Đề thi chọn học sinh giỏi tình lớp 10 năm học 2006 - 2007 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO 
HÀ TĨNH 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TèNH LỚP 10 
Năm học 2006 - 2007 
 MễN TOÁN 
 Thời gian làm bài: 180 phỳt 
Bài 1: (6 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau: 
( ) ( )( )
( )
2
3 2 2
7a) 8x 7 4x 3 x 1
2
b) x x x 2 x x 1 1
+ + + =
= + - - + +
Bài 2: Tỡm m để hệ phương trỡnh sau cú nghiệm 
2
2
x 4 | y | m
y 4 | x | m
ỡ + + =ù
ớ
+ + =ùợ
Bài 3: Cho a, b, c ẻ R. Chứng minh: ( ) ( )2 2 2 2a b c 1 3 a b c 1 6ab+ + + Ê + + + + 
Bài 4: Cho DABC và K, L, M lần lượt nằm trờn cỏc cạnh AB, BC, CA sao cho 
AK BL CM 1
AB BC CA 3
= = = . Biết bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp cỏc tam giỏc 
AKM, BLK, CML bằng nhau. Chứng minh DABC đều. 
Bài 5: Cho x, y, z ẻ R thoả món điều kiện 2 2 2
x y z 0
x y z 6
+ + =ỡ
ớ
+ + =ợ
. 
Tỡm GTLN, GTNN của P = x3 + y3 + z3 
ĐÁP ÁN 
( )( ) ( ) ( )
4 2
2 2 2
y 1 y 1 7. .
2 8 2
2 2 7y y 56 0 y 2 2 x
8
b)
1 x 1 x 2 x x 1 0 x 1 x x 1 x 2 x x 1 0
Ta x 1 0 x 1
2
3
Bài 1:
a) Đặt 8x+7=y, phương trình đã cho trở thành y
Phương trình đã cho tương đương với
x
 có: +) 
- +
=
±
Û - - = Û = ± ị =
ộ ự- - - - - + = Û - + + - + + + =ở ỷ
- = Û =
( )
( )
2x 1 x 2 x x 1 0 x 1 y
x 2 y 2x 0 y 2,x y
y x
1 13x
2
1 13V x
2
2 2
2
 +) x Đặt x đk:y>0
Phương trình trở thành: y
 *)Với ta có: x=1
 *) Với y =2 ta có: 
ậy nghiệm của phương trình là: , x =
+ + - + + + = + + =
+ + + = Û = =
=
±
=
±
= 1 
( )
( )
( )
( ) ( )
( )( )
2
2 2 2
B . | y | u 0,| x | v 0. H
4 u m 1
u 4 v m 2
V 2
L 2 ta c 4 u 4 v u
v u v u 4 u 4 v u. Khi | x | | y |
Ta c
2
2
2
2
2
ài 2: 3điểm Đặt ệ đã cho trở thành:
v
ới m < 2 hệ vô nghiệm, ta chỉ xét m
ấy 1 ó: v
v đó ta có 
|x| = |y|
ó:
x
= ³ = ³
ỡ + + =ù
ớ
+ + =ùợ
³
- + - + = -
Û - = - + + + Û = =
+
( )
( )
( )
2
2
4 | x | m 4 m | x | 4
m 4m 4 x
T 2m
x m 2 x m 2
4Khi m 2 m 2. V
2m
2
2
|x| = |y| 3
x
2m x
ừ 4 ta có:
m
 đó: 0 ậy m 2 thì hệ có nghiệm
ỡỡù ùÛớ ớ
+ = + = -ù ùợ ợ
ỡ -ỡ = - =ù ùÛớ ớ
Ê -ù ùợ Ê -ợ
-
Ê Ê - Û ³ ³
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
B .B
b c 1 c a b a b c 0
a b 1 a b c c 1 0
B
ài 3: 3 điểm ĐT đã cho tương đương với 
a
ĐT này luôn đúng nên BĐT được chứng minh 
+ + + - + - + - ³
Û + + + + - + - ³
Bài 4: (4 điểm). Gọi bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp cỏc tam giỏc AKM, BLK, 
CML là R ta cú: KL = 2RsinB, KM = 2RsinA, ML = 2RsinC. Từ đú suy ra 
DABC đồng dạng với DLMK 
Mặt khỏc ta cú: SAKM = SBLK = SMCL = ABC
2 S
9
ị SKLM = ABC
1S
3
Nờn tỉ số đồng dạng của DABC và DLMK là 1
3
Áp dụng định lớ cosin cho DABC là cú a2 = b2 + c2 - 2bccosA