Đề thi thử học sinh giỏi Toán 9 (Đề 2)

Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4,0 điểm)
 a, Cholà các số nguyên tố các số nguyên tố và là số chính phương. Hỏi là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao?
 b, Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Câu 2: (6,0 điểm)
 a, Giải phương trình: 
 b, Giải hệ phương trình: 
Câu 3: (3,0 điểm)
 Cho là các số thực bất kỳ. Chứng minh: 
Câu 4: (6,0 điểm)
 Cho đường tròn (O) và dây CD cố định. M thuộc tia đối của tia CD. Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm). Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD.
a, Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm I cố định khi M thay đổi
b, Đường thẳng qua A vuông góc với OC, OD lần lượt cắt CD tại E, F. BE cắt CI tại H; BF cắt DI tại G. Chứng minh rằng 4 điểm I, H, K, G cùng thuộc một đường tròn
Câu 5: (1,0 điểm)
 Cho một tam giác có 3 cạnh đều không lớn hơn 1 và một hình tròn bán kính 1 phủ kín miền trong của tam giác đó. Chứng minh rằng tồn tại vô số hai điểm A, B thuộc đường tròn sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm đó đến hai đỉnh bất kì và khác nhau của tam giác đã cho không nhỏ hơn cạnh của tam giác.
 HẾT./.