập G Î A. Giả sử G={a1, a2,..., am }, aj (a1,a2-1,a3-2,...,am-m+1) suy ra tồn tại song ánh f: A-> B => lAl = lBl. Số tập B như vậy được tạo thành bằng cách lấy i phần tử từ 1-> n-m+1 ( £ i£ m), sau đó chọn m-i còn lại trong i tập này. 
1
lBl = Cin-m+1.Cm-ii = lAl.
Vậy số các tập thỏa mãn đề bài là: Ckn - lAl.
Thay số n=2015; m=16.
1
Lưu ý khi chấm bài:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong lời giải bài 4, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn.