Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông lớp 12 từ năm 2002 đến 2007 môn thi: Toán

bộ giáo dục và đào tạo 
----------------------- 
đề chính thức 
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông 
năm học 2002 – 2003 
----------------------------------------- 
môn thi: toán 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 
----------------- 
Bài 1 (3 điểm). 
1. Khảo sát hàm số 
2
542
−
−+−=
x
xxy 
2. Xác định m để đồ thị hàm số 
2
54)4( 22
−+
−−+−−−=
mx
mmxmx
y có các tiệm cận trùng với 
các tiệm cận t−ơng ứng của đồ thị hàm số khảo sát trên. 
Bài 2 (2 điểm). 
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số 
12
133)( 2
23
++
−++=
xx
xxxxf 
biết rằng F(1) = 
3
1 . 
2. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 
2
12102 2
+
−−=
x
xxy 
và đ−ờng thẳng y = 0. 
Bài 3 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho một elíp (E) có khoảng cách giữa các 
đ−ờng chuẩn là 36 và các bán kính qua tiêu của điểm M nằm trên elíp (E) là 9 và 15. 
1. Viết ph−ơng trình chính tắc của elíp (E). 
2. Viết ph−ơng trình tiếp tuyến của elíp (E) tại điểm M. 
Bài 4 (2,5 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có toạ độ 
xác định bởi các hệ thức: 
A = (2; 4; - 1) , 
→
−
→
+
→
=
→
kjiOB 4 , C = (2; 4; 3) , 
→
−
→
+
→
=
→
kjiOD 22 . 
1. Chứng minh rằng AB ⊥ AC, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. 
2. Viết ph−ơng trình tham số của đ−ờng vuông góc chung ∆ của hai đ−ờng thẳng AB và 
CD. Tính góc giữa đ−ờng thẳng ∆ và mặt phẳng (ABD). 
3. Viết ph−ơng trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Viết ph−ơng trình tiếp diện 
 (α) của mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD). 
Bài 5 (1 điểm). Giải hệ ph−ơng trình cho bởi hệ thức sau: 
2:5:6:: 111 =−++ CCC yxyxyx 
-------- hết -------- 
 Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh .......... 
 Chữ kí của giám thị 1 và giám thị 2: ......................................................................... 
2
bộ giáo dục và đào tạo 
-------------------- 
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông 
năm học 2002 – 2003 
------------------- 
h−ớng dẫn chấm Đề chính thức 
môn toán 
* Bản h−ớng dẫn chấm thi này có 4 trang * 
I. Các chú ý khi chấm thi 
1) H−ớng dẫn chấm thi (HDCT) này nêu biểu điểm chấm thi t−ơng ứng với đáp án nêu d−ới đây. 
2) Nếu thí sinh có cách giải đúng, cách giải khác với đáp án, thì ng−ời chấm cho điểm theo số 
điểm qui định dành cho câu ( hay phần ♦) đó. 
3) Việc vận dụng HDCT chi tiết tới 0,25 điểm phải thống nhất trong tất cả các tổ chấm thi môn 
Toán của Hội đồng. 
4) Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm tròn điểm môn thi theo qui định chung. 
II. Đáp án và cách cho điểm 
 Bài 1 (3 điểm). 
 1. (2, 5 điểm) 
- Tập xác định R \ { 2}. (0, 25 điểm)
- Sự biến thiên: 
 a) Chiều biến thiên: 
♦
2
1
2 −−+−= xxy , y ' = 2
2
)2(
34
−
−+−
x
xx
, 

=
=⇔=
3
1
0'
x
x
y 
y’< 0 với ∀ ( ) ( )∞∪∞−∈ ;31;x : hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ( )+∞∞− ;3,1; . 
y’ > 0 với ∀ ( )2;1∈x ∪ (2; 3): hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 2), (2; 3). 
(0, 75 điểm)
b) Cực trị: 
♦ Hàm số có hai cực trị: cực tiểu yCT = y(1) = 2 , cực đại yCĐ = y(3) = - 2. 
(0, 25 điểm)
c) Giới hạn: 
♦ .
2
542
2
lim
2
lim,
2
542
2
lim
2
lim ∞−=−
−+−
+→
=
+→
∞+=−
−+−
−→
=
−→ x
xx
x
y
xx
xx
x
y
x
 Đồ thị có 
tiệm cận đứng x = - 2. 
♦ 0)
2
1
(lim)]2([lim =−−∞→=+−−∞→ xxxyx . Đồ thị có tiệm cận xiên y = - x + 2. 
(0, 25 điểm) 
(0, 25 điểm)
 d) Bảng biến thiên: 
(0, 25 điểm)
- Đồ thị: 
x ∞+∞− 321
y’ - 0 + + 0 - 
y + ∞ + ∞ - 2 
 CĐ 
 CT 
 2 - -∞ - ∞ 
3
(0, 50 điểm)
 2. ( 0, 5 điểm) 
♦ 
2
162
2 −+
−−++−=
mx
mm
xy , đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2 khi và chỉ khi ∞=→ yx 2lim 
⇔ ∞=−+
−−
→ 2
162
2
lim
mx
mm
x
. Qua giới hạn có 2 + m – 2 = 0 hay m = 0. 
♦ Với m = 0 ta có 
2
1
2
2
542
−−+−=−
−+−=
x
x
x
xx
y ; nên đồ thị hàm số có tiệm cận 
xiên là y = - x +2. 
 Vậy giá trị cần tìm của m là m = 0. 
(0, 25 điểm) 
(0, 25 điểm)
Bài 2 (2 điểm ) 
1. (1 điểm) 
♦
22
23
)1(
2
1
)1(
133
)(
+
−+=+
−++=
x
x
x
xxx
xf
;
1
2
2
2
2)1(
13233 C
x
xxdx
x
xxx ++++=⇒ ∫ + −++ 
♦ Vì 
3
1
)1( =F nên
6
13−=C . Do đó 
6
13
1
2
2
)(
2
−+++= xx
xxF . 
(0, 75 điểm) 
(0, 25 điểm)
2. ( 1 điểm) 
♦ Diện tích hình phẳng S cần tìm 
∫∫∫ −−− +−−+
++−−+
−− ===
6
1
6
1
26
1
2
)
2
16
214(
2
12102
0
2
12102
dx
x
xdx
x
xx
dx
x
xxS 
(0, 25 điểm) 
Vẽ đúng dạng đồ thị : 
+ Giao với Oy: tại điểm 
 (0; 2,5) 
+ Đồ thị có tâm đối xứng tại 
điểm ( 2 ; 0). 
+ Đồ thị có hai tiệm cận: 
 x = 2 và y = - x + 2. 
♦ Giải ph−ơng trình: 
2
12102 2
+
−−
x
xx = 0 
ta tìm đ−ợc các cận lấy tích phân 
là: - 1 và 6. 
4
 .8ln1663)2ln1614( 6
1
2 −=+−−= −xxx 
(0, 75 điểm)
Bài 3 (1, 5 điểm) 
 1. (1 điểm). 
 ♦ Giả sử điểm M ở góc phần t− thứ nhất và M = (x; y). Khi đó theo đầu bài ta có 
các hệ thức: các bán kính qua tiêu 
1
MF = a + ex = 15, 
2
MF = a - ex = 9, khoảng 
cách giữa các đ−ờng chuẩn: 2 . 
e
a
 = 36. Vậy a = 12, e = 
3
2
, x = 
2
9
. 
 ♦ Vì c = a.e = 8 và có b2= a2- c2= 80 nên ph−ơng trình chính tắc của elíp (E) là 
1
80
2
144
2
=+ yx 
(0, 75 điểm) 
(0, 25 điểm)
2. (0, 5 điểm). 
♦ Tiếp tuyến với elíp (E) tại điểm M(
2
9
; 
2
115
) là 3211 =+ yx . 
♦ Trên elíp (E) còn 3 điểm có toạ độ là (- 
2
9
; 
2
115
), (
2
9
; - 
2
115
), (- 
2
9
; - 
2
115
) 
cũng có các bán kính qua tiêu là 9 và 15. Do đó ta còn có 3 ph−ơng trình tiếp tuyến 
với elíp (E) tại các điểm (t−ơng ứng) đó là : - 3211 =+ yx , 3211 =− yx , 
3211 −=+ yx 
(0, 25 điểm) 
(0, 25 điểm)
Bài 4 (2, 5 điểm) 
 1. (1 điểm) 
♦Theo đầu bài ta có A= (2; 4; -1), B = (1; 4; -1), C = (2; 4; 3), D = (2; 2; -1). Do đó: 
ADABADAB
ADACADAC
ACABACAB
⊥⇒=+−+−=→→
⊥⇒=+−+=→→
⊥⇒=++−=→→
00.0)2.(00).1(.
00.4)2.(00.0.
04.00.00).1(.
♦ Thể tích khối tứ diện ABCD tính theo công thức 
VABCD =
→→→
ADACAB ].,[
6
1 = 
3
4 (do )0;4;0(],[ =
→→
ACAB ) 
(0, 75 điểm) 
(0,2 5 điểm)
2. (0, 75 điểm) 
♦ Đ−ờng thẳng CD nằm trên mặt phẳng (ACD) mà mặt phẳng (ACD) ⊥ AB nên 
đ−ờng vuông góc chung ∆ của AB và CD là đ−ờng thẳng qua A và vuông góc với CD. 
Vậy đ−ờng thẳng ∆ có vectơ chỉ ph−ơng )1;2;0(],[
2
1 −=
→→
=
→
CDABu và ph−ơng trình 
tham số là: 



+−=
−=
=
tz
ty
x
1
24
2
(0, 50 điểm)
♦ Mặt phẳng (ABD) có vectơ pháp tuyến [=→n →AB , →AD ] = (0; 0; 2). Vậy góc nhọn 
ϕ giữa ∆ và mặt phẳng (ABD) xác định bởi biểu thức: 
5
 sin ϕ = →→
→→
un
un
.
.
5
5
52
2
1)2(.2
1.2)2.(00.0
222
==
+−
+−+= 
(0, 25 điểm)
 3. (0, 75 điểm) 
♦ Ph−ơng trình mặt cầu (S) có dạng: 
0222222 =++++++ dczbyaxzyx 
 Bốn điểm A, B, C, D nằm trên mặt cầu nên có toạ độ thoả mãn ph−ơng trình trên. 
Do đó các hệ số a, b, c, d là nghiệm của hệ ph−ơng trình sau: 



∈=+−++
∈=++++
∈=+−++
∈=+−++
)(02449
)(068429
)(028218
)(028421
SDdcba
SCdcba
SBdcba
SAdcba
Giải hệ này có a = 
2
3− , b = -3, c = - 1, d = 7. Do đó ph−ơng trình mặt cầu (S) là: 
07263222 =+−−−++ zyxzyx . 
(0, 50 điểm)
♦ Mặt cầu (S) có tâm K = (
2
3
; 3; 1) và bán kính R = 
2
21
; ph−ơng trình của mặt 
phẳng (ABD) là: z + 1 = 0. Ph−ơng trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABD) 
có dạng z + d = 0. Mặt phẳng đó là tiếp diện của mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng 
cách từ tâm K đến mặt phẳng đó bằng R: 
2
221
2,2
221
12
21
212020
1.1 +−=−=⇒=
++
+
dd
d
. 
Vậy có hai tiếp diện của mặt cầu (S) cần tìm là: 
(α1): z + 2
221−
 = 0 
 (α2): z 2
221+− = 0 
(0, 25 điểm)
 Bài 5 (1 điểm). 
♦ Hệ thức 2:5:61:1:1 =−++ C yxC yxC yx với x và y là các số nguyên d−ơng mà 
2 ≤ y+1 ≤ x cho hệ ph−ơng trình sau: 



−
=+
+
=+
2
1y
xC
6
y
1xC
5
1y
xC
6
y
1xC
♦ Giải hệ: 








=
=⇔
=+
+=−+−
+
⇔
+−−=−+
+
−−+=−+
+
3
8
26
1
)1(5
1
)1)((6
1
)!1()!1(2
!
)!1(!6
)!1(
)!1()!1(5
!
)!1(!6
)!1(
1 y
x
y
x
yyxyx
x
yxy
x
yxy
x
yxy
x
yxy
x
(0, 50 điểm) 
(0, 50 điểm)
--------- HếT --------- 
6
Bộ giáo dục và đào tạo 
----------------- 
đề chính thức 
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông
năm học 2003 – 2004 
-------------------- 
môn thi: toán 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Bài 1 (4 điểm) Cho hàm số 23
3
1 xxy −= có đồ thị là (C). 
1. Khảo sát hàm số. 
2. Viết ph−ơng trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm . )A(3; 0
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các 
đ−ờng y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox. 
Bài 2 (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
xxy 3sin
3
4sin2 −= 
trên đoạn [ . ]0 π;
Bài 3 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp 
(E): 1
1625
22
=+ yx 
có hai tiêu điểm , F . 1F 2
1. Cho điểm M(3; m) thuộc (E), hãy viết ph−ơng trình tiếp tuyến của (E) tại M 
khi m > 0. 
2. Cho A và B là hai điểm thuộc (E) sao cho A + B F = 8. Hãy 
tính A + B F . 
1F 2
2F 1
Bài 4 (2,5 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A(1; -1; 2), 
B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2). 
1. Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng. 
2. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết 
ph−ơng trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’, B, C, D. 
3. Viết ph−ơng trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A’. 
Bài 5 (1 điểm) Giải bất ph−ơng trình (với hai ẩn là n, k ∈ N) 
2
3
5 60
!)(
+++ ≤−
k
n
n A
kn
P
------- hết ------- 
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: 
Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: 
7
bộ giáo dục và đào tạo 
....................... 
h−ớng dẫn chấm 
đề chính thức 
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông 
năm học 2003 – 2004 
..................... 
Môn thi: Toán 
 Bản h−ớng dẫn chấm có 4 trang 
I. Các chú ý khi chấm thi 
1) H−ớng dẫn chấm thi (HDCT) này nêu biểu điểm chấm thi t−ơng ứng với đáp án d−ới 
đây. 
2) Nếu thí sinh có cách giải đúng khác với đáp án, thì ng−ời chấm cho điểm theo số 
điểm qui định dành cho câu ( hay phần • ) đó. 
3) Việc vận dụng HDCT chi tiết tới 0,25 điểm phải thống nhất trong tất cả các tổ chấm 
thi môn Toán của Hội đồng. 
4) Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm tròn điểm môn thi theo qui định chung. 
II. Đáp án và cách cho điểm 
 Bài 1 (4 điểm) 
 1. (2, 5 điểm) 
- Tập xác định R . 0, 25 
- Sự biến thiên: 
a) Chiều biến thiên: 
• 23
3
1 xxy −= , y ' = , ; xx 22− 

=
=⇔=
2
0
0'
x
x
y
y’< 0 với ∀ : hàm số nghịch biến trên khoảng( 2;0∈x ) ( )2;0 , 
y’ > 0 với ∀ (2; +∞): hàm số đồng biến trên các khoảng (- ∞; 0), 
(2; +∞). 
( 0;∞−∈x ) ∪
0, 75 
b) Cực trị: 
• Hàm số có hai cực trị: cực đại yCĐ = y(0) = 0, cực tiểu yCT = y(2) = 
3
4− . 
0, 25 
c) Giới hạn: 
• ∞+=∞+→∞−=∞−→ yxyx lim,lim , đồ thị không có tiệm cận. 
0, 25 
d) Bảng biến thiên: 
• 
0, 25 
x - ∞ 0 2 + ∞ 
y’ + 0 - 0 + 
y 
 0 + ∞ 
 CĐ CT 
 - ∞ 
3
− 4
8
 e) Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị: 
• y’’= 2x – 2, y’’ = 0 ⇔ x = 1. Ta có y(1) = 
3
2− , 
x - ∞ 1 + ∞ 
 y’’ - 0 + 
Đồ thị lồi đ. uốn lõm 
0, 25 
- Đồ thị: 
• 
0, 50 
 2. (1,0 điểm) 
• Nêu đ−ợc điều kiện cần và đủ để đ−ờng thẳng d với hệ số góc k đi qua 
điểm (3; 0) có ph−ơng trình y = k(x-3) tiếp xúc với (C) là hệ ph−ơng 
trình sau có nghiệm 



=−
−=−
kxx
xkxx
2
)3(
2
23
3
1
• Tìm đ−ợc hai nghiệm (x; k) là: (0 ; 0) , (3 ; 3) . 
• Viết đ−ợc hai ph−ơng trình tiếp tuyến: y = 0 , y = 3x – 9 . 
0, 25 
0, 50 
0, 25 
3. (0,50 điểm) 
• ∫∫ +−− == 3
0
456
3
0
223 )
3
2
9
1()
3
1( dxxxxdxxx ππV 
• 
35
81)
5963
(
0
3567 ππ =+−= xxx (đvtt). 
0, 25 
0, 25 
Bài 2 (1 điểm) 
• Tính đúng đạo hàm của hàm số y = 2sinx :xsin
3
4 3− 
cosx.x4sincosx2y' 2−= 
• Tìm đ−ợc các điểm tới hạn trên đoạn [0; π] : y’ = 0 ⇔ x∈ {
4
3,
4
,
2
πππ
 }. 
0, 25 
0, 25 
)
2
;1(U −
3
3
4
3
2
−
−
y 
-1 O 1 2 3 x Vẽ đúng dạng đồ thị : 
+ Giao với Oy: (0; 0) 
+ Giao với Ox: (0; 0) , (3; 0) 
+ Tâm đối xứng của đồ thị: 
 U(1; ) 
3
2−
9
• Tính các giá trị y(0), y(π), y( )
4
3(,)
4
(,)
2
πππ yy 
⇒ 
3
22,0 == yy
][0;][0;
maxmin
ππ
. 
0, 50 
Bài 3 (1,5 điểm)
 1. (0,75 điểm). 
• Tìm tọa độ điểm M(3; m) thuộc (E), m>0: M = (3; 
5
16
 ). 
• Viết đ−ợc ph−ơng trình tiếp tuyến của (E) tại M: 1
16.5
.16
25
.3 =+ yx 
Hay 1
525
3 =+ yx . 
0, 50 
0, 25 
2. (0, 75 điểm). 
• Tìm đ−ợc A + A F = B + B = 10 . 1F 2 1F 2F
• Tính đ−ợc A + B = 20 – (A + B ) = 12. 2F 1F 1F 2F
0, 50 
0, 25 
Bài 4 (2,5 điểm)
 1. (1 điểm) 
• Nêu đ−ợc ba vectơ đồng phẳng ⇔ = 0, →→→ ADACAB ,, →→→ ADACAB ].,[
• Tính đ−ợc: ; ,)0;4;0(=→AB )0;0;3(,)0;4;3( =→=→ ADAC
 ; = 3.0 + 0.0 + 0.(-12) = 0. )12;0;0(],[ −=
→→
ACAB
→→→
ADACAB ].,[
( Ghi chú: Nếu thí sinh lập luận bốn điểm đã cho cùng nằm trên mặt phẳng 
z = 2 thì chấm đạt điểm tối đa) 
0,2 5 
0, 75 
 2. (1,0 điểm) 
• Nêu đ−ợc A’ = (1; -1; 0), ph−ơng trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: 
0222222 =++++++ dczbyaxzyx (*) 
Nêu đ−ợc bốn điểm A’, B , C , D nằm trên mặt cầu (S) nên có toạ độ thoả mãn 
ph−ơng trình (*) và các hệ số a, b, c, d là nghiệm của hệ ph−ơng trình : 



∈=++−+
∈=++++
∈=++++
∈=+−+
(S)D0d4c2b8a21
(S)C0d4c6b8a29
(S)B0d4c6b2a14
(S)A'0d2b2a2
• Giải hệ tìm đ−ợc: a = 
2
5− , b = -1, c = - 1, d = 1; ph−ơng trình mặt cầu 
(S) : . 01225222 =+−−−++ zyxzyx
0, 50 
0, 50 
10
3. (0,50 điểm) 
• Tìm đ−ợc tâm I = (
2
5
; 1; 1) của mặt cầu (S) và vectơ pháp tuyến 
1)2;;
2
3
(IA' −−−=→ của tiếp diện (α). 
• Viết đ−ợc ph−ơng trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A’là: 
3x + 4y + 2z +1= 0. 
0, 25 
0, 25 
Bài 5 (1 điểm) 
• Viết đ−ợc: 

≤+−++
≤⇔≤−
+++ 60)1)(4)(5(60!)(
2
3
5
knnn
nk
A
kn
P k
n
n 
• Xét với n > 4 : khẳng định bất ph−ơng trình vô nghiệm. 
• Xét với n ∈{0, 1, 2 , 3} tìm đ−ợc các nghiệm (n; k) của bất ph−ơng trình 
là: 
(0; 0) , (1; 0) , (1; 1) , (2; 2) , (3; 3). 
0, 50 
0, 25 
0, 25 
--------- HếT --------- 
11
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THễNG 
NĂM HỌC 2004 - 2005 
-------------- 
MễN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề. 
Bài 1 (3,5 điểm). 
 Cho hàm số 
1x
1x2y +
+= có đồ thị (C). 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C). 
3. Viết ph−ơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1; 3). 
Bài 2 (1,5 điểm). 
1. Tính tích phân ∫
π
+= 2
0
2 xdxcos)xsinx(I . 
2. Xác định tham số m để hàm số y = x3 - 3mx2 + (m2 - 1)x + 2 đạt cực đại tại điểm x = 2. 
Bài 3 (2 điểm). 
 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y2 = 8x. 
1. Tìm toạ độ tiêu điểm và viết ph−ơng trình đ−ờng chuẩn của (P). 
2. Viết ph−ơng trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M thuộc (P) có tung độ bằng 4. 
3. Giả sử đ−ờng thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt 
A, B có hoành độ t−ơng ứng là x1, x2. Chứng minh: AB = x1 + x2 + 4. 
Bài 4 (2 điểm). 
 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+ y2 + z2 - 2x + 2y + 4z - 3 = 0 
 và hai đ−ờng thẳng ⎩⎨
⎧
=−
=−+∆
0z2x
02y2x
:)( 1 , 1
z
1
y
1
1x:)( 2 −==−
−∆ . 
1. Chứng minh )( 1∆ và )( 2∆ chéo nhau. 
2. Viết ph−ơng trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đ−ờng 
thẳng )( 1∆ và ( 2∆ ). 
Bài 5 (1điểm). 
 Giải bất ph−ơng trình, ẩn n thuộc tập số tự nhiên: 
2
n
n
2n
1n
2n A2
5CC >+ +−+ . 
.....HẾT....... 
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. 
Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm. 
 Họ và tờn thớ sinh: ........................................................................... ...........................Số bỏo danh:............................................................ 
Chữ ký của giỏm thị số 1: ....................................................... Chữ ký của giỏm thị số 2: .................................................. 12
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THễNG 
NĂM HỌC 2004 - 2005 
-------------- 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
ĐỀ CHÍNH THỨC MễN: TOÁN 
(Bản hướng dẫn chấm gồm: 04 trang) 
I. Hướng dẫn chung 
1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ 
điểm nh− h−ớng dẫn quy định (đối với từng phần). 
2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong h−ớng dẫn chấm phải 
đảm bảo không sai lệch với h−ớng dẫn chấm và đ−ợc thống nhất thực hiện trong 
Hội đồng chấm thi. 
3. Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm trũn điểm thi, theo nguyờn tắc: 
 Điểm toàn bài được làm trũn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm trũn thành 0,5; lẻ 0,75 làm 
 trũn thành 1,0 điểm). 
II. Đỏp ỏn và thang điểm. 
Bài 1 (3,5 điểm). 
1 (2 điểm). 
 2x 1 1y 2
x 1 x 1
+= = −+ + 
• TXĐ: { }\ 1−R . 
Sự biến thiờn: 
• ( )2
1y ' 0, x 1.
x 1
= > ∀ ≠ −+ 
• Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng ( ); 1−∞ − và ( )1;− +∞ . 
 Hàm số khụng cú cực trị. 
Giới hạn và tiệm cận: 
• 
x
lim y 2→±∞ = ⇒ đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang. 
• 
x 1 x 1
lim y , lim y− +→− →−
= +∞ = −∞ ⇒ đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng. 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
 13
 • Bảng biến thiờn: 
• Đồ thị: 
 Đồ thị cắt trục Ox tại điểm 1 ;0
2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ và cắt trục Oy tại điểm ( )0;1 . 
2 (0,75 điểm). Diện tớch hỡnh phẳng 
• 
0
1
2
1S 2 dx
x 1−
⎛ ⎞= −⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ 
• ( )( ) 02x ln x 1 1
2
= − + − 
• 1 ln 2= − (đvdt). 
0,25 
0,5 
0,25 
0,25 
0,25 
y 
1 
-1 1
2
− 0 
2 
x 
+ + 
2 
y 
y' 
x -∞ +∞ -1 
-∞ 
+∞
2 
14
 3 (0,75 điểm). 
• Đường thẳng (d) đi qua A(-1; 3),với hệ số gúc k cú phương trỡnh: 
y = k(x+1) + 3. 
• (d) tiếp xỳc với (C) khi và chỉ khi hệ sau cú nghiệm 
( )
( )2
2x 1 k x 1 3 (1)
x 1
1 k (2) 
x 1
+⎧ = + +⎪ +⎪⎨⎪ =⎪ +⎩
• Thay k từ (2) vào (1) và rỳt gọn ta được x = - 3. Suy ra 1k
4
= . 
 Tiếp tuyến của (C) đi qua A là (d): 1 13y x
4 4
= + . 
Bài 2 (1,5 điểm). 
1 (0,75 điểm). 
• Đặt 
2 du (1 2sinx.cosx)dxu x sin x
v sinxdv cosxdx
⎧ = +⎧= +⎪ ⇒⎨ ⎨ ==⎪ ⎩⎩
. 
• ( )( ) ( )22
0
I x sin x sinx 1 2sinx.cosx sin xdx2
0
ππ
= + − +∫ 
• = 2 2 2
0 0
1 sin xdx 2 sin xd(sin x)
2
π π
π⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ 
 = 32 2
0 0
2 2( 1) cos x sin x .
2 3 2 3
π ππ π+ + − = − 
2 (0,75 điểm). 
•Tập xỏc định: R. y' = 3x2 - 6mx + (m2 - 1). 
• Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thỡ y'(2) = 0. 
Suy ra m2 - 12m + 11 = 0 ⇒ m = 1 hoặc m = 11. 
• Thử lại: 
Với m = 1 thỡ y''(2) = 6 > 0, do đú x = 2 khụng phải là điểm cực đại của 
hàm số. 
Với m = 11 thỡ y''(2) = 12 - 66 < 0, do đú x = 2 là điểm cực đại của hàm 
số. 
Kết luận: m = 11. 
Bài 3 (2 điểm). 
1 (0,5 điểm). 
• Ta cú: 2p = 8 ⇒ p = 4. 
• Tiờu điểm F(2; 0), đường chuẩn (∆): x = - 2. 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 15
 2 (0,75 điểm). 
• M(x; y) ∈(P), y = 4 ⇒ x = 2. 
• Tiếp tuyến của (P) tại M(2; 4): 4.y = 4(2 + x) ⇔ x - y + 2 = 0. 
3 (0,75 điểm). 
• Áp dụng cụng thức bỏn kớnh qua tiờu ta cú: 1
2
FA x 2
FB x 2
= +⎧⎨ = +⎩
. 
• Suy ra AB = AF + FB = x1 + x2 + 4. 
Bài 4 (2 điểm). 
1 (1 điểm). 
• Phương trỡnh tham số của (∆1): 
x 2t
y 1 t
z t
=⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩
. 
• (∆1) đi qua điểm A(0; 1; 0) và cú vectơ chỉ phương ( )u 2; 1;1= −G , 
 (∆2) đi qua điểm B(1; 0; 0) và cú vectơ chỉ phương ( )v 1;1; 1= − −G . 
• ( ) ( )u,v 0;1;1 , AB 1; 1;0⎡ ⎤ = = −⎣ ⎦
G G JJJG
. 
• u, v .AB 1 0⎡ ⎤ = − ≠ ⇒⎣ ⎦
G G JJJG
 (∆1) và (∆2) chộo nhau. 
2 (1 điểm). 
• Gọi (P) là tiếp diện cần tỡm. Vỡ (P) song song với (∆1) và (∆2) nờn cú 
vectơ phỏp tuyến ( )n u,v 0;1;1⎡ ⎤= =⎣ ⎦
G G G
. 
 Phương trỡnh của (P) cú dạng: y + z + m = 0. 
• Mặt cầu (S) cú tõm I(1; - 1; - 2) và bỏn kớnh R = 3. 
• Mặt phẳng (P) tiếp xỳc với mặt cầu nờn d(I, (P)) = R hay 
m 3
3 m 3 3 2
2
− = ⇔ = ± . 
• Với m 3 3 2= + ⇒ ( )1P : y z 3 3 2 0+ + + = . 
 Với m 3 3 2= − ⇒ ( )2P : y z 3 3 2 0+ + − = . 
 Cả hai mặt phẳng trờn đều thỏa món yờu cầu bài toỏn. 
Bài 5 (1 điểm). 
• Điều kiện: n ≥ 2. 
• Bất phương trỡnh đó cho tương đương với 
 ( ) ( )n 2n 3 n
n 3 !5 5 n!C A
2 n!.3! 2 n 2 !+
+> ⇔ &